2022年相交线与平行线专题总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 相交线与平行线专题总结 一、学问点填空_. 10.在同一平面内, 假如两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线_ . 11.平行线的性质：两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简洁说成：1.两直线相交所成的四个角中,有一条公共边, 它们的另一边互为反向延长线, 两 条 平 行 直 线 被 第 三 条 直 线 所 截 , 内 错 角 相 等 . 简 单 说 成 ：具有这种关系的两个角,互为_. _. 两条平行直线被第三条直线所截,同旁2.对顶角的性质可概括为：内角互补 .简洁说成： _ . 3.两直线相交所成的四个角中,假如有一个角是直角,那么就称这两条直线相12.判定一件事情的语句,叫做_.命题由 _和 _两部分组成.互_. 题设是已知事项,结论是_. 命题常可以写成“ 假如 4.垂线的性质：过一点_一条直线与已知直线垂直那么 ” 的形式,这时“ 假如” 后接的部分是,“ 那么”连接直线外一点与直线上各点的所在线段中,后接的部分是 _. 假如题设成立, 那么结论肯定成立.像这样的命题叫5.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做做_.假如题设成立时,不能保证结论肯定成立,像这样的命题叫做6.两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中:如_.定理都是真命题. 果两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种13.把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新图形,图形的这种移动,叫关系的一对角叫做_ ；假如两个角都在两直线之间,并且分别在做平移变换,简称_.图形平移的方向不肯定是水平的. 第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做_ ；假如两个14.平移的性质：把一个图形整体平移得到的新图形与原图形的外形与大小完角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角 叫做 _. 全_ _.新图形中的每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段_. 7.在同一平面内,不相交的两条直线相互_.同一平面内的两条直线的二：典型题型训练位置关系只有 _与_两种 . 15.如图,BCAC CB8cm AC6cm AB10cm 那8.平行公理：经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线_. 推论：假如两条直线都与第三条直线平行,那么_. 么点 A 到 BC 的距离是 _,点 B 到 AC 的距离是9.平行线的判定：两条直线被第三条直线所截,假如同位角相等,那么这两条直线平行 .简洁说成： _. 两条直线被_,点 A、B 两点的距离是 _,点 C 到 AB 的距离是 _第三条直线所截,假如内错角相等,那么这两条直线平行.简洁说成：16.设 a 、b、c 为平面上三条不同直线,如a/b b/c ,就 a 与 c 的位置关系是_. 两条直线被第三条直线所截,假如同旁内角_；如ab bc ,就 a 与 c 的位置关系是 _；如a/b ,bc ,互补,那么这两条直线平行.简单说成：- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就 a 与 c 的位置关系是 _解：BEBCE 过点 C 作 CF AB,17.如图,已知AB、CD、 EF 相交于点O,ABCD,OG 平分AOE,FOD就B_（）28 ° ,求COE、AOE、AOG 的度数又AB DE,AB CF,）_（E_（）BE12 即BEBCE18.如图,AOC与BOC 是邻补角, OD 、OE 分别是AOC与BOC 的平20.如图,已知 12 求证： a b直线a/b,求证：12分线,试判定OD 与 OE 的位置关系,并说明理由21.阅读懂得并在括号内填注理由：如图,已知 AB CD,12,试说明 EP FQ证明： AB CD,19.如图, AB DE,试问 B、E、BCE有什么关系MEB MFD （）- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又12,MEB1MFD 2 ,即MEP_ 三：爱好拓展练习本每一页中的横线、EP _（）22.已知 DB FG EC,A 是 FG 上一点, ABD 60 ° ,ACE36 ° ,AP 平分平行线问题： 平行线是我们日常生活中非经常见的图形BAC,求： BAC 的大小； PAG的大小 . 直尺的上下两边、人行横道上的“ 斑马线” 以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是相互平行的线段正由于平行线在生活中的广泛应用,因此有关它的基本学问及性质成为中学几何的基本学问正由于平行线在几何理论中的基础性,平行线成为古往今来许多数学家特别重视的讨论对象历史上关于23.如图,已知ABC, ADBC 于 D, E 为 AB 上平行公理的三种假设,产生了三种不同的几何罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧一点, EFBC 于 F,DG/BA 交 CA 于 G. 