2022年相似三角形知识点及典型例题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 相像三角形学问点及典型例题学问点归纳：1、三角形相像的判定方法（1）定义法：对应角相等,对应边成比例的两个三角形相像；（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边 或两边的延长线 相交,所构成的三角形与原三角形相像；（3）判定定理 1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两 个三角形相像；简述为：两角对应相等,两三角形相像；（4）判定定理 2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三 角形相像；简述为：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相像；3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相（5）判定定理 似；简述为：三边对应成比例,两三角形相像；（6）判定直角三角形相像的方法：以上各种判定均适用；假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相像；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相像；#直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；如图, Rt ABC中, BAC=90° ,AD是斜边BC上的高,就有射影定理如下：（ 1）（ AD）2=BD·DC,（ 2）（ AB）2=BD·BC ,2；（ 3）（ AC）2=CD·BC ；（ AB）2+（ AC）2=（ BC）注：由上述射影定理仍可以证明勾股定理；即典型例题：例 1 如图,已知等腰ABC 中, AB AC,AD BC 于 D,CG AB ,BG 分别交 AD ,AC 于 E、 F,求证： BE2EF·EG 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明：如图,连结EC, AB AC,AD BC , ABC ACB ,AD 垂直平分 BC BEEC, 1 2 , ABC- 1 ACB- 2 ,即 3 4 ,又 CG AB , G 3 , 4 G CE EF又 CEG CEF, CEF GEC , EG =CEEC 2 EG· EF ,故 EB 2=EF· EG 【解题技巧点拨】此题必需综合运用等腰三角形的三线合一的性质,线段的垂直平分线的性质和相像三角形的基本图形来得到证明而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ,把原先处在同一条直线上的三条线段BE ,EF,EC 转换到相像三角形的基本图形中是证明此题的关键；例 2 已知：如图, AD 是 Rt ABC 斜 BC 上的高, E 是 AC 的中点, ED 与 AB 的延长线相交于FBFDF,求证：BA=AC证法一：如图,在Rt ABC 中, BAC Rt, AD BC, 3 C,又 E 是 Rt ADC 的斜边 AC 上的中点,1ED=2 AC EC, 2 C,又 1 2, 1 3,FB BD DFB AFD , DFB AFD ,FDAD（1）BD BA又 AD 是 Rt ABC 的斜边 BC 上的高, Rt ABD Rt CAD ,AD =AC（2）FB BA FB FD由（ 1）（2）两式得FD =AC,故BA =ACFB FD证法二：过点 A 作 AG EF 交 CB 延长线于点 G,就 BA =AG（1 ）E 是 AC 的中点, ED AC , D 是 GC 的中点,又 AD GC, AD 是线段 GC 的垂直平分线,AG AC （2 ）FB FD由（ 1 ）（ 2 ）两式得：BA =AC,证毕；【解题技巧点拨】BD此题证法中,通过连续两次证明三角形相像,得到相应的比例式,然后通过中间比“ AD”过渡,使问题得证,证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论,三角形的中位线的判定,线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证一、如何证明三角形相像例 1、如图： 点 G 在平行四边形ABCD 的边 DC 的延长线上 ,AG 交 BC、BD 于点 E、F,就 AGD 42FCD；例 2、已知ABC 中, AB=AC , A=36 ° , BD 是角平分线,AA求证：ABC BCD DB3 E1G名师归纳总结 BC第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3：已知,如图,D 为 ABC 内一点连结ED、 AD ,以 BC 为边在ABC 外作CBE= ABD , BCE= BAD 求证：DBE ABC 例 4、矩形 ABCD 中, BC=3AB ,E、 F,是 BC 边的三等分点,连结AE 、AF、 AC,问图中是否存在非全等的相像三角形？