2022年知识导学二用数学归纳法证明不等式.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思二 用数学归纳法证明不等式学问梳理1.本节例题中的有关结论（1）n 2<2 nnN+,_; 2|sinn _|sin |,nN +; 3贝努利不等式：假如 x 是实数,且 x>-1,x 0,n为大于 1 的自然数,那么有 _；当 是实数,并且满意 >1或者 <0时,有 _ ；当 是实数并且 0< <1时,有 _. （4）假如 nn 为正整数 个正数 a1,a2, ,an 的乘积 a1a2 an=1,那么它们的和 a1+a2+an_. 2.用数学归纳法证明不等式在数学归纳法证明不等式时,我们常会用到证明不等式的其他比较重要的一个方法是_. 学问导学本节内容主要是认知如何用数学归纳法证明正整数n 的不等式（其中 n 取无限多个值） . 其中例 1 供应出了一种全新的数学思想方法：观看、归纳、猜想、证明,这是在数学归纳法中常常应用到的综合性数学方法,观看是解决问题的前提条件,需要进行合理的试验和归纳,提出合理的猜想,从而达到解决问题的目的 视对本节内容的学习 . .猜想归纳能培育探究问题的才能,因此,应重前面已学习过证明不等式的一系列方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法等.而本节又增了数学归纳法证不等式,而且主要解决的是n 是无限的问题,因而难度更大一些,但认真讨论数学归纳法的关键,即由 n=k 到 n=k+1 的过渡,也是学习好用数学归纳法证不等式的重中之重的问题了 . 疑难突破1.观看、归纳、猜想、证明的方法这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探干脆问题,结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探究,而归纳与探究多数情形下是从特例、特别情形下入手, 得到一个结论,但这个结论不肯定正确,由于这是靠不完全归纳法得出的,因此,需要给出肯定的规律证明,所以,通过观看、分析、归纳、猜想,探究一般规律,其关键在于正确的归纳猜想,假如归纳不出正确的结论,那么数学归纳法的证明也就无法进行了 . 在观看与归纳时,n 的取值不能太少,否就将得出错误的结论a1=1,b1=2 a1<b 1;a2=4,b2=4 a2=b 2,a3=9,b3=8 a3>b 3,就此归纳出.例 1 中如只观看前 3 项：n 2>2 nn N+,n 3 就是错误的, 前 n 项的关系可能只是特别情形,不具有一般性, 因而,要从多个特别事例上探究一般结论 . 2.从 “n=k ”到 “n=k+1 ”的方法与技巧在用数学归纳法证明不等式问题中,从“n=k ”到“n=k+1 ”的过渡中, 利用归纳假设是比较困难的一步, 它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的结构来,而证明不等式的其次步中,从“ n=k”到“ n=k+1”,只用拼凑的方法,有时也行不通,由于对不等式来说, 它仍涉及 “ 放缩 ”的问题, 它可能需通过 “放大 ” 或“ 缩小 ”的过程, 才能利用上归纳假设,因此,我们可以利用“比较法 ” “综合法 ” “分析法 ”等来分析从 “ n=k”到“ n=k+1”的变化,从中找到“ 放缩尺度 ”,精确地拼凑出所需要的结构 . 典题精讲名师归纳总结 【例 1】 经典回放 已知函数 x=x1+1,fx=a+bx-a x-bx,其中 a,bN +,a 1,b 1,a b,第 1 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思ab=4, 1求函数 x的反函数 gx; 2对任意 nN+,试指出 fn 与 g2 n的大小关系,并证明你的结论 . 思路分析： 欲比较 fn与 g2 n的大小, 需求出 fn 与 g2 n的关于 n 的表达式, 以利于特别探路从 n=1,2,3, 中查找、归纳一般性结论,再用数学归纳法证明 . 