几里得几何 ,它们在使人们熟悉宇宙空间中起着特别重要的作用现行中学中所求证12学的几何是属于欧几里得几何,它是建立在这样一个公理基础之上的：“ 在平面中,经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行” 在此基础上,我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理下面我们举例说明这些学问的应用24. 已知：如图 1= 2,C= D,问A 与F 相等吗？试说明理由- 3 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1 如图 118 ,直线 a b,直线 AB 交 a 与 b 于 A,B,CA 平分1,CB 平分 2,求证：C=90 °例 2 如图 121 所示, AA 1 BA 2 求A1= B1+ A2例 3 如图 126 所示 AE BD,1=3 2,2=25 ° ,求C例 6 如图 129 所示直线 l 的同侧有三点 A,B,C,且 AB l,BC l求证： A,B,C 三点在同一条直线上例 7 如图 130 所示1= 2,D=90 ° ,EFCD求证：3= B四,课后摸索题例 4 求证：三角形内角之和等于180 ° 1如图 131 所示已知 AB CD,B=100 ° ,EF平分BEC,EGEF求BEG 和DEG例 5 求证：四边形内角和等于 360 ° - 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2如图 132 所示 CD 是ACB 的平分线,ACB=40 ° ,B=70 ° ,DE BC求EDC 和BDC 的度数3如图 133 所示AB CD,BAE=30 ° ,DCE=60 ° ,EF,EG 三 等分AEC问： EF与 EG 中有没有与 AB 平行的直线,为什么？参考答案 一：1.邻补角2.对顶角,对顶角相等3.垂直有且只有垂线段最短4.点到直线的距离5.同位角内错角同旁内角6.平行相交平行7.平行这两直线相互平行8.同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行 .9.平行10.两直线平行同位角相等； 两直线平行内错角相等； 两直线平行同旁内角互补 .11.命题题设结4证明：五边形内角和等于540 ° 论由已知事项推出的事项题设结论真命题假命题12.平移相同平行且相等13.6cm 8cm 10cm 4.8cm.14.平行平行垂直15.28°118°59°16. ODOE理由略17. 1（两直线平行,内错角相等）DE CF（平行于同始终线的两条直线平行）2（两直线5如图 134 所示已知 CD 平分ACB,且 DE ACCD EF求证：EF平分DEB平行,内错角相等）.18. 1 2,又 2 3（对顶角相等） , 1 3a b（同位角相等两直线平行） a b 1 3两直线平行,同位角相等又 2 3（对顶角相等） 1 2.19. 两直线平行,同位角相等MFQFQ同位角相等两直线平行20.96° , 12° .21.QADBC FEBCEFBADB90oEF/AD23QDG/BA,3112.22. AF. 1 DGF（对顶角相等） 又 1 2 DGF 2DB EC（同位角相等,两直线平行） DBA C（两直线平行,同位角相等）又 C D DBA DDF AC（内错角相等,两直线平行）A F两直线平行 ,内错角相等 . - 5 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三例 1 如图 1 18,直线 a b,直线 AB说明 做完此题不妨想一想这个问题的“ 反问题” 是否成立,即“ 两条交 a 与 b 于 A,B,CA平分 1,CB平分 2 ,直线 a,b 被直线 AB所截 如图 120 所示 ,CA,CB分别是 BAE与求证： C=90°ABF的平分线,如 C=90° ,问直线 a 与直线 b 是否肯定平行？”分析 由于 a b, 1,2 是两个同侧内角,因此 1+2= 过 C点作直线 l ,使 l a 或 b 即可通过平行线的性质实现等角转移由于这个问题与上述问题特别相像 将条件与结论交换位置 ,因此,不妨仿照原问题的解决方法来试解例 2 如图 121 所示, AA1 BA2求 A1-B1+A2证 过 C点作直线 l ,使 l a 图 119 由于 a b,所以 b l ,所以 1+2=180° 同侧内角互补 由于 AC平分 1,BC分析 此题对 A1,A2, B1的大小并没有给出特定的数值,因此,答 案明显与所给的三个角的大小无关也就是说,不管A1,A2, B1的大小如何,答案应是确定的我们从图形直观,有理由猜想答案大致平分 2,所以又 3=是零,即 A1+A2=B1 CAE,4=CBF内错角相等 ,所以 3+4=CAE+CBF 猜想,经常受到直观的启示,但猜想必需经过严格的证明式给我们 一种启示,能不能将 B1一分为二使其每一部分分别等于A1与A2这 就引发我们过 B1 点引 AA1 从而也是 BA2 的平行线,它将 B1一分为二- 6 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 推广是一种进展自己摸索才能的方法,有些简洁的问题, 假如抓住了问 题的本质,那么,在本质不变的情形下, 可以将问题推广到复杂的情形2 这个问题也可以将条件与结论对换一下,变成一个新问题问题 1 如图 124 所示 A1+A2=B1,问 AA1与 BA2是否平行？