2022年硕士研究报告生入学考试考研数学一试题及答案解析.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用2003 年硕士争论生入学考试<数学一）试卷及答案解读一、 填空题 <此题共 6 小题,每道题 4 分,满分 24 分. 把答案填在题中横线上）<1） = .【分析 】型未定式,化为指数函数或利用公式 = 进行运算求极限均可 . 【详解 1】= , 而,故 原式 =【详解 2】 由于,所以 原式 =【评注 】 此题属常规题型<2） 曲面 与平面 平行的切平面的方程是 . 【分析 】 待求平面的法矢量为,因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可依据曲面 切平面的法矢量与 平行确定 .【详解 】 令,就,. 设 切 点 坐 标 为, 就 切 平 面 的 法 矢 量 为, 其 与 已 知 平 面平行,因此有,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 可解得,相应地有个人资料整理仅限学习使用故所求的切平面方程为,即 . 【评注 】 此题属基此题型；<3） 设析】将,就= 1 .开为余弦级数【分,其系数运算公式为展. 【详解 】 依据余弦级数的定义,有 = = =1. 【评注 】 此题属基此题型,主要考查傅里叶级数的绽开公式,本质上转化为定积分的 运算 . <4 ） 从的 基到 基的 过 渡 矩 阵 为 . 【分析 】 n 维向量空间中,从基P,到基过渡的过渡矩阵P 满意=因此矩阵P为：P=. 到基的过渡【 详解 】依据定义,从的基矩阵为名师归纳总结 P=. 第 2 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用 =【评注 】 此题属基此题型；就<5）设二维随机变量X,Y>的概率密度为 . 【 分 析 】已 知 二 维 随 机 变 量 X,Y>的 概 率 密 度fx,y> , 求 满 足 一 定 条 件 的 概 率,一般可转化为二重积分=进行运算 .【详解 】 由题设,有 = y 1 D O 1 x 【评注 】 此题属基此题型,但在运算二重积分时,应留意找出概率密度不为零与满意不等式 的公共部分 D,再在其上积分即可 . 完全类似例题见文登数学全真模拟试卷数学一 P.14 第一大题第 <5）小题 .<6）已知一批零件的长度 X 单位： cm>听从正态分布,从中随机地抽取 16 个零件,得到长度的平均值为 40 cm>,就 的置信度为 0.95 的置信区间是 .注：标准正态分布函数值名师归纳总结 【 分 析 】已 知 方 差, 对 正 态 总 体 的 数 学 期 望进 行 估 计 , 可 根 据第 3 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,由个人资料整理仅限学习使用. 确定临界值,进而确定相应的置信区间【 详 解 】由 题 设 , 因此,依据, 可 见于 是 查 标 准 正 态 分 布 表 知此题 n=16, ,有,即,故的置信度为0.95 的置信区间是 . 【评注 】 此题属基此题型. 4 分,满分24 分 . 每道题给出的四个选项中,只有一二、挑选题 <此题共6 小题,每道题项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）<1）设函数 fx>在 内连续,其导函数的图形如下列图,就 fx>有A 一个微小值点和两个极大值点 . B 两个微小值点和一个极大值点 . C 两个微小值点和两个极大值点 . D> 三个微小值点和一个极大值点 y O x . C 【分析 】 答案与极值点个数有关,而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点,共 4 个,是极大值点仍是微小值可进一步由取极值的第一或其次充分条件判定 .【详解 】 依据导函数的图形可知,一阶导数为零的点有3 个,而 x=0 就是导数不存在的点 . 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一样,必为极值点,且两个微小值点,一个极大值点；在 x=0 左侧一阶导数为正,右侧一阶导数为负,可见 x=0 为极大值点,故fx>共有两个微小值点和两个极大值点,应选 C>.【评注 】 此题属新题型,类似考题2001 年数学一、二中曾显现过,当时考查的是已知 fx>的图象去推导的图象,此题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过 .名师归纳总结 <2）设均为非负数列,且,就必有第 4 页,共 20 页A> 对任意 n 成立 . B> 对任意 n 成立 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用C> 极限 不存在 . D> 极限 不存在 . D 【分析 】 此题考查极限概念,极限值与数列前面有限项的大小无关,可立刻排除A>,B>； 而极限 是 型未定式,可能存在也可能不存在,举反例说明即可；极限 属 型,必为无穷大量,即不存在 .【 详解 】用举反例法,取,就可立刻排除A>,B>,C>,因此正确选项为 D>.【评注 】 对于不便直接证明的问题,常常可考虑用反例,通过排除法找到正确选项 . 完全类似方法见数学最终冲刺P.179.