2022年空间距离.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载一、学问概要（一）考纲要求 把握点点、点线、点面、线线、线面、面面距离的定义,娴熟把握各种距离的求法,其中重点为 点到面的距离；（二）空间中的距离 点与点的距离（平面两点距离公式、空间两点距离公式）点到直线的距离（一般在直线与圆版块中显现）点到平面的距离：从平面外一点向平面引垂线,点到垂足间的线段的长度；（重点）异面直线间的距离：两条异面直线间的公垂线夹在这两条异面直线间的垂线段的长度；直线与平面间的距离：假如直线和平面平行,从直线上任意一点向平面引垂线,垂线段的长度；两平行平面间的距离：夹在两个平行平面间的垂线段的长度；二、考点透视（一）异面直线间的距离（线线距离）名师归纳总结 【例 1】如图,在正三棱锥PABC中,侧棱长为 3,底面边长为 2 , E 是 BC 中点,EFPA；C （1）求证： EF 是异面直线 PA与 BC 的公垂线段；P （2）求异面直线 PA 与 BC 的距离；F 【解】（1）连结PE AE ,就在等腰PBC 和等边ABC 中,PEBC , AEBC ,又 PE 与 AE 交于点 E ,A 故 BC面 PEA,而 EF 在平面 PEA中,E C 1故 BCEF,又EFPA,即证！B （2）在PEA中,PE2 2,AE3,PA3,就cosFAE293sinFAE69,故EFsinFAEAE2393【例 2】正方体ABCDA BC D 的棱长为 1,求异面直线AC 与AB 间的距离；（使用向量法）【解】建立如图空间直角坐标系,就A1,0,0,A 11,0,1,B 11,1,1,C 10,1,1AB1 0,1,1,AC 1 1 1,1,0,A B1 1 0,1,0A 1D1B 1设mAB ,mAC ,且m , , BCDA第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就m AB 1学习好资料a1,就m3欢迎下载0,即bacb00,取1,1, 1m AC10故异面直线A C 与AB 间的距离d|m A B 1|m|3【小结】异面直线间的距离求法：（1）几何法：找公垂线；利用三角形求公垂线长度；（2）向量法：异面直线a b 之间的距离d|AB| |cosAB m|AB m|,其中ma mb Aa Bb|m|（二）点到平面的距离（重点）【例 3】如图, 弧 AEC 是半径为 1的半圆, AC 为直径, 点 E 为弧 AC 的中点, 点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平面AEC 外一点 F 满意 FC平面 BED ,FB5；（1）证明： EBFD（2）求点 B 到平面 FED 的距离 . 【解】（1）点 E 为弧 AC 的中点,ABE90,即 EBAC14 21又FC平面 BED , BE平面 BED ,FCBE又FC AC平面 FBD , FCACCEB平面 FBD ,就 EBFD（2）FCBF2BC25 12,S Rt EBD1BE BD11222在 Rt FBE 中,FEBE2BF26,由于FDED5SFDE1FE h FE16562212222h ,就h由等体积法可知：V BFEDV FBDE,即1 3S Rt BDEFC1SFDE321【例 4】如图,在直三棱柱ABCA B C 中,BAC90,ABACAA 11, D 是棱CC 上的一点, P 是 AD 的延长线与A C 的延长线的交点,且PB 1/平面BDA ；（1）求证：CDC D ；（2）求二面角AA DB 的平面角的余弦值；（3）求点 C 到平面B DP 的距离；（用向量法）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【解】（1）建立如图空间直角坐标系A 1xyz ,就A 10,0,0,B 11,0,0,C 10,1,0,B1,0,1,设C DxAC/PC ,就C PC D1xxACCD由此可得D0,1, x ,P 0,11xx,0AB1,0,1,A D0,1, x ,B P 1 1,11xx,0设平面BA D 的一个法向量为m , , 就m A B0,即ac0；令c1,就m1, , 1m A D0bcx0PB 1/平面BA D ,m B P1x11xx00x1,故CD由此可得C D2（2）由（ 1）知,平面BA D 的一个法向量m1, , 1 12又n1,0,0为平面AA D 的一个法向量cosm n|m n|2,故二面角AA DB 的平面角的余弦值为2；m n33（3）PB 11, 2,0,PD0, 1,1,设平面B DP 的一个法向量h , , 2就h PB 10,即xy2y0；令z1,可得h1,1,1；又DC0,0,1zh PD00222C 到平面B DP 的距离d|DC| cosDC h|DC h|1|h|3【小结】点到面的距离求法：（1）等体积法：利用体积法求点面距离关键是查找到合适的四周体；（2）向量法：点 A到面的距离d|AB| |cosAB m|AB m|,其中 B, m是平面的法向量；|m|（三）线到面、面到面的距离名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -学习好资料欢迎下载【例 5】已知正方形 ABCD的边长为 4 ,E F 分别是AB AD 的中点, H 是 EF 与 AC 的交点, CG平面 ABCD,且CG2,求直线 BD 到平面 EFG 的距离；【解】建立如图空间直角坐标系Dxyz ,就D0,0,0,E4,2,0,F2,0,0,G0,4,2GFE 2 , 2 , 0 FG 2,4,2,DG0,4,2DC设平面 