证 过 B1引 B1E AA1,它将 A1B1A2分成两个角： 1,2 如图 122 所 示 由于 AA1 BA2,所以 B1E BA2从而 1=A1,2=A2 内错角相等 ,所以 B1=1+2=A1+A2,即 A1-B1+A2=0问题 2 如图 125 所示如A1+A2+ +An=B1+B2+ +Bn-1,问 AA1与 BAn是否平行？说明1 从证题的过程可以发觉,问题的实质在于 AA1 BA2,它与连接 A1,A2两点之间的折线段的数目无关,如图 123 所示连接 A1,A2之 间的折线段增加到 4 条： A1B1,B1A2,A2B2,B2A3,仍旧有A1+A2+A3=B1+B2 即那些向右凸出的角的和 =向左凸的角的和 即A1-B1+A2-B2+A3=0这两个问题请同学加以摸索进一步可以推广为 A1-B1+A2-B2 -Bn-1+An=0这时,连结 A1,An 之间的折线段共有 n 段 A1B1,B1A2, ,Bn-1An 当然,仍 要保持 AA1 BAn 例 3 如图 126 所示 AE BD,1=32, 2=25° ,- 7 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析 平角为 180° 如能运用平行线的性质,将三角形三个内角集中到同一顶点,并得到一个平角,问题即可解决,下面方法是最简洁的一种求 C证 如图 127 所示,在 ABC中,过 A引 l BC,就分析 利用平行线的性质,可以将角“ 转移” 到新的位置,如1=DFCB=1, C=2 内错角相等 或AFB如能将 1,2,C“ 集中” 到一个顶点处,这是最抱负不 过的了,过 F 点作 BC的平行线恰能实现这个目标明显 1+BAC+2=平角,解 过 F 到 FG CB,交 AB 于 G,就 所以 A+B+C=180° C=AFG同位角相等 ,2=BFG内错角相等 由于 AE BD,所以 1=BFA内错角相等 ,说明 事实上,我们可以运用平行线的性质,通过添加与三角形三条边 平行的直线,将三角形的三个内角“ 转移” 到任意一点得到平角的结 论如将平角的顶点设在某一边内,或干脆不在三角形的边上的其他任 何一点处,不过,解法将较为麻烦同学们不妨试一试这种较为麻烦的 证法所以 C=AFG=BFA-BFG=1-2=32- 2=22=50° 例 5 求证：四边形内角和等于360° 说明1 运用平行线的性质, 将角集中到适当位置, 是添加帮助线 平行 线 的常用技巧 2 在学过“ 三角形内角和” 学问后,可有以下较为简 便的解法： 1=DFC=C+2,即 C=1-2=22=50° 例 4 求证：三角形内角之和等于 180° 分析 应用例 3 类似的方法,添加适当的平行线,将这四个角“ 聚合”在一起使它们之和恰为一个周角在添加平行线中, 尽可能利用原先的内角及边,应能削减推理过程- 8 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析 A,B,C三点在同一条直线上可以懂得为ABC为平角,即只要证证 如图 128 所示,四边形 ABCD中,过顶点 B 引 BE AD,BF CD,明射线 BA与 BC所夹的角为 180° 即可,考虑到以直线l 上任意一点为并延长 AB,CB到 H,G就有 A=2 同位角相等 , D=1 内错角 相等 ,1=3 同位角相等 C=4 同位角相等 ,又 ABC即B=GBH对顶角相等 由于 2+3+4+GBH=360° ,所以A+B+C+D=360° 说明1 同例 3,周角的顶点可以取在平面内的任意位置,证明的本质 不变2 总结例 3、例 4,并将结论的表达形式变化,可将结论加以推广：三角形内角和 =180° =3-2 × 180° ,四边形内角和 =360° =2× 180° =4-2 × 180° 顶点,该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角,结合所给平行条件,过 B 作与 l 相交的直线,就可将 l 上的平角转换到顶点 B 处证 过 B 作直线 BD,交 l 于 D由于 AB l ,CB l ,所以 1=ABD, 2=CBD内错角相等 又 1+2=180° ,所以 ABD+CBD=180° ,即 ABC=180° =平角 A,B,C三点共线 摸索 如将问题加以推广：在 l 的同侧有 n 个点 A1,A2, ,An-1,An,且有 AiAi+1 li=1 ,2, ,n-1 是否仍有同样的结论？人们不禁会猜想：五边形内角和=5-2 × 180° =540° ,例 7 如图 130 所示 1=2, D=90° , EFCD求证： 3=B n 边形内角和 =n-2 × 180° 这个猜想是正确的, 它们的证明在学过三角形内角和之后,证明将特别简洁 3 在解题过程中,将一些表面并不相同的问题,从形式上加以 适当变形,找到它们本质上的共同之处,将问题加以推广或一般化,这是进展人的思维才能的一种重要方法例 6 如图 129 所示直线 l 的同侧有三点 A,B,C,且 AB l ,BCl 求证： A,B,C三点在同一条直线上- 9 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析 假如 3=B,就应需 EF BC又知 1=2,就有 BC AD从而,应有 EF AD这一点从条件 EFCD及 D=90° 不 难获得证 由于 1=2,所以 AD BC内错角相等,两直线平行 由于 D=90° 及 EFCD,所以 AD EF同位角相等,两直线平行 所以 BC EF平行公理 ,所以3=B两直线平行,同位角相等 - 10 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页