<3）已知函数 fx,y>在点 0,0>的某个邻域内连续,且,就A> 点0,0>不是 fx,y>的极值点 . B> 点0,0>是 fx,y>的极大值点 . C> 点0,0>是 fx,y>的微小值点 . D> 依据所给条件无法判定点0,0>是否为 fx,y>的极值点 . A 【分析 】 由题设,简洁推知 f0,0>=0,因此点 0,0>是否为 fx,y>的极值,关键看在点0,0>的充分小的邻域内 fx,y>是恒大于零、恒小于零仍是变号 . 【详解 】 由 知,分子的极限必为零,从而有 f0,0>=0, 且充分小时）,于是可见当 y=x 且充分小时,；而当 y= -x 且充分小时,. 故点 0,0>不是 fx,y>的极值点,应选 A>.【评注 】 此题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念,题型比较新,有肯定难度 . 将极限表示式转化为极限值加无穷小量,是有关极限分析过程中常用的思想；<4）设向量组I：可由向量组II：时,向量组线性表示,就 A> 当时,向量组II 必线性相关 . B> 当II 必线性相关 . C> 当时,向量组I 必线性相关 . D> 当时,向量组I 必线性相关 . D 名师归纳总结 【 分 析 】本 题为 一 般教 材 上 均 有 的 比 较 两组向 量 个 数 的 定 理 ： 如向量 组I ：第 5 页,共 20 页可由向量组II：线性表示,就当时,向量组I 必线性相关 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 或其逆否命题：如向量组I：个人资料整理仅限学习使用可由向量组II：线性表示,且向量组 I 线性无关,就必有 . 可见正确选项为 D>. 此题也可通过举反例用排除法找到答案 .【 详解 】用排除法：如,就,但线性无关,排除 A>；,就 可由 线性表示,但线性无关,排除B>；,可由线性表示,但线性无关,排除 C>. 故正确选项为 D>.【评注 】 此题将一已知定理改造成挑选题,假如考生熟知此定理应当可直接找到答案,如记不清晰,也可通过构造适当的反例找到正确选项；<5）设有齐次线性方程组Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为矩阵,现有4 个命题： 如 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解,就秩 A>秩B>； 如秩 A>秩B>,就 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解； 如 Ax=0 与 Bx=0 同解,就秩 A>=秩B>； 如秩 A>=秩 B>, 就 Ax=0 与 Bx=0 同解 . 以上命题中正确选项A> . B> .C> . D> . B 【分析 】 此题也可找反例用排除法进行分析,但两个命题的反例比较复杂一些,关键是抓住与 ,快速排除不正确的选项.【详解 】 如 Ax=0 与 Bx=0 同解,就n-秩A>=n - 秩B>, 即秩 A>=秩B>,命题成立,可排 除 A>,C>； 但 反 过 来 , 如 秩 A>= 秩 B>,就 不 能 推 出 Ax=0 与 Bx=0 同 解 , 如,就秩 A>=秩B>=1,但 Ax=0 与 Bx=0 不同解,可见命题不成立,排除 D>,故正确选项为 B>.【例】 齐次线性方程组Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件A> rA>=rB>. B> A,B为相像矩阵 .名师归纳总结 C> A, B的行向量组等价. D> A,B的列向量组等价. C 第 6 页,共 20 页有此例题为基础,信任考生能快速找到答案.<6）设随机变量,就 A> . B> . C> . D> . C - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【分析 】 先由分布的定义知个人资料整理仅限学习使用,再将其代,其中入,然后利用F 分布的定义即可. 【详解 】 由题设知,这里,其中,依据,于是=F 分布的定义知故应选 C>. 【评注 】 此题综合考查了 t 分布、分布和 F 分布的概念,要求娴熟把握此三类常用统计量分布的定义 . 三 、<此题满分 10 分）过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线,该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D. 1 求 D 的面积 A；2 求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 【分析 】 先求出切点坐标及切线方程,再用定积分求面积A； 旋转体体积可用一大立体<圆锥）体积减去一小立体体积进行运算,为了帮忙懂得,可画一草图 .【详解 】 1> 设切点的横坐标为,就曲线 y=lnx 在点 处的切线方程是由该切线过原点知,从而 所以该切线的方程为平面图形 D 的面积<2） 切线与 x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线,因此所求旋转体的体积为x=e 旋转所得的旋转体体积为名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用 y 1 D O 1 e x 【评注 】 此题不是求绕坐标轴旋转的体积,因此不能直接套用现有公式 . 也可考虑用 微元法分析 . 四 、<此题满分12 分）绽开成 x 的幂级数,并求级数的和 . 