2022年空间几何体的表面积与体积教案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 空间几何体的表面积与体积一、柱体、锥体、台体的表面积A. 多面体的表面积 1. 多面体的表面积求法：求平面绽开图的面积 注：把多面体的各个面平铺在平面上,所得图形称之为多面体的平面积绽开图 . 2. 直棱柱的侧面积与全面积（ 1）侧面积求法：侧面绽开（如图）；公式： S cl （其中 c为底面周长,l 为侧棱长）；（ 2）表面积：侧面积两底面积 . （ 3）推论：正棱柱的侧面积：Scl （其中 c为底面周长,l 为侧棱长） . 长方体的表面积：S2abbcca . （其中a b c 分别为长方体的长宽高）正方体的表面积：S6a （ a 为正方体的棱长）. 3. 斜棱柱侧面积与全面积（ 1）侧面积：求法：作出直截面（如图）；注：这种处理方法包蕴着割补思想 . 公式： S cl （其中 c为直截面周长,l 为侧棱长）；（ 2）表面积：侧面积两底面积 . 4. 正棱锥的侧面积与全面积（ 1）侧面积求法：侧面绽开（如图）；h 为斜高）；公式：S1ch （其中 c 为底面周长,2（ 2）表面积：侧面积底面积.5. 正棱台的侧面积与全面积（ 1）侧面积求法：侧面绽开（如图）；h 为斜高）；公式：S1 c2c h （其中 c 、 c 为底面周长,（ 2）表面积：侧面积两底面积.6. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的内在联系：正棱台侧面积公式：S1 2cc hS1chcchlc0正棱柱侧面积公式：Scl正棱锥侧面积公式：2B. 旋转体的表面积l名师归纳总结 r2 r第 1 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 圆柱的侧面积与全面积（ 1）侧面积：求法：侧面绽开（如图）；2 r2 R公式：S2rl （ r 为两底半径,l 为母线长）；（ 2）表面积：S2r rl .2. 圆锥的侧面积与表面积（ 1）侧面积l求法：侧面绽开（如图）；x公式： Srl ；l（ 2）表面积：Sr rl （ r 为两底半径,l 为母线长） . r事实上：圆锥侧面绽开图为扇形,扇形弧长为2 r ,半径为圆锥母线l ,故面积为12rlrl . 23. 圆台的侧面积与表面积x2 r（ 1）侧面积求法：侧面绽开（如图）；rl公式：SrR l ；R事实上：圆台侧面绽开图为扇环,扇环的弧长分别为2 r 、 2R ,半径分别为x 、 xl ,故圆台侧面积为S12Rxl12rxRr xRl ,xRlrRr xrl,SrR l . 22r（ 2）表面积：r22 RrR l . （ r 、 R 分别为上、下底面半径,l 为母线长）4. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的内在联系：圆柱侧面积公式：圆台侧面积公式：SrR lSRl1clRrr0S2rlcl圆锥侧面积公式：2二、柱体、锥体、台体的体积A. 棱柱、棱锥、棱台的体积1. 棱柱体积公式：VSh（ h 为高, S 为底面面积） ；. 2. 棱锥体积公式：V1Sh（ h 为高, S为底面面积） ；33. 棱台体积公式：V 棱台1 3S 1S S 2S h（ h 为高,S 、S 分别为两底面面积）事实上,设小棱锥高为x ,就大棱锥高为xh . 于是V1S 2xh1S x 11S h 21S 2S x . 13333xxxhS hS 1xS 2S 1S 1S21S 1x1S h 1,S 1S h1S 1S S 2S h . S 1S2hS 2hV11S 2S 1S 2S 1xS hS 2333334. 棱柱、棱锥、棱台体积公式间的内在联系：名师归纳总结 圆台侧面积公式：V 棱台1 S 13S 1SS 1 2S h 2S第 2 页,共 10 页- - - - - - -S 1S 2S0S 2精选学习资料 - - - - - - - - - B. 圆柱、圆锥、圆台的体积1. 圆柱的体积：Vr h （ h 为高, r 为底面半径） .h 为高） .xrl2. 圆锥的体积：V12 R h （ h 为高, R 为底面半径） .33. 圆台的体积：V1r2rR2 R h （ r 、 R 分别为上、下底半径,3事实上,设小圆锥高为x ,就大圆锥高为xh （如图） . hR于是V12 Rxh12 r h1RrRr x1R h . 