解： 1由 y= x 1 +1,得 x 1 =y-1y 1,有 x+1=y-1 2,即 x=y 2-2y,故 gx=x 2-2xx 1.2fn=a+b n-a n-b n,g2 n=4 n-2 n+1, 当 n=1 时 f1=0,g2=0 ,有 f1=g2. 当 n=2 时, f2=a+b2-a2-b2=2ab=8, n, g22=42-23=8,f2=g22. 当 n=3 时, f3=a+b3-a3-b3=3a2b+3ab2=3aba+b >3ab×2ab=48. g23=43-24=48, 有 f3>g23. 当 n=4 时,f4=a+b4-a 4-b4=4a 3b+4ab 3+6a 2b 2=4aba2+b2+6a2b2>4ab×2ab+6a2b2=14a2b2=224. g24=44-25=224,有 f4>g24,由此估计当1 n2时, fn=g2当 n3时, fn>g2n. 下面用数学归纳法证明. 1当 n=3 时,由上述估计成立；（2）假设 n=k 时,估计成立 .即 fk>g2kk 3,即（ a+b）k-a k-b k>4 k-2 k+1, 那么 fk+1=a+b k+1-a k+1-b k+1=a+b ·a+b k-a ·a k-b ·b k=a+b a+b k-a k-b k+a kb+ab k. 又依题设 a+b>2ab=4. k1fn=g2n,不要急于去证明,应a kb+abk>2akbabk=2ab2=2k+2, 有 fk+1>4 a+b=4 k+1 -2 k+2=g2 k+1, k-a k-bk +2k+2>44k-2k+1+2k+2即 n=k+1 时,估计也成立. 由（ 1）（2）知 n3时, fn>g2n都成立 . 绿色通道： 为保证猜想的精确性,当设n=1,2 时,得出再试验一下n=3,4 时,以免显现错误. 【变式训练】 已知等差数列 a n公差 d 大于 0,且 a2,a5 是方程 x的前 n 项和为 T n,且 Tn=1-1bn. 21求数列 a n,b n 的通项公式；2-12x+27=0 的两根,数列 b n名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2）设数列 a n 的前 n 项和为 Sn,试比较1 与 Sn+1 的大小,并说明理由 b n. 思路分析： “ 试分析 ” 在告知我们,1 与 Sn+1 的大小可能随 b nn 的变化而变化,因此对n 的取值验证要多取几个. 解： 1由已知得,a 2a 5a512 ,a 127 .又 a n 的公差大于0,a5>a2. a2=3,a5=9. 名师归纳总结 d=a55a2933=2,a1=1. 1bn-1, 第 3 页,共 8 页T n=1-1b1,b1=2. 23当 n2时, T n-1=1-1bn-1, 2bn=T n-T n-1=1-1bn-1-1bn-1,化简,得 bn=223b n是首项为2,公比为1 的等比数列,33bn=2×1 n-1=2.an=2n-1,bn=2. 333n3n2Sn=12 n1 n=n2, 2Sn+1=n+12,1=3n, bn2以下比较1 与 Sn+1 的大小 : b n当 n=1 时,13,S2=4,1<S2, b 12b 1当 n=2 时,191<S3, b22,S3=9,b 2当 n=3 时,127,S4=16,1<S4, b32b 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思当 n=4 时,181,S5=25,1>S5. b42b 4猜想： n4时,1>Sn+1. bn下面用数学归纳法证明：（1）当 n=4 时,已证 . 2假设当 n=kk N+,k 4 时,1>Sk+1, b k即3k>k+12, 2那么, n=k+1 时, 113k1=3×3k>3k+12=3k2+6k+3 3,且 an=2a3 nan11n 2,nN +. kb22=k2+4k+4+2k2+2k-1> k+1+1 2=S（ k+1）+1, n=k+1 时,1>Sn+1也成立 . bn由（ 1）2可知 nN +,n 4时,1>Sn+1都成立 . bn综上所述,当n=1,2,3 时,1<Sn+1, b n当 n4时,1>Sn+1. bn【例 2】 2006 江西高考, 22 已知数列 a n 满意： a1=n1n21求数列 a n的通项公式；（2）求证：对一切正整数n,不等式 a1×a2 an<2×n！