请证明你的结论；AEFDBC二、如何应用相像三角形证明比例式和乘积式例 5、 ABC 中,在 AC 上截取 AD,在 CB 延长线上截取BE ,使 AD=BE ,求证： DFAC=BCFE A例 6：已知：如图,在FDCEBKABC 中, BAC=900,M 是 BC 的中点, DM BC 于点 E,交 BA 的延长线于点D ；求证：（ 1）MA2 =MDME；（ 2）AE2MEADAD2MD1E2BMC例 7 ：如图 ABC 中, AD 为中线, CF 为任始终线, CF 交 AD 于 E,交 AB 于 F,求证： AE： ED=2AF ：FB ；三、如何用相像三角形证明两角相等、两线平行和线段相等；例 8 ：已知：如图E、F 分别是正方形ABCD 的边 AB 和 AD 上的点,且EBAF1；求证： AEF= FBD ABAD3AFDG E名师归纳总结 BC第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 9、在平行四边形ABCD 内, AR、BR、CP、 DP 各为四角的平分线,求证： SQ AB ,RP BC ADRCSQPB例 10、已知 A、C、E 和 B、F、D 分别是 O 的两边上的点,且AB ED,BC FE,求证： AF CD E C AOBFD例 11、直角三角形 ABC 中, ACB=90 ° , BCDE 是正方形, AE 交 BC 于 F,FG AC 交 AB 于 G,求证： FC=FG DC例 12、Rt ABC 锐角 C 的平分线交AB 于 E,交斜边上的高AGFEBAD 于 O,过 O 引 BC 的平行线交AB 于 F,求证：AE=BF ABFE132COD课后作业一、填空题1.已知：在ABC 中, P 是 AB 上一点,连结CP,当满意条件ACP=_ 或 APC= _或 AC2=_时, ACP ABC 2.两个相像三角形周长之比为 49,面积之和为 291,就面积分别是 _；3.如图, DEFG 是 Rt ABC 的内接正方形,如 CF8,DG 4 2 ,就 BE_；4如图,直角梯形 ABCD 中, AD BC,AD CD ,ACAB ,已知 AD 4,BC9,就 AC _；5 ABC 中, AB 15,AC 9,点 D 是 AC 上的点,且 于_；AD=3 ,E 在 AB 上, ADE 与 ABC 相像,就 AE 的长等6.如图,在正方形网格上画有梯形ABCD ,就 BDC 的度数为 _；第 4 页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7. ABC 中, AB AC , A36°,BC1,BD 平分 ABC 交于 D,就 BD _,AD _ 就关于 x 的方程是 _. 8如图,已知D 是等边ABC 的 BC 边上一点,把ABC 向下折叠,折痕为MN ,使点 A 落在点 D 处,如 BD DC23,就 AM MN=_ ；二、挑选题9.如图,在正ABC 中, D、E 分别在 AC 、AB 上,且 AD 1,AE=BE ,就有（）AC 3A AED BED B AED CBD C AED ABD D10如图,在ABC 中, D 为 AC 边上一点, DBC A ,BC= 6 ,AC 3,就 CD 的长为（）3 5A.1 B. C.2 D. 2 211如图, ABCD中,G 是 BC 延长线上一点, AG 与 BD 交于点 E,与 DC 交于点 F,就图中相像三角形共有（）A3 对 B4 对 C5 对 D6 对12 P 是 Rt ABC 的斜边 BC 上异于 B、C 的一点,过点 P 作直线截ABC ,使截得的三角形与ABC 相像,满意这样条件的直线共有（）A1 条 B.2 条 C3 条 D4 条13如图,在直角梯形 ABCD 中, AB 7,AD 2,BC=3 ,如在 AB 上取一点 P,使以P、A 、D 为顶点的三角形和以 P、B、C 为顶点的三角形相像,这样的 P 点有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个三、解答以下各题14. 如图,长方形 作匀速运动, 1 分钟可以到达 B 点,点 Q从 B 点动身,沿 点、 B 点动身,经过多少时间,线段 PQ 恰与线段名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 15 已知：如图,正方形DEFG 内接于 Rt ABC ,EF 在斜边 BC 上, EH AB 于 H求证：（ 1 ） ADG HED ；（2） EF2 BE· FC （答案）例 1 分析： 关键在找“ 角相等”,除已知条件中已明确给出的以外,仍应结合详细的图形,利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角；本例除公共角G 外,由 BC AD 可得 1=2,所以 AGD（对顶角）,由 AB DG 可得 4=G,所以EGC EAB ；例 2 分析： 证明相像三角形应先找相等的角,明显运算也是一种常用的方法；证明： A=36 ° , ABC 是等腰三角形,C 是公共角,而另一组相等的角就可以通过运算来求得；借助于 ABC= C=72° 又 BD 平分 ABC在 ABC 和 BCD 中, C 为公共角, A=DBC=36 ° ABC BCD 例 3 分析：由已知条件 ABD= CBE, DBC 公用；所以 DBE= ABC ,要证的DBE 和 ABC ,有一对角相等,要证两个三角形相像,或者再找一对角相等,或者找夹这个角的两边对应成比例；从已知条件中可看到CBE ABD ,这样既有相等的角,又有成比例的线段,问题就可以得到解决；证明：在 CBE 和 ABD 中,CBE= ABD, BCE= BAD CBE ABD BC AB=BE BD即：BC BE=AB BD DBE 和 ABC 中, CBE= ABD, BC=AB BD DBE ABC BEDBC 公用 CBE+ DBC= ABD+ DBC DBE= ABC 且例 4 分析： 此题要找出相像三角形,那么如何查找相像三角形呢？