将函数【分析 】 幂级数绽开有直接法与间接法,一般考查间接法绽开,即通过适当的恒等变 形、求导或积分等,转化为可利用已知幂级数绽开的情形；此题可先求导,再利用函数的幂级数绽开即可,然后取x 为某特别值,得所求级数的和. 【详解 】 由于又 f0>= , 所以 =由于级数收敛,函数fx>在处连续,所以令,得名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用, 再由,得10 分）五 、<此题满分已知平面区域,L 为 D 的正向边界 . 试证：1> ；2> 【分析 】 此题边界曲线为折线段,可将曲线积分直接化为定积分证明,或曲线为封闭正向曲线,自然可想到用格林公式；2>的证明应留意用1>的结果 .【详解 】 方法一 ：1> 左边 = =,右边 =所以 =,. 2> 由于,故由 <1）得方法二：<1） 依据格林公式,得,. 由于 D 具有轮换对称性,所以名师归纳总结 故=,. 第 9 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用 2> 由1>知 = = <利用轮换对称性） =【评注 】 此题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接运算出来的,因此期望通过运算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外,一个题由两部分构成时,求证第二部分时应第一想到利用第一部分的结果,事实上,第一部分往往是起桥梁作用的 .六 、<此题满分 10 分）某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功 . 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比<比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 依据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r0<r<1>. 问1> 汽锤击打桩 3 次后,可将桩打进地下多深？2> 如击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深？<注： m 表示长度单位 M.）【分析 】 此题属变力做功问题,可用定积分进行运算,而击打次数不限,相当于求数列的极限 . 即【详解 】 1> 设第 n 次击打后,桩被打进地下,第 n 次击打时,汽锤所作的功为. 由题设,当桩被打进地下的深度为 x 时,土层对桩的阻力的大小为,所以,由 可得由 可得,名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 从而,个人资料整理仅限学习使用即汽锤击打3 次后,可将桩打进地下. ,就<2） 由归纳法,设 =由于,故得, 从而于是,即如击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下 m. 【评注 】 此题奇妙地将变力作功与数列极限两个学问点综合起来了,有肯定难度；但用定积分求变力做功并不是什么新问题,何况此题的变力非常简洁；七 、<此题满分 12 分）设函数 y=yx>在 内具有二阶导数,且 是 y=yx>的反函数 . 1> 试将 x=xy>所满意的微分方程 变换为 y=yx>满意的微分方程；2> 求变换后的微分方程满意初始条件=的解 . 【分析 】 将转化为比较简洁,关键是应留意：= = . 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 然后再代入原方程化简即可. 个人资料整理仅限学习使用【详解 】 1> 由反函数的求导公式知=,于是有. =代入原微分方程得2> 方程 * >所对应的齐次方程 * > 的通解为设方程 * >的特解为,代入方程 * >,求得,得,故,从而的通解是由. 故所求初值问题的解为【评注 】 此题的核心是第一步方程变换；八 、<此题满分 12 分）设函数 fx>连续且恒大于零,其中,1> 争论 Ft>在区间 内的单调性 . 2> 证明当 t>0 时,【分析 】 1> 先分别在球面坐标下运算分子的三重积分和在极坐标下运算分母的重积 分,再依据导函数 的符号确定单调性；2> 将待证的不等式作适当的恒等变形后,构 造帮助函数,再用单调性进行证明即可 .【详解 】 1> 由于名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用,所以在上,故 Ft> 在内单调增加 . <2） 因,要证明 t>0 时,只需证明t>0 时,即令,就由于 gt>在 t=0 处连续,所以当,故 gt>在内单调增加 . t>0 时,有 gt>>g0>. 又 g0>=0, 故当 t>0 时, gt>>0, 因此,当 t>0 时,【评注 】 此题将定积分、二重积分和三重积分等多个学问点结合起来了,但难点是证 明<2）中的不等式,事实上,这里也可用柯西积分不等式证明：,在上式中取fx>为10 分）,gx>为即可 . 九 、<此题满分设矩阵,求B+2E 的特点值与特点向量,其中为 A 的相伴矩阵, E为 3 阶单位矩阵 . 名师归纳总结 【分析 】 可先求出,进而确定及 B+2E,再按通常方法确定其特第 13 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用征值和特点向量；或先求出 A 的特点值与特点向量,再相应地确定 A*的特点值与特点向量,最终依据B+2E与 A*+2E 相像求出其特点值与特点向量.