2022年知识点-立体几何知识点常见结论总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载立体几何高考学问点和解题思想汇总补充：三角形内心、外心、重心、垂心学问四心的概念介绍：（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成 2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等；BO外心ACAAAF OEFEFMEIKBGCBDHCBDCD垂心重心内心如 P 为ABC所在平面外一点 , O是点 P 在ABC 内的射影,就：如 PA PB PC 或 PA 、 PB 、 PC 与 所成角均相等 , 就 O 为 ABC 的外心；如 P 到 ABC 的三边的距离相等 , 就 O 为 ABC 的内心；如 PA 、 PB 、 PC 两两相互垂直 , 或 PA BC PB AC 就 O 为 ABC 的垂心常见空间几何体定义：1 棱柱：有两个面相互平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱,这两个面为底面,其他面为侧面；棱柱具有以下性质：1）棱柱的各个侧面都是平行四边形,全部的侧棱都平行且相等；2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边相互平行的全等多边形；3）直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形；棱柱的分类：斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱；直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形；平行六面体 : 底面是平行四边形的棱柱；直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体；长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体2 棱锥：有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥 1 假如一个棱锥的底面是正多边形,且顶点与底面中心的连线垂直于底面,这样的棱锥称为正棱锥正棱锥具有性质：正棱锥的顶点和底面中心的连线即为高线；正棱锥的侧面是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,叫做这个正棱锥的斜高2 底边长和侧棱长都相等的三棱锥叫做正四周体名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3 依次连结不共面的四点构成的四边形叫做空间四边形常见几何题表面积、体积公式1旋转体的表面积 1 圆柱的表面积 S 2 2r 2 rl 其中 r 为底面半径, l 为母线长 2 圆锥的表面积 S r 2rl （其中 r 为底面半径, l 为母线长 4 球的表面积公式 S 4 R 其中 R 为球半径 22几何体的体积公式 1 柱体的体积公式 VSh其中 S 为底面面积, h 为高 2 锥体的体积公式 V1 3Sh其中 S 为底面面积, h 为高 3 球的体积公式 V4 3 R 其中 R为球半径 3三棱锥外接球问题：一、正四周体： 如图 1,正四周体 ABCD 的边长为 a,高为 h ,其外接球与内切球球心重合,且有关系：rRh6a ,有外接圆球半径为：6a ,内切圆的球半径为：6a ,比例为 3:1；3412DEA C答案： C B二、显现“ 墙角” 结构利用补形学问,联系长方体；【原理】：长方体中从一个顶点动身的三条棱长分别为a,b ,c,就体对角线长为la2b22 c,几何体的外接球直径2 R为体对角线长 l即Ra22 bc2,3,如该四周体的四个顶2【例题】：在四周体 ABCD 中,共顶点的三条棱两两垂直,其长度分别为1,6点在一个球面上,求这个球的表面积；解：由于：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长,所以：四周体外接球的直径为AE 的长第 2 页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即：4R2AB2AC2AD2,42 R2 1学习必备2欢迎下载R2,球的表面积为S4R2162 3616所以二、显现两个垂直关系,利用直角三角形结论；【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半；球心为直角三角形斜边中点；【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上,ABBC且PA7,PB5,PC51,AC10,求球 O 的体积；解：ABBC且PA7,PB5,PC51,AC10, OC第 3 页,共 8 页由于722 5110 2所以知AC2PA2PC2所以PAPC所以可得图形为：P在RtABC中斜边为 AC在RtPAC中斜边为 ACB取斜边的中点 O ,在RtABC中OAOBOCA在RtPAC中OPOBOC所以在几何体中OPOBOCOA,即 O 为该四周体的外接球的球心R1 AC 25所以该外接球的体积为V43 R50033名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【总结】斜边一般为四周体中除了直角顶点以外的两个点连线；立体几何总结：1、多边形内角和： n-2*180 