下面我们来看一看相像三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“ 平行线型” 的相像三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - BDAECBEADCDBACE2如图：其中 1=2,就 ADE ABC 称为“ 相交线型” 的相像三角形；B2EAD4BEADBD1AE112C2CC3如图： 1=2, B=D,就 ADE ABC ,称为“ 旋转型” 的相像三角形；观看此题的图形,假如存在相像三角形只可能是“ 相交线型” 的相像三角形,及解：设 AB=a ,就 BE=EF=FC=3a ,EAF 与 ECA 由勾股定理可求得 AE= 2 , 在 EAF 与 ECA 中,AEF 为公共角, 且 AE EC 2 所以 EAF ECA EF AE例 5 分析 ：证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及 DF：FE=BC ：AC,再利用相像三角形或平行线性质进行证明：证明：过 D 点作 DK AB ,交 BC 于 K ,ADK AB , DF： FE=BK ：BE 又 AD=BE , DF：FE=BK ：AD ,而 BK ：AD=BC ：AC D 2 1即 DF：FE= BC ：AC, DF AC=BC FE 例 6 证明： （ 1） BAC=90 0,M 是 BC 的中点, MA=MC , 1= C,EDM BC, C= D=90 0- B, 1= D, 2= 2 , MAE MDA ,MA ME, MA 2 =MD ME ,B CMD MA2AE MA AE ME AE MA ME ME（2 ） MAE MDA ,2AD MD AD MA AD MD MA MD评注： 命题 1 如图,假如 1= 2,那么ABD ACB ,AB 2=AD AC；命题 2 如图,假如 AB 2=AD AC ,那么ABD ACB , 1= 2 ；例 7 分析 ：图中没有现成的相像形,也不能直接得到任何比例式,于是可以考虑作平行线构造相像形；怎样作？观AE AF察要证明的结论,紧紧扣住结论中“AE： ED” 的特点,作 DG BA 交 CF 于 G ,得 AEF DEG ,；DE DG与结论 AE 2 AF AF相比较,明显问题转化为证 DG 1FB；ED FB 1 BF 22证明： 过 D 点作 DG AB 交 FC 于 G 就 AEF DEG ；（平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相像）AE AF（1 ）DE DGD 为 BC 的中点,且 DG BF G 为 FC 的中点就 DG 为 CBF 的中位线,DG 1BF（2 ）将（ 2 ）代入（ 1）得：2AE AF 2 AFDE 1BF FB2例 8 分析： 要证角相等,一般来说可通过全等三角形、相像三角形,等边对等角等方法来实现,此题要证的两个角分别在两个三角形中,可考虑用相像三角形来证,但要证的两个角所在的三角形明显不行能相像（一个在直角三角形中,另一个在斜三角形中）,所以证明此题的关键是构造相像三角形,证明： 作 FG BD ,垂足为 G；设 AB=AD=3k就 BE=AF=k,AE=DF=2k, BD=32 k第 7 页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ADB=45 0, FGD=90 0 DFG=45 0DG=FG= DF2 k BG= 3 2 k 2 k 2 2 k2AF FG 1AE BG 2又 A= FGB=90 0 AEF GBF AEF= FBD 例 9 分析： 要证明两线平行较多采纳平行线的判定定理,但本例不具备这样的条件,故可考虑用比例线段去证明；利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标,挑选适当的比例线段；要证明 SQ AB ,只需证明 AR：AS=BR ：DS；证明：在ADS 和 ARB 中； DAR= RAB= 1 DAB , DCP= PCB= 1 ABC ADS ABR AR BR2 2 AS DSAR BR但 ADS CBQ , DS=BQ ,就, SQ AB ,同理可证, RP BC AS BQ例 10 分析：要证明 AF CD ,已知条件中有平行的条件,因而有好多的比例线段可供利用,这就要进行正确的挑选；其实要证明 AF CD ,只要证明 OA OF即可,因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可胜利；OC ODOA OB OE OF OA OF证明： AB ED,BC FE,两式相乘可得：OE OD OC OB OC OD例 11 分析：要证明 FC=FG ,从图中可以看出它们所在的三角形明显不全等,但存在较多的平行线的条件,因而可用比例线段来证明；要证明 FC=FG ,第一要找出与 FC、FG 相关的比例线段,图中与 FC、FG 相关的比例式较多,就应FC FG挑选与 FC、FG 都有联系的比作为过渡,最终必需得到（“ ？” 代表相同的线段或相等的线段）,便可完成；. .GF AF证明：FG AC BE, ABE AGF 就有 而 FC DE AED AFC BE AE就有 CF AFGF CF AF又 BE=DE （正方形的边长相等）DF GF,即 GF=CF；DE AE BE DE AE BE BEAE AC例 12 证明： CO 平分 C, 2= 3,故 Rt CAERt CDO,OD CDBF AB AC AB AE BF又 OF BC,又 Rt ABD Rt CAD ,即AE=BF ；OD AD CD AD OD OD9一、 B、 ACB 、 AP·AB 2.48,243 3.4 4.6 5.5 或 56.135 °7.1,1,x2-x-1=0 8.7 8 二、 9.B 10.C 11.D 12.C 13.C 1三、 14. 5 分钟 15.1（略）（2）证GFC BED 16.1 证 BFD DGC 和 BAD DAC ；（ 2）证 ABD ABE ；17.50m 40m 18. 证 ABC ACP 和证 ABD ADP 19. （1 ）略（2 ）由（ 1 ）的结论和证 Rt ADC Rt CDB 即得；20.1 略（2 ）36cm 21. 先探究 AD 只能与 BC 成对应边,就BC CD BDAD =BD =AB,得 BD=100,BC=64,故 ABD BDC 22.在 ABC 中,作 ACG= E,CG 交 AB 于点 G,在 DEF 中,作 EFH= A,FH 交 DE 于点 H,直线 CG、FH就是所求的分割线；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页