2022年空间向量与立体几何知识点归纳总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 一对一授课教案学员姓名：年年级：时所授科目：分共小时上课时间：月日分至时老师签名空间向量与立体几何同学签名教学主题上次作业检查 本次上课表现 本次作业一学问要点；1. 空间向量的 概念 ：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量；注：（ 1）向量一般用有向线段表示（2）向量具有 平移不变性2. 空间向量的 运算 ；同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；定义：与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）；OB OA AB a b ; BA OA OB a b ; OP a R 运算律： 加法交换律：abbac平行六面体法就加法结合律：abcab数乘安排律：abab运算法就 ：三角形法就、平行四边形法就、3. 共线向量；（1）假如表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合 ,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a 平行于 b ,记作a /b；（2）共线向量定理 ：空间任意两个向量a 、 b （ b 0 ）, a/ b 存在实数 ,使 a b ；（3）三点共线 ：A 、B、C 三点共线 <=>ABACy OB 其中 xy1<=>OCx OA（4）与 a共线的单位向量为aa4. 共面对量（1）定义：一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面对量；说明：空间任意的 两向量都是共面 的；（2）共面对量定理 ：假如两个向量 a b 不共线, p 与向量 a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使 p xa yb ；（3）四点共面：如 A、B、C、P 四点共面 <=> AP x AB y AC<=> OP x OA y OB z OC 其中 x y z 1 5. 空间向量基本定理：假如三个向量 a b c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯独的有序实数组 x y z,使 p xa yb zc ；如三向量 ab c不共面,我们把 a b c , , 叫做空间的一个 基底,a b c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向名师归纳总结 第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x y z , 使量都可以构成空间的一个基底；推 论 ： 设O A B C 是 不 共 面 的 四 点 , 就 对 空 间 任 一 点 P , 都 存 在 唯 一 的 三 个 有 序 实 数O Px O Ay OBzO C6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 O xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯独的有序实数组 , , x y z ,使 OA xi yi zk,有序实数组 , , x y z 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标,记作 A x y z , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标；注：点 A（x,y,z）关于 x 轴的 的对称点为 x,-y,-z, 关于 xoy 平面的对称点为x,y,-z.即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反；在 y 轴上的点设为 0,y,0, 在平面 yOz 中的点设为 0,y,z（2）如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为 1,这个基底叫单位 正交基底 ,用 , , 表示；空间中任一向量 a ix y j z k =（x,y,z）（3）空间向量的直 角坐标运算律：如 a a a a 3 ,b b b b 3 ,就 a b a 1 b a 2 b a 3 b 3 ,a b a 1 b a 2 b a 3 b 3 ,a a 1 , a 2 , a 3 R ,a b a b 1 1 a b 2 a b ,a / b a 1 b a 2 b a 3 b 3 R ,a b a b 1 1 a b 2 2 a b 3 3 0；如 A x y z 1 ,B x 2 , y 2 , z 2 ,就 AB x 2 x 1 , y 2 y z 2 z 1 ；一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标； 定 比分 点 公 式 ： 如A 1 x,1 y,1 z,B x 2,y 2,z 2,AP形PB, 就 点P坐 标 为y 1 ,zx ,y 2y ,z 2z ,明显,x 1x2,y 1y2,z 1z2；推导 ：设 P（x,y,z）就xx ,1yz 1x 2111当 P 为 AB 中点时,Px 12x2,y 12y2,z 12z 2,三角重心P坐标为ABC中,A（x 1,y 1,z 1）Bx 2,y 2,z 2,Cx 3,y 3,z 3P x 1x2x3,y 1y2y3,z 1z2z 3322 ABC的五心 ：内心 P：内切圆的圆心,角平分线的交点；AP AB AC （单位向量）AB AC外心 P：外接圆的圆心,中垂线的交点；PA PB PC垂心 P：高的交点：PA PB PA PC PB PC（移项,内积为 0,就垂直）重心 P：中线的交点,三等分点（中位线比）AP1 AB AC 3中心：正三角形的全部心的合一；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（4）模长公式 ：如 a a a a 3 ,b b b b 3 ,就 | a | a a a 1 2a 2 2a 3 2,| b | b b b 1 2b 2 2b 3 2（5）夹角公式：cos a b| a a b| | b | a 12a ab 1 122a a b322b 12 a b 3 3b 22b 32； ABC中 AB AC 0 <=>A 为锐角 AB AC 0 <=>A 为钝角,钝角 （6）两点间的距离公式：如 A x y 1 , z 1 ,B x 2 , y 2 , z 2 ,2 2 2 2就 | AB | AB x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 ,2 2 2或 d A B x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 7. 