2022年空间角的求法精品.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载空间角,能比较集中反映空间想象才能的要求,历来为高考命题者垂青,几乎年年必考；空间角是异 面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称；空间角的运算思想主要是 转化 ：即把空间角转化为平面角,把角的运算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解；空间角的求法一般是：一找、二证、三运算；一、异面直线所成角的求法异面直线所成的角的范畴：090（一）平移法【例1】已知四边形/ABCD 为直角梯形,AD/BC ,ABC90, PA平面 AC ,且BC2,PAADAB1,求异面直线PC 与 BD 所成角的余弦值的大小；【解】过点 C 作CEBD交AD的延长线于E,连结PE,就PC与BD所成的角为PCE或它的补角；CEBD2,且PE2 PAAE210P由余弦定理得c o sPCEPC22CE2PE23BADC3PC CE6PC与 BD 所成角的余弦值为6（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱ABCA B C 的底面边长为8,侧棱长为 6, D 为 AC 中点；求异面直线AB1与BC 所成角的余弦值；A 1C1【答案】1 25B 1C D A B 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范畴：090方法：射影转化法（关键是作垂线,找射影）名师归纳总结 【例 2】如图,在三棱锥 PABC 中,APB90,PAB60, ABBCCA,点 P 在平面 ABC第 2 页,共 8 页内的射影 O 在 AB 上,求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小；P【解】连接 OC ,由已知,OCP为直线 PC 与平面 ABC 所成角C设 AB 的中点为 D ,连接PD CD ；ABBCCA,所以 CDABABAPB90 ,PAB60,所以PAD 为等边三角形；不妨设PA2,就OD1, OP3,AB4CD2 3,OCOD2CD213在 Rt OCP中,tanOCPOP339OC1313【变式练习1】如图,四棱锥SABCD中,AB/CD,BCCD,侧面SAB为等边三角形；ABBC2,CDSD1,求 AB 与平面 SBC所成的角的大小；【解】由 AB平面 SDE 知,平面 ABCD平面 SDE作 SFDE ,垂足为 F ,就 SF平面 ABCD ,SFSDSE3DE2作 FGBC,垂足为G,就FGDC1连结 SG,就 SGBC ,又 BCFG , SGFGG故 BC平面 SFG,平面 SBC平面 SFG作 FHSG, H 为垂足,就 FH平面 SBCFHSFFG21,即 F 到平面 SBC的距离为21SG77由于ED/BC ,所以ED/平面 SBC,故 E 到平面 SBC的距离 d 也为217设 AB 与平面 SBC所成的角为,就sind21,就arcsin21EB77- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式练习2】如图,在四棱锥P学习必备欢迎下载PD ,BC1,PC2 3,ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, ADPDCD2,求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值；113【解】过点 P 作 PECD 于点 E ,连接 BEA DP DA DD C,就平面 PDC平面 ABCDPE面 ABCD ,就PBE 是直线 PB 与平面 ABCD 所成角C DP D2 ,P C23P D C1 2 0P E3 ,D E在 Rt BCE中,BEBC2CE210PBBE2PE2在 Rt BPE中,sinPBEPE39PB13三、二面角的求法二面角的范畴：0180；从找平面角的角度动身,有以下几种方法：求二面角的大小,关键在于找出或作出二面角的平面角（一）定义法：在棱上选一恰当的“ 点”（一般是选一个特别的点,如：垂足、中点等）,过这一“ 点” 在两个半平面A 内作棱的垂线,两垂线所成的角即为二面角的平面角；（一般在找出角后,利用三角形求解）【例 3】在三棱锥 PABC 中,APBBPCAPC60,求二面角 APBC 的余弦值；【解】在 PB 上取PQ1,作 MQPB 交 PA 于 M ,P 作 QNPB 交 PC 于 NQ N M cosMQN1B 3C 名师归纳总结 【变式练习】 如图, 点 A在锐二面角MN的棱 MN 上, 在面内引射线 AP ,使 AP 与 MN 所成N角PAM45,与面所成角的大小为30 ,求二面角MN的大小；【解】在射线AP上取一点B,作BH于点 H ,作 HQMN 于 Qs i nB Q H2,就MNPB为 45MQA2H第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（二）利用三垂线 三垂线定理： 在平面内的一条直线,假如和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么 它也和这条斜线垂直；逆定理： 假如平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直,那么这条直线也垂直于这条斜线在平面 