恒成立 . 名师归纳总结 思路分析： 由题设条件知,可用构造新数列的方法求得=1an；第（ 2）问的证明,可以等价变第 4 页,共 8 页形,视为证明新的不等式. 解：（1）将条件变为：1-n11nn1 , an3a,公比为1 ,从而 1-3n1n, 1因此,数列 1-n 为一个等比数列,其首项为 1-1a na13ann 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思据此得 an=nn3nn 1.312证明：据得 , a1×a2 an=11 1n .1113323n为证 a1a2 an<2n., 只要证 nN +时有（ 1-1 ）（1-1 ） （ 1-2 1 ）> n 1.3 3 3 2明显,左端每个因式皆为正数,先证明,对每个 nN +, 1 1 1 1 1 11-1-2 1-n 1- + 2 + + n .3 3 3 3 3 3用数学归纳法证明式；n=1 时,明显式成立,假设 n=k 时,式成立 . 即（ 1-1 ）（1-31 ） （ 1-2 31 ）k 3 1+1+ +1 1-1+1+ +1, 3323k就当 n=k+1 时,1-11-1 1-11-311 332k 3k1-1+1+ +11-31132 33kk=1-1+1+ +1-311+113323kk3k332k 31-1+1+ +1+311. 3323kk即当 n=k+1 时,式也成立 . 故对一切 nN +,式都成立 . 利用 ,得（ 1-1 ） 1-12 1-1n 3 3 31 1 11- + 2 + + n 3 3 3=1-13 1 13 n=1-1 1- 1 n= 1+ 1 1 n> 1. 1 1 2 3 2 2 3 23绿色通道： 此题供应了用数学归纳法证明相关问题的一种证明思路,即要证明的不等式不肯定非要用数学归纳法去直接证明,我们通过分析法、综合法等方法的分析,可以找到一些证明的关键, “ 要证明 ” ,“只需证明 明的不等式是成立的 . ” ,转化为证明其他某一个条件,进而说明要证名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【变式训练】已知数列 a n是正数组成的等差数列,Sn是其前 n 项的和, 并且 a3=5,a4S2=28. 1求数列 a n的通项公式；（2）求证：不等式 1+ 11+ 1 1+ 1 ·1 2 3 对一切 nN+均成立 . a 1 a 2 a n 2 n 1 3思路分析： 第（2）问中的不等式左侧,每个括号的规律是一样的,因此 1 显得 “余外 ”,2 n 1所以可尝试变形,即把不等式两边同乘以 2n 1,然后再证明 . a 1 2 d ,51解：设数列 a n 的公差为 d,由已知,得 2 a 1 d a 1 3 d 28 .10-3d5+d=28, 3d2+5d-22=0, 解之得 d=2 或 d=11. 3数列 a n 各项均为正,d=2. a1=1, an=2n-1. 2证明： nN+, 只需证明 1+1 a 11+1 1+1 a2an2332 n1成立 . 当 n=1 时,左边 =2,右边 =2,不等式成立 . 假设当 n=k 时,不等式成立,即（1+1） 1+1 1+1 2a k332 k1. a 1a2那么当 n=k+1 时,名师归纳总结 1+11+1 1+11+1 3. 第 6 页,共 8 页a 1akak1a22332 k11+a11=232 k2k32 k1以下只需证明2332k2232 k2k132 k3. 即只需证明2k+22 k1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2k+22-2 k12 k32=1>0, 1+ 11+ 1 1+ 1 1 a 1 1 a 2 1 a k 12 3 2 32 k 3 2 k 1 1 . 3 3综上知,不等式对于 nN +都成立 . 