3333xxhrxRrrRr xrh,V1Rr rh12 R h1 r2rRR2h . Rh3334. 圆柱、圆锥、圆台体积公式间的内在联系：圆台体积公式：V1 r2rR2 R hV12 R hRr3r0圆柱体积公式：Vr h 2圆锥体积公式：3三、球的体积与表面积1. 球的体积V43 R .32. 球的表面积S42 R . 四、题型示例A. 直用公式求面积、求体积例 1 （1）一个正三棱柱的底面边长为4,侧棱长为10,求其侧面积、表面积和体积；侧面积： 120；表面积： 120+120+8 3 ；体积 40 3 . （ 2）一个圆台,上、下底面半径分别为10、20,母线与底面的夹角为60° ,求圆台的侧面积、表面积和体积；侧面积： 600；表面积： 1100；体积：7000 3 3.CA DD ,求棱锥CA DD 的体积与（ 3）已知球的表面积是64,求它的体积 . 结果：256 3.（ 4）在长方体ABCDA B C D 中,用截面截下一个棱锥剩余部分的体积之比. 结果 1:5 .练习：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹角为30 ,求正四棱锥的侧面积和表面积. 结果：2 32cm ,48cm .8,AD6,DAB60,以 AB 为轴旋转一周,得旋转体.2. 已知平行四边形ABCD 中,AB求旋转体的表面积. 1,就沿面对角线AC 、AB 、CB 截得的三棱锥BACB 的结果： 84 3.3. 正方体ABCDA B C D 的棱长为体积为 C A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 2 3 64. 已知正四棱台两底面均为正方形,边长分别为 4cm、8cm,求它的侧面积和体积 .结果：侧面积：48 15cm ；体积：224 14 cm 3 .35. 正四棱锥 S ABCD 各侧面均为正三角形,侧棱长为 5,求它的侧面积、表面积和体积 . 结果：侧面积：25 3 ；表面积： 251 3 ；体积：125 2 . 66. 如正方体的棱长为 2 ,就以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 . 3 2B. 依据三视图求面积、体积 2 2 例 3 一空间几何体的三视图如下列图,就该几何体的体积为A.2 2 3 B.4 2 3 2 2 2 2 C. 2 2 3 D. 4 2 3 正（主）视图 侧（左）视图3 3结果： C. 俯视图练习：1. 一个底面为正三角形,侧棱于底面垂直的棱柱的三视图正视图3 34 如下列图,就这个棱柱的体积为. 结果： 363 . 侧视图俯视图2. 下图是一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图,假如直角三角形的直角边长均为1,那么这个几何体的体积为正视图侧视图A. 1B. 1 2C. 1 3D. 1 6俯视图答案： C. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为3 的等腰三角形,正视图侧视图俯视图是半径为1 的半圆,该几何体的体积是A.2B.2323C.D.433俯视图答案： A.4. 已知一个组合体的三视图如下列图,请依据详细的数据,2 4 2 4 运算该组合体的体积.10 10 提示：该组合体结构为：上部是一个圆锥,中部是一个圆柱,下部也是一个圆柱 . 结果：176 3. 1 正视图1 侧视图2 俯视图5. 下图是一个几何体的三视图,依据图中数据,可得该几何体的表面积是 D A. 9B. 10C. 11D. 12C. 几何体表面上最短距离问题例 三棱锥 P ABC 的侧棱长均为 1,且侧棱间的夹角都是 40 ,动点 M 在 PB 上移动,动点 N 在 PC 上移动,求 AM MN NA的最小值 .结果：3 . D. 与球有关的组合问题例 1（1）如棱长为3 的正方体的顶点都在同一球面上,就该球的表面积为.结果 : 27.3 15r .（2）如一个球内切于棱长为3 的正方体,就该球的体积为. 结果 :9 2.例 2 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为的铁球,并注入水, 使球浸没在水中并使水面正好与球相切,然后将球取出, 求这时容器中水的深度. 结果：变式训练：1. 长方体ABCDA B C D 中,AB3,AD4,AA 1. 5,就其外接球的体积为. 2. 