2、30° 直角三角形,边比例 1:2 ：根 3 3、30° 30° 120° 三角形边比例 1:1 ：根 3 4、45° 直角三角形边比例 1:1 ：根 2 5、多面体的体积为 V,表面积为 S,就有内切球的半径为 r 3VS第一节 平面、空间直线（3）、求异面直线所成角的方法：遵循“ 先作角,再求角” 的原就,用平移转化法放到三角形中去求,用好正、余弦定理常用的平移方法有：直接平移法；中位线平移法（涉及中点经常用）aaA；补形法其次节空间直线与平面核心学问点2、线面平行的判定和性质（2）线面平行的判定（用来证明直线与平面平行的方法）：平行,a（判定定理）假如平面外始终线a与平面内始终线 b 平行,就直线a与平面下面的这些定理或推论也是证明线面平行的常用方法：平行图 9-2-1 假如平面外的两条平行直线,a b中有一条和平面平行,就另一条也和平面假如两个平面平行,就其中一个平面内的任何一条直线都平行于另外一个平面假如直线a垂直于平面,平面外的直线 b 与直线a垂直,就直线 b 平行于平面与面相交,就交如平面和外的始终线a都垂直于同一个平面,就直线a平行于平面（3）线面平行的性质定理： 如图 9-2-2假如直线 l 与平面平行,过直线 l 的平面名师归纳总结 第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载线与直线 l 平行3、线面垂直的判定和性质：（1）定义：假如一条直线与平面内的任何一条直线都垂直,就这条直线和这个平面垂直；（2）线面垂直的判定（证明直线与平面垂直的方法）（判定定理 1）假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,就这条直线与这个平面垂直；（判定定理 2）假如两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面；（面面平行的性质定理） 假如一条直线垂直于两个平行平面中的一个,就这条直线垂直于另一个平面；（面面垂直的性质定理）假如两个平面垂直,就在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面；假如两个相交平面都垂直于第三个平面,就交线也垂直于第三个平面（3）线面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面,就这两条直线平行4、线面角（1）假如平面 外的直线 l 与平面 不平行也不垂直,就称直线 l 为平面 的斜线,设 l O,在 l 上任取一点 P （ P不与斜足 O 重合）,过 P作面 的垂线,垂足为 P ,就垂足 P 与斜足 O 的连线 OP 叫做斜线 l 在平面 上的射影, l 与其射影 OP 的夹角 叫做 l 与面 所成的角；规定：当 l / 或 l 时,0 , l 时 90 ,于是线面角的范畴是 0 , 90 5、三垂线定理：一条 直线,假如和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直6、三垂线逆定理：一 直线,假如和穿过这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直7、方法总结：下面的几个结论是找垂足的有力工具：（1）如 P 为 ABC所在平面外一点 , O是点 P 在 ABC内的射影,就：如 PA PB PC 或 PA 、 PB 、 PC 与 所成角均相等 , 就 O 为 ABC 的外心；如 P 到 ABC 的三边的距离相等 , 就 O 为 ABC 的内心；如 PA 、 PB 、 PC 两两相互垂直 , 或 PA BC PB AC 就 O 为 ABC 的垂心（2）面面垂直的性质定理：假如两个平面垂直,就在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 第三节 空间平面与平面核心学问点：1、面面平行的判定和性质（1）面面平行的判定：（判定定理）假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行；（线面平行 面面平行）垂直于同始终线的两平面平行； （线面垂直 面面平行）（面面平行的传递性）假如两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行；（2）面面平行的性质如两个平面平行,就其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面；（面面平行线面平行）如两个平行平面同时与第三个平面相交,就两交线平行；（面面平行线线平行）如一条直线垂直于两平行平面中的一个,就该直线也和另一个平面垂直；夹在两平行平面间的平行线段相等；经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行2、两个平行平面间的距离：假如直线l 与两平行平面都垂直,垂足分别为A,B,就称线段 AB 的长为两平行平面间的距离3、二面角的定义及表示方法：（1）定义：平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线发 出的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面；（2）表示方法：棱为AB （或 l ）,面为,的二面角记为AB（或l）4、二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点,过该点分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线,两射线所成的角叫做二面角的平面角（范畴：0, 