【详解 】 方法一：经运算可得=,. ,从而,故 B+2E的特点值为当时,解,得线性无关的特点向量为所以属于特点值的全部特点向量为,其中是不全为零的任意常数. 当时,解,得线性无关的特点向量为,名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以属于特点值的全部特点向量为个人资料整理仅限学习使用,其中为任意常数 . 方法二：设A 的特点值为,对应特点向量为,即. 由于,所以又因,故有,于是有因此,为 B+2E的特点值,对应的特点向量为由于,故 A 的特点值为当时,对应的线性无关特点向量可取为,当 时,对应的一个特点向量为由,得,. 名师归纳总结 因此, B+2E 的三个特点值分别为9,9,3. 是不全为零的任意常数；第 15 页,共 20 页对应于特点值9 的全部特点向量为,其中对应于特点值3 的全部特点向量为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ,其中个人资料整理仅限学习使用是不为零的任意常数. 【评注 】 设,如是 A 的特点值,对应特点向量为,就 B 与 A 有相同的特点值,但对应特点向量不同,B 对应特点值的特点向量为此题运算量大,但方法思路都是常规和熟识的,主要是考查考生的运算才能；不过利用相像矩阵有相同的特点值以及A 与 A*的特点值之间的关系争论,可适当降低运算量.十 、<此题满分8 分）已知平面上三条不同直线的方程分别为,. 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为【分析 】 三条直线相交于一点,相当于对应线性方程组有唯独解,进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为 2. 【详解 】 方法一 ：必要性设三条直线 交于一点,就线性方程组 *> 有唯独解,故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2,于是由于 = , 名师归纳总结 但依据题设,故第 16 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 充分性：由个人资料整理仅限学习使用,就从必要性的证明可知,故秩由于 =,故秩 A>=2. 于是,秩A>=秩 =2. 因此方程组 *>有唯独解,即三直线 交于一点 .方法二 ：必要性于是设三直线交于一点,就为 Ax=0 的非零解,其中. 而 = , 但依据题设,故充分性：考虑线性方程组 *> 将方程组 *> 的三个方程相加,并由* *> 由于a+b+c=0 可知,方程组 *> 等价于方程组名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - =-个人资料整理仅限学习使用, 故方程组 * *> 有唯独解,所以方程组*> 有唯独解,即三直线交于一点 .【评注 】此题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定,而解的判定问题又可转化为矩阵的秩运算,进而转化为行列式的运算,综合考查了多个学问点 .十一 、<此题满分 10 分）已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3 件合格品和3 件次品,乙箱中仅装有 3 件合格品 . 从甲箱中任取3 件产品放入乙箱后,求：1> 乙箱中次品件数的数学期望；2> 从乙箱中任取一件产品是次品的概率 . 【分析 】 乙箱中可能的次品件数为0,1,2, 3,分别求出其概率,再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率,涉及到两次试验,是典型的用全概率公式的情形,第一次试验的各种可能结果<取到的次品数）就是要找的完备大事组.【详解 】1> X 的可能取值为0,1,2,3,X 的概率分布为, k=0,1,2,3. 即 X 0 1 2 3 P 因此2> 设 A 表示大事“ 从乙箱中任取一件产品是次品” ,由于,构成完备大事组,因此依据全概率公式,有 = =【评注 】此题对数学期望的运算也可用分解法：设就 的概率分布为名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用 0 1 P由于,所以十二 、<此题满分 8 分）设总体 X 的概率密度为其 中是 未 知 参 数 . 从 总 体X 中 抽 取 简 单 随 机 样 本, 记1 求总体 X 的分布函数 Fx>；2 求统计量的分布函数；. ,可作为多维相3 假如用作为的估量量,争论它是否具有无偏性【分析 】 求分布函数Fx>是基此题型；求统计量的分布函数互独立且同分布的随机变量函数求分布函数,直接用定义即可；是否具有无偏性,只需检 验 是否成立 .【详解 】1> 2> = = = =名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3> 概率密度为个人资料整理仅限学习使用由于所以 =,. 作为的估量量不具有无偏性【评注 】此题表面上是一数理统计问题,实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的运算等多个学问点 与数字特点结合起来是一种典型的命题形式 . 将数理统计的概念与随机变量求分布名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 20 页