求棱长为 1 的正四周体的外接球、内切球的表面积注：棱长为的正四周体中常用数据：名师归纳总结 （1）高：6 3a ,中心到顶点距离：6a ,中心到面距离：6a ,中心到顶点距离：中心到面的距离=3： 1. 第 5 页,共 10 页412（2）全面积：3a ,体积：22a . （3）对棱距离：2a . 122（4）棱面角：aaiccos3或aicsin6,面面角：aiccos1或aicsin232. 333- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - E. 几个重要结论的补充及应用结论 1 锥体平行截面性质锥体平行截面与锥体底面相像,且与底面积比等于两锥侧面积面积比,等于两锥全面积面积比,等于两锥对应线段（对应高、对应斜高、对应对角线、对应底边长）比的平方 .结论 2 如圆锥母线长为 l ,底面半径为 r ,侧面绽开图扇形圆心角为,就 2 r .l结论 3 如圆台母线长为 l ,上、下底面半径分别为 r 、 R ,侧面绽开图扇环圆心角为,就2 R r .l证明：设小圆锥母线长为 x ,就有 x 2 r 2 r. x r x rx rl,x x l R l R r R r2 r 2 r R r 2 R r . x rl l应用1. 一个圆锥的侧面积是底面积的2 倍,就圆锥侧面绽开图扇形的圆心角度数为B A.120B.180C.240D.3002. 一个圆锥的高是10cm,侧面绽开图是半圆,求圆锥的侧面积SOA. 2r2102,有此得r10 3,l20 3.解：设圆锥底面半径为r ,圆锥母线长为l ,就扇形弧长为2r22l,l2r . 在 Rt中,l33圆锥侧面积为Srl200. 33. 露露从纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片（如图）,用它们恰好能围成一个圆锥模型,如圆的半径为1扇形的圆心角等于120° ,就此扇形的半径为C180 ,那么A. 1 3B.6 C. 3D. 64. 圆台的上、下底面半径分别为10cm 和 20cm,它的侧面绽开图的扇环的圆心角是圆台的表面积是多少？结果：1100 cm . 1,侧面绽开图的圆心角为240 ,就圆锥体积为C5. 圆锥母线长为A.22B. 8 81C.4 5D. 10 8181816. 如圆锥的侧面绽开图是圆心角为 A. 3: 2 B. 2:1 C. 4: 3D. 5: 3 结果： C. F. 空间几何体体积求法例析A. 公式法120 、半径为 l 的扇形, 就这个圆锥的表面积与侧面积的比是例 1 四棱锥 PABCD 的顶点 P 在底面中的射影恰好是A ,C主视图aa侧视图第 6 页,共 10 页其三视图如图,就四棱锥PABCD的体积为 .解：依据三视图可已将四棱锥PABCD 的底面是边长为a 的正方形,高为a ,Pa利用锥体体积公式V PABCD1a2a1a . 33B俯视图点评： 1. 运算几何体体积需要区分锥体、柱体、台体、D球体 . 它们的体积各自有不同的特点,留意精确运用体积公式. A名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 假如是只求体积,依据“ 长对正,宽相等,高平齐” 分别求出几何体的底面积和高,直接运算体积即可,如几何体比较复杂或涉及面积等运算时,就需复原几何体（本几何体复原后的图形如图）. 例 2 一个几何体的俯视图是一个圆,正视图和侧视图是全等的矩形,它们水平放置时（一边在水平位置上） ,它们的斜二测直观图是边长为 6 和 4 的平行四边形,就该几何体的体积为 .解：斜二测画法原就是“ 横长不变纵减半”. 据此,正视图的长可能是 6 或 4,高是 8 或 12,而且是矩形 . 可见该几何体是圆柱体,底面直径可能是 6 或 4,高是 8 或 12. 依据圆柱体体积公式,V 328 72 或 V 2212 48 . 该几何体体积为 72 或 48 . 例 3 用一块长 3m,宽 2m 的矩形木板, 在墙面相互垂直的墙角处,围出一个直三棱柱形谷仓,在下面的四种设计中,容积最大的是 A 2 3 2 3 45 45 30 30解：略 . 3 2 3 2 B. 分割法 A B C A 例 4 已知一个多面体的表面积为 36,它的内切球的半径为 2,求该多面体的体积 .解：设多面体有 n 个面, 每个面的面积分别为 S S 1 2 , , S ,就 n S 1 S 2 S n 36 . 