【例 3】设 Pn=1+x n,Qn=1+nx+ n n 1 x 2,nN+,x-1,+ ,试比较 Pn 与 Qn 的大小, 并加以2证明 . 思路分析： 这类问题,一般都是将 Pn、Qn 退至详细的 Pn、Qn 开头观看,以寻求规律,作出猜想,再证明猜想的正确性 . P1=1+x=Q 1,P2=1+2x+x 2=Q2, P3=1+3x+3x 2+x 3,Q3=1+3x+3x 2, P3-Q3=x 3, 由此估计 ,Pn 与 Qn 的大小要由 x 的符号来打算 . 解： 1当 n=1,2 时, Pn=Qn. 2当 n3时,（以下再对 x 进行分类） . 如 x 0,+ ,明显有 Pn>Q n; 如 x=0 ,就 Pn=Q n; 如 x -1,0, 就 P3-Q3=x 3<0,所以 P3<Q 3; P4-Q4=4x 3+x 4=x 34+x<0, 所以 P4<Q4; 假设 Pk<Qkk 3,就 Pk+1 =1+xP k<1+xQ k=Q k+xQ k运用归纳假设 2 3=1+ k k 1 x+x+kx 2+ k k 1 x2 2=1+k+1x+ k k 1 x 2+ k k 1 x 32 2=Q k+1+ k k 1 x 3<Q k+1,2即当 n=k+1 时,不等式成立 . 所以当 n3,且 x-1,0 时, Pn<Q n. 绿色通道： 此题除对n 的不同取值会有Pn与 Qn之间的大小变化,变量x 也影响 Pn 与 Qn的大小关系,这就要求我们在探究大小关系时,不能只顾 作用 . “ n”,而忽视其他变量（参数）的名师归纳总结 【变式训练】已知 fx=xnxn,对 nN +,试比较 f2 与n21的大小,并说明理由. 第 7 页,共 8 页xnxnn21思路分析： 利用分析法探求需要推理证明的关系,然后用数学归纳法证明. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解：设 Fn=n21n221121n221, n21nf2 =1-2n21, 2 n 与 n2 的大小 . 2,n=4 时,24=42,n=5 时,2 5>52,猜想 n5时,2n>n2,简证因而只需比较n=1 时, 2 1>12;n=2 时, 2 2=2 2;n=3 时,2 3<32 k>k2k 5,就当 n=k+1 时, 2 k+1=2×2 k>2×k2=k 2+k 2+2k+1-2k-1 =k+1 2+k-1 2-2 >k+1 2. 综上所述, n=1 或 n5时, f2 >n21 1; n21. n2n=2 或 4 时,f2 =n21;n=3 时, f2 <n21n21问题探究问题：有两堆棋子,数目相同,两人嬉戏的规章是：两人轮番取棋子,每人可以从一堆中任意取棋, 但不能同时从两堆取,取得最终一颗棋子的人获胜,求证后取棋子者肯定可以获胜 . 设每堆棋子数目为 n,你可以先试试能证明上述结论吗？导思： 分析题设中的数学思想,转化为数学问题,而本问题可以用数学归纳法证明 . 探究： 下面用其次数学归纳法证明 . 证明：设每堆棋子数目为 n. （1）当 n=1 时,先取棋子者只能从一堆里取 1 颗,这样另一堆里留下的 1 颗就被后取棋子者取得,所以结论是正确的 . 2假设当 n kk 1 时结论正确,即这时后取棋子者肯定可以获胜 . 考虑当 n=k+1 时的情形 . 先取棋子者假如从一堆里取k+1 颗,那么另一堆里留下的k+1 颗就被后取棋子者取得,所以结论是正确的. 先取棋子者假如从一堆里取棋子m1 m k 颗,这样,剩下的两堆棋子, 一堆有 k+1 颗,另一堆有 k+1-m 颗,这时后取棋子者可以在较多的一堆里取 m 颗,使两堆棋子数目都是k+1-m 颗,这时就变成了 n=k+1-m 的问题, 而不论 m 是 1k 的哪个整数, n=k+1-m 都是不大于 k 的正整数,由归纳假设可知这时后取棋子者肯定可以获胜 . 于是,当 n=k+1 时结论正确 . 由（ 1）（2）知,依据其次数学归纳法,无论每堆棋子的数目是多少,后取棋子者都能获胜 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页