EFG 的一个法向量为m , , F就m FE0,即aab0c0；令a1,就m1, 1,3AEBm FG02 bD 到平面 EFG 的距离d|DG| cosDG m|DG m|2 1111|m|【例 6】如图,在只三棱柱ABCA B C 中,ABC90,BC2,CC14,EB 11,D F G 分别是CC B C 1,AC 的中点, EF 与B D 相交于点 H ；（1）求证：B D平面 ABD ；BC（2）求证：平面EFG/平面 ABD ；,AE 1BFD（3）求平面 EFG 与平面 ABD 的距离；【解】（1）建立如图空间直角坐标系,设A t 1 ,0,0C 1就A t ,0,4,B0,0,4,D0,2,2,E0,0,1,GF 0 , 1, 0 Gt,1,0,C 10,2,01A2B D0,2,2,ABt,0,0,BD0,2,2B D AB0,B D BD0,即B DAB ,B DBD又 ABBDB ,B D平面 ABD（2）GFt,0,0,EF0,1, 12GF/AB ,EF/BD ,即GF/AB ,EF/BD又 GFEFF , ABBDB ,平面EFG/平面 ABD（3）DF0, 1, 2,设平面 ABD 的一个法向量为m , , 就m AB0,即a00；令b1,就m0,1,1m BD0bc第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料|DF| cos欢迎下载DF m|3 2平面 EFG 与平面 ABD 的距离dDF m|m|2【小结】直线与平面的距离、两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离来求；【总结】用向量法求距离的公式：异面直线a b 之间的距离：|,其中ma mb Aa Bb ；PAD都d|AB| | cosAB m|AB m|m|点 A 到平面的距离：|,其中 B, m 是平面的法向量；d|AB| | cosAB m|AB m|m|直线 a 与平面之间的距离：|,其中Aa B, m 是平面的法向量；d|AB| | cosAB m|AB m|m|两平行平面,之间的距离：|,其中A,B, m是平面的法向量；d|AB| | cosAB m|AB m|m|【变式练习1】如图,四棱锥PABCD中,ABCBAD90,BC2AD,PAB和是边长为 2 等边三角形；【变式练习（1）证明：PBCD；P（2）求点 A 到平面 PCD 的距离；CDAB2】如图,四棱锥SABCD 的底面 ABCD 是正方形, SA底面 ABCD ,E 是 SC 上的一点；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2；SECD（1）求证：平面 EBD平面 SAC；（2）假设SA4,AB2,求点 A 到平面 SBD的距离；【解】（1）在正方形 ABCD 中： ACBD,又SA平面 ABCD ,CS在平面 ABCD 上的射影为 ACA又ACBD ,SCBD故 BD面 SAC,又BD面 EBD平面 EBD平面 SAC（2）可由VASBDV SABDh4B3【变式练习3】在长方体ABCDA B C D 中,AB4,BC3,CC 1（1）求证：平面A BC1/平面ACD ；D1B 1C 1（2）求（ 1）中两个平行平面间的距离；1261A 1CD61（3）求点B 到平面A BC 的距离；126161BA每周一练名师归纳总结 1如图,棱长为a 的正方体ABCDA 1B 1 C1D1中,E F 分别为C D 1,AB 的中点；EC 1第 6 页,共 9 页（1）求A 1B 1与截面A1ECF所成角的大小；D 1（2）求点 B 到截面A1ECF的距离；A 1B 1CDAFB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2已知斜三棱柱ABC学习好资料欢迎下载90,BC2,AC22A B C 的侧面A ACC 与底面 ABC 垂直,ABC且AA 1AC ,AA 1AC ；求顶点 C 与侧面A ABB 的距离；平面 ABCD , CSDS ,3如图,在四棱锥SABCD 中, ADBC 且 ADCD ；平面 CSDCS2AD2； E 为 BS 的中点,CE2,AS3求：BEA（1）点 A到平面 BCS 的距离；（2）二面角 ECDA的大小；CDS名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4如图,已知四棱锥P学习好资料欢迎下载ABCD 为菱ABCD , PBAD ,侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形,底面形,侧面 PAD 与底面 ABCD所成的二面角为 120 ；（1）求点 P 到平面 ABCD 的距离；（2）求面 ABP 与面 CBP所成二面角的大小；5如图, PA平面 ABCD ,四边形 ABCD 是正方形,PAAD2,M N 分别为AB PC 的中点；（1）求二面角 P CD B 的大小；（2）求证：平面平面 PCD ；P（3）求 P 到平面 MND 的距离；NA DM名师归纳总结 BC第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6如图,在三棱锥S ABC中,学习好资料欢迎下载SA SC2 2,ABC 是边长为 4 的正三角形,平面SAC 平面 ABC ,M 为 AB 的中点；（1）证明： ACSB；ASCB（2）求二面角 SCMA的大小；（3）求点 B 到平面 SCM 的距离；M备课组组长检查签字：名师归纳总结 检查时间 : 月日时分第 9 页,共 9 页- - - - - - -