空间向量的数量积；（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 a b ,在空间任取一点 O,作 OA a OB b,就 AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 a b；且规定 0 a b,明显有 a b b a；如 a b,就称 a2与 b 相互垂直,记作：a b ；（2）向量的模：设 OA a ,就有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作：| a ；（ 3 ） 向 量 的 数 量 积 ： 已 知 向 量 a b , 就 | a | | b | co s a b 叫 做 a b 的 数 量 积 , 记 作 a b , 即a b | a | | b | cos a b ；（4）空间向量数量积的性质：a e|a|cosa e；aba b0；|a| 2a a ；（5）空间向量数量积运算律： aba bab； a bb a （交换律）；abca ba c （安排律）；不满意 乘法结合率：ab cabc二空间向量与立体几何1线线平行 两线的方向向量平行1-1 线面平行 线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行 两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直 线与面的法向量平行2-2 面面垂直 两面的法向量垂直3 线 线夹角（共面与异面） 0 O, 90 O 两线的方向向量 n 1n 2 的夹角或夹角的补角,cos cos n ,1 n 23-1 线面夹角 0 O, 90 O：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量 AP 与面的法向量 n 的夹角,如为锐角角即可,如为钝角,就取其补角；再求其余角,即是线面的夹角 . sin cos AP, n3-2 面面夹角（ 二面角） 0 O, 180 O：如两面的法向量一进一出,就二面角等于两法向量 n 1n 2 的夹角；法向量同进同出,就二面角等于法向量的夹角的补角 . cos cos n 1, n 24点面距离 h ：求点 P x y 0 到平面 的距离：在平面 上去一点 Q x y ,得向量PQ;； 运算平面 的法名师归纳总结 第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 向量 n ;.hPQnn学习必备欢迎下载4-1 线面距离（线面平行） ：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行） ：转化为点面距离【典型例题】1基本运算与基本学问（）例 1. 已知平行六面体ABCD ABCD,化简以下向量表达式,标出化简结果的向量； ABBC ； ABADAA ；ABAD1CC ； 1 3ABADAA；2MG例 2. 对空间任一点 O 和不共线的三点 A B C ,问满意向量式：OP xOA yOB zOC （其中 x y z 1）的四点 P A B C 是否共面？例 3 已知空间三点 A （0, 2,3）, B（ 2,1,6）,C（1, 1,5）；求以向量 AB AC 为一组邻边的平行四边形的面积 S；如向量 a 分别与向量 AB AC 垂直,且 |a |3 ,求向量 a的坐标；2基底法（如何找,转化为基底运算）3坐标法（如何建立空间直角坐标系,找坐标）4几何法例 4. 如图,在空间四边形OABC中,OA8,AB6,AC4,BC5,OAC45,OAB60,求 OA与 BC 的夹角的余弦值；OA CB说明：由图形知向量的夹角易出错,如ABOA AC135易错写成OA AC45,切记！B C 的交点,又 1例 5. 长方体ABCDA B C D 中,1 1 1 1BC4, E 为AC 与 1 1B D 的交点,1 1F 为BC 与 1名师归纳总结 第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AFBE ,求长方体的高BB ；1学习必备欢迎下载【模拟试题】1. 已知空间四边形ABCD ,连结AC BD ,设M G 分别是BC CD 的中点,化简以下各表达式,并标出化简结果向量：（ 1） ABBCCD ；（2）AB1 2BDBC；（3）AG1 2ABAC；2. 已知平行四边形ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量；OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD ；（1）求证：四点E F G H 共面；（2）平面 AC / 平面 EG ；3. 如图正方体ABCDA B C D 中,B E 1D F 11A B ,求BE 与DF 所成角的余弦；45. 已知平行六面体ABCDA B C D 中,名师归纳总结 AB4,AD3,AA5,BAD90,第 5 页,共 6 页BAADAA60,求 AC 的长；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 参考答案 1. 解：如图,（1） ABBCCDACCDAD ；20 1585第 6 页,共 6 页（2）AB1BDBCAB1BC1BD ；222ABBMMGAG ；（3）AG1 2ABACAGAMMG ；2. 解：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形,ACABAD , EGOGOE ,k OCk OAk OCOA k ACk ABADk OBOAODOA OFOEOHOEEF EHE F G H 共面；（2）解：EFOFOEk OBOAk AB ,又 EGk AC ,EF/AB EG/AC ；所以,平面AC/平面 EG ；3. 解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系Oxyz ,就B1,1,0,E 11,3,1,D0,0,0,F 10,1,1,44BE10,1,1,DF 10,1,1,44BE1DF117,4BE 1DF 100111 115；4416cosBE DF 1151715；161717444. 分析：AB 2, 1,3,AC1, 3,2,cosBAC|AB AC|1AB|AC2 BAC 60° ,S|AB|AC| sin 607 3设 a （ x,y,z）,就aAB2xy3z0,aACx3y2z0,|a|3x2y22 z3解得 xy z1 或 xyz 1, a （ 1,1, 1）或 a（ 1, 1, 1）；5. 解：|AC2 |ABADAA2|AB2 |AD2 |AA2 |2AB AD2AB AA2AD AA2 42 3522 4 3 cos902 4 5 cos602 3 5 cos60169250所以, |AC|85；名师归纳总结 - - - - - - -