多面体内切球的球心到多面体个个面的距离都等于球的半径 R ,运用分割法,以内切球球心为顶点,多面体的每个面为底面,将多面体分割成 n 个棱锥,于是多面体的体积等于这个棱锥的体积和,即V1SR 11S R 11S R 11R S 1S2S n136224. ABCD 是边长为 3 的正方形,EF/ /AB ,EF3,33333例 5 如图 3,在多面体ABCDEF 中,已知面2EF 与 AC 面的距离为2,就该多面体的体积为.解：取 AB 、 CD 边的中点 M 、 N ,将多面体分割成斜三棱柱和四棱锥,EFEFCADE利用三棱柱体积公式及四棱锥体积公式,DCDN不难求得多面体积：V132313215. ABAMB22322点评：此题中的几何体是不规章的,设法将几何体分割 （或补）成规章的常见的几何体, 是解题的关键, 由于EF/ /AB ,并没有说明的准确位置,因此可以将其位置特别化,从而得到直三棱柱ADBMNF 和四棱锥 FMNCB ,这是此题解法一个奇妙之处. C. 补形法例 6 已知三棱柱的一个侧面面积为S ,相对的棱距离该侧面的CC1D1距离是 h ,求证：该三棱柱的体积是V1Sh .DAA 12BB 1证明：设三棱柱ABCABC 1 11的侧面ABB A 的面积为 S ,侧棱CC 到该侧面的距离为 1h . 以三棱柱的侧面ABB A 为底面,将三棱柱补形得到四棱柱,如图. 就四棱柱的高恰等于h . 四棱柱的体积为 VSh ,它的一半,即为三棱柱的体积V1Sh . 三棱柱的体积为V1Sh . 22的面积分别为2 1.5 cm ,2cm ,点评：本体的结论可以作为结论用. 例 7 已知 PA 、PB 、PC 两两相互垂直, 且PAB、PAC、PBC名师归纳总结 第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 26 cm ,就过 P 、 A 、 B 、 C 四点的外接球的体积为 cm .解： PA 、 PB 、PC 两两相互垂直, 就以它们为基础, 补形成为一个长方体, 长方体的对角线是外接球的直径 . 设三条棱长分别为 x y z ,就 xy 3,xz 4,yz 12,解得 xyz 12,x 1,y 3,z 4 . 从而 2 2 1 2 3 2 4 2,4 r 226,r 26. 2V 4r 3 4 26r 3 13 26 . 3 3 2 3点评： 对于三条棱两两相互垂直或者 3 个侧面两两相互垂直的三棱柱以及正四周体或对棱分别相等的三棱锥,都可以补形成为长方体或者正方体,它们有共同的外接球,外接球的直径正好是长方体或正方体的体对角线,这样就很简单将球体和三棱锥联系起来 .A 1P D 1D. 特别化法 B 1例 8 如图,直三棱柱 ABC A B C 体积为 V ,点 P 、 Q 分别在侧棱 AA 、DD 上,AP D Q ,就四棱锥 B APQD 的体积为 . A Q解：将条件 AP DQ 特别化,使得 1 P 和 A 重合, Q 和 D 重合,四棱锥 1 B APQD 就 D变成三棱锥 B ADA ,它和直三棱柱等底等高,四棱锥 B APQD 的体积等于 1SABD h 1V . B3 3E. 等体积转化（变换角度）例 9 如图,在长方体ABCDA B C D 中,假如分别过BC 、A D 的 2 个平行平面将长方体分成C 1C体积相等的3 部分,那么C N 1. D 1NND1解：将长方体站立放置,从而更简单观看到相关的几何体分别是直三棱柱、直四棱柱、. 由于A 1MDB1直三棱柱 . 长方体被分成体积相等的三部分,即V D HD 1A GA 1VD NCH 1A MBG 1VNC C 1MB B 1H它们的等高且等体积,底面积也相等,就是说SA GA 1SAMBG 1SMB B 1,AGB即1AGAA 1GBAA ,AG2GB ,C N2. ABCDA B C D 的A 1D 1B 1C 12ND1例 10 如图,已知E 、 F 分别是棱长为a 的正方体棱AA 、CC 的中点,求三棱锥C 1B EF 的体积 . F解：V C 1B EF 1VE B FC 1 11SB C F 1 1AB1a3. EDBC312A点评：在三棱锥求体积问题中,变换角度就是换顶点、换底面,它是运算三棱锥体积问题长见的转化策略之一,它的基本依据是变换前后等体积 . 转换的标准是相应的底面和高是否简单求解. 明显此题直接依据题中所给的角度或者转换成三棱锥都不便于求底面和高. 练习：1. 正六棱锥 PABCDEF 中, G 为 PB 的中点,就三棱锥DGAC 与三棱锥 PGAC 体积之比为C A. 1:1B. 1: 2 C. 2:1D. 3: 2第 8 页,共 10 页2. 