180）5、面垂直的判定和性质（1）面面垂直的判定：（定义法）两个平面相交,假如它们所成的二面角是直二面角,就称这两个平面垂直（即求证二面角的平面角是直角）（判定定理）假如平面经过了平面的一条垂线,就；（线面垂直面面垂直）（2）面面垂直的性质：假如两个平面垂直,就在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面；（面面垂直 线面垂直）如两平面垂直,就经过第一个平面内一点且垂直于其次个平面的直线在第一个平面内方法总结（1）熟记面面平行和垂直的判定和性质的相关定理,能快速明确题目解体思路,比如,要证面面平行,就只需去其中一个平面内找到两相交的直线与另一平面都平行即可；又如,证面面垂直,就只需在其中一个平面内去找到一条直线与另一平面垂直即可,解题过程中应留意转化的思想；（2）有关面面平行和垂直的相关的定理之间的转化关系,要结合上节的学问；（3）与面面距离相关的问题：二面角的平面角的作法及求法将在第四、五节中系统地讲解名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第四节 空间角核心学问点：高考中立体几何题的运算常涉及“ 求角”、“ 求距离” 、“ 求面积或体积” 三类问题,其中“ 求角” 问题几乎年年涉及,求角问题包括异面直线所成的角,线面角及二面角的平面角三种空间角的概念及范畴（1）异面直线所成的角：过空间任一点分别引两异面直线的平行线,就此两相交直线所成的锐角（或直角）叫做两异面直线所成的角异面直线所成角的范畴（2）直线与平面所成的角：当 l / 或 l 时, l 与 所成的角为 0 ；当 l 时,l 与 所成的角为 90 ；当 l 与 斜交时, l 与 所成的角是指 l 与 l 在面 上的射影 'l 所成的锐角线面角的范畴：（3）二面角的平面角须具有以下三个特点：顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边与棱都垂直二面角的范畴：方法总结：1、求异面直线所成角的方法：主要通过平移转化法来作出异面直线所成的角,然后利用三角形的边角关系（正、余弦定理）求角的大小,要留意角的范畴2、求线面角的一般过程是： （1）在斜线上找到一个合适的点 P ,过 P作面 的垂线（留意垂足 P 的确定）,垂足 P 和斜足 A的连线即为斜线 PA在平面 上的射影,就 PAP 即为所求；（2）将 PAP 放到PAP 或其它包含此角的三角形中去求说明：在解题过程中,我们会发觉求角问题难在作角,其中又难在过平面外一点,作平面的垂线后,垂足位置的确定复习过程中应留意对常用的找垂足的方法进行归纳总结上面的（ 2）及下面的几个结论是找垂足的有力工具：（1）如 P 为 ABC所在平面 外一点 , O是点 P 在 内的射影,就：如 PA PB PC 或 PA 、 PB 、 PC 与 所成角均相等 , 就 O 为 ABC 的外心；如 P 到 ABC 的三边的距离相等 , 就 O 为 ABC ABC 的内心；如 PA 、 PB 、 PC 两两相互垂直 , 或 PA BC PB AC 就 O 为 ABC 的垂心（2）面面垂直的性质定理：假如两个平面垂直,就在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面；第五节 空间距离核心学问点点线距、点面距、线面距、面面距、两异面直线之间的距离是高考中常见求距离的问题常见的空间距离的求法：（1）求点到直线的距离利用三垂线定理找到垂线段,垂线段就是所求；（2）点到平面的距离的求解方法一般有两种：直接求解法：从该点向平面引垂线,确定垂足位置,这里要用到两个平面垂直的性质定理,求出点和垂足之间的距离即可“ 体积代换法” ：把点到平面的距离转化为以该点为顶点,平面内的一个三角形为底面的三棱锥的高,再通过变换（从便利求高的角度）三棱锥顶点用等体积法,求点到平面的距离名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 这种方法比较常用,应把握（3）直线到它的平行平面的距离通常转化为直线上一个特别点到平面的距离,要找到直线和它的平行平面的公垂面,直线和公垂面的垂 足就是这个特别点,从这点向公垂面和已知平面的交线引垂线段,该垂线段就是直线到它的平行平面的 距离,仍可以用等体积法求特别点到平面的距离（4）两个平行平面的距离 求解时,在一个面内任取一点,作它到另一平面的垂线段,垂线段的长就是所求实质上也是点到平面的距离因此,点面距离的求解方法 5两条异面直线间的距离,对求解面到面的距离仍旧适用要留意定义中“ 都垂直且相交” 的懂得两条异面直线的距离是分别连结两条异面直线上两点的线段中 最段的一条 .求解方法主要是定义法 :找出两异面直线的公垂线段 ,求出其长度6两点之间的球面距离求法分三步：运算两点之间的线段长；运算两点对球心的张角即球心角（须用弧度表示） ；用弧长公式 l R球 运算大圆上两点之间的劣弧长即两点之间的劣球面距离方法总结： 求空间距离的一般规律1距离的求法有两种：直接法第一步,作图即先作出表示所求距离的线段；其次步：证明即证明第一步中所作线段 就是所要求的距离；第三步：运算解三角形求出这条线段转移法转化为其他易求的距离进而求解2高考对于立体几何中“ 作图证明运算” 的相互渗透,相互结合有明确的要求,所以用直接法求空间距离的三个步骤缺一不行,而且要表述精确、清楚、简明,稍有不当,就有可能丢分名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页