如图,在多面体ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,且ADE、BCF均为正三角形,EF/ /AB ,EF2,就该多面体的体积为A A.2B.3C. 4 3D. 3 23名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 某几何体的三视图如下,依据图中标出的尺寸（单位：cm）,就这个几何体的体积是B2010 10 202020 俯视图634634正视图侧视图A.4000 cm 33B.8000 cm 33C.3 2000 cm D.4000 cm34. 一个棱锥的三视图如图,就该棱锥的表面积为A A.48122 B. 48242 C. 36122 D. 36242正视图侧视图636 俯视图5. 如正方体外接球的体积是432,就正方体的棱长为3A.22B.2 3C.2D.4 3 333选 D 7. 如图,已知多面体ABCDEFG ,AB,AC ,AD 两两垂直,平面ABC/ /平面 DEFG ,平面BEF/ /平面 ADGC ,ABADDG2,ACEF1,就该多面体的体积为A. 2B. 4C. 6D. 89. 一个长方体的某3 个面的面积分别是2 ,3 ,6 . 就这个长方体的体积是.10. 设等边三角形ABC的边长为 a , P 是ABC内的任意一点,且P 到三边 AB , BC , CA的距离分别为d ,d ,d ,就有d1d2面体 ABCD 的棱长为 a ,P 是正四周体d 为定值 3；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四2ABCD内的任意一点, 且 P 到四个面的距离分别为 d ,d ,d ,d ,就有d1d2d3d 为定值是 . 结果：6.r , R ,就该球的体积是.311. 某球的外切圆台上下底面半径分别为12. 在三棱锥 ABCD 中,ABCD6,ACBDADBC5,就该三棱锥的外接球的表面积为 . 解：依题意得,该三棱锥的三组对棱分别相等,因此可将该三棱锥补成长方体,设该长方体的长、宽、高分别为a b c ,且其外接球的第 9 页,共 10 页2 ab22 6 ,半径为 R ,就b2c22 5 ,得a2b22 c43,即2R 2a2b2c243. 2 ca22 5三棱锥外接球的表面积为S42 R43.名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 13. 各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为 16,就球的体积是. 结果： 8 6.86. 11. 体积为 8 的一个正方体,其全面积与球O 的表面积相等,就球O 的体积等于 .结果：33 ,就 a_.结果：3 .14. 如图是一个几何体的三视图,如它的体积是1 1 3 2 正视图 俯视图 侧视图15. 三棱锥的顶点为 P , PA, PB , PC 为三条侧棱,PA, PB , PC 两两相互垂直,又 PA 2,PB 3,PC 4,就三棱锥 P ABC 的体积为 _. 结果： 4.14. 半径为 R 的球的外切圆柱的表面积为,体积为 .结果：6 R ；2 2 R .16. 直三棱柱 ABC A B C 的各顶点都在同一球面上,如 AB AC AA 1 2,BAC 120,就此球的表面积等于 . 结果： 20 .17. 三个球的半径 R R 2 , R ,满意 R 1 2 R 2 3 R ,就它们的表面积 S S 2 , S ,满意的关系是 . 结果：S 1 2 S 2 3 S . 18. 如图,已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长a的最大值为 a ,最小值为 b ,那么圆柱被截后剩下部分的体积是 . br解：补形（如图） ,结果：r 2 a2 b . a bbr19. 某高速大路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示 . 墩的上半部分是正四棱锥 P EFGH ,下半部分是长方体ABCDEFGH . 图 5、图 6 分别是该标识墩的正视图和俯视图.第 10 页,共 10 页（ 1）请画出该安全标识墩的侧视图；P （ 2）求该安全标识墩的体积.结果：（ 1）与正视图一样； （ 2）64000 cm .名师归纳总结 - - - - - - -