内的射影；从半平面内的任一点A动身向另一个半平面引一条直线AH ,过 H 作棱 l 的垂线 HG ,垂足为G ,连 AG ,就由三垂线定理可证lAG , 故AGH 就是二面角l的平面角；三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法,其关键是查找或求作一条垂线,即从第一个半平面 内的某一个点动身,且垂直于另一个半平面；【例 4】如图,在三棱锥 PABC 中,APB90,PAB60, AB1BCCA,点 P 在平面 ABC内的射影 O 在 AB 上,求二面角BAPC 的大小；P【解】过 AB 中点 D 作 DEAP于E,连接CE,CA由已知可得, CD平面 PABB据三垂线定理可知,CEPA就CED 为 BAPC 的平面角易知,如AB1,就DE3,CD2 3在 Rt CDE 中,tanCEDCD2 32DE3BB 1,直线B C 与平面 ABC 成 30【变式练习】在直三棱柱ABCA B C 中,BAC90,AB角,求二面角BB CA 的正弦值；BCC B ,B1A1 C1【解】由直三棱柱性质得平面ABC平面BCC B ,过 A作 AN平面垂足为 N ,就 AN平面BCC B （ AN 即为我们要找的垂线）Q 名师归纳总结 在平面BCB 内过 N 作 NQ棱B C ,垂足为 Q ,连 QAB N C 就NQA 即为二面角的平面角；A 第 4 页,共 8 页AB 在平面 ABC 内的射影为 AB , CAABCAB A ,又ABBB 11,得AB 12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2,向量法；直线B C 与平面 ABC 成 30 角B CB30,又B C2,就Rt B AC 中,由勾股定理得ACAQ1,在 Rt BAC 中,AB1,AC2,得AN63sinAQNAN6AQ3即二面角BB CA 的正弦值为63从不直接找出平面角的角度动身,主要有两种方法：面积法（面积射影法）（三）面积法（面积射影法）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（ cosS 射 ）求出二面角的大小S；CC 的中点,求平面C A 求证： cosS 射SD E 【例 5】 如图, E 为正方体ABCDA B C D 的棱AB E 和底面A B C D 所成锐角的余弦值；SDD SBB 3C 【答案】所求二面角的余弦值为2 3A E 【变式练习】如图,S是正方形ABCD所在平面外一点,且D1 B1 C1 A1 ；面 ABCD ,AB1,求面 ASD与面 BSC所成二面角的大小；S【答案】 45名师归纳总结 ADBC第 5 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四、真题演练1（山东） 已知三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 的侧棱与底面垂直,体积为 9 ,底面是边长为 3 的正三角形, 如 P4为底面 A 1 B 1 C 1 的中心,就 PA 与平面 ABC 所成角的大小为（）A . 5 B . C . D .12 3 4 62（大纲）已知正四棱柱 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 中,AA 1 2 AB,就 CD 与平面 BDC 所成角的正弦值等于 （）2 3 2 1A . B . C . D .3 3 3 33（山东） 如下列图,在三棱锥 P ABQ 中, PB 平面 ABQ ,BA BP BQ , D , C , E , F 分别是AQ BQ ,AP BP 的中点,AQ 2 BD, PD 与 EQ 交于点 G , PC 与 FQ 交于点 H ,连接 GH ；（1）证明： AB GH ；（2）求二面角DGHE的余弦值；C 1D1的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心,A1 O平面4（陕西） 如图,四棱柱ABCDA 1B 1ABCD ,ABAA 12；的大小；A1D1CB1C1（1）证明：A1 C平面BB1D1D；（2）求平面OCB 与平面BB1D1D的夹角DO名师归纳总结 AB第 6 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5 （ 湖 南 理 ） 如 图 在 直 棱 柱ABCD学习必备D1欢迎下载BC ,BAD900,ACBD,A 1B 1 C1中 , AD BC1,ADAA 13ACD 所成角的正弦值；AC2AA ,BAC120,（1）证明：ACB 1D；（2）求直线B 1C1与平面6（四川理） 如图, 在三棱柱ABCA B C 中,侧棱AA 1底面 ABC ,AB名师归纳总结 - - - - - - -D D 分别是线段BC B C 的中点, P 是线段 AD 的中点（1）在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面A BC 平行的直线 l ,说明理由,并证明直线 l平面ADD A ；（2）设（ 1）中的直线 l 交 AB 于点 M ,交 AC 于点 N ,求二面角AA MN 的余弦值CAPDBC1A1D 1B17如图,在四棱锥SABCD 中, ADBC 且 ADCD ；平面 CSD平面 ABCD , CSDS ,CS2AD2； E 为 BS 的中点,CE2,AS3求：（1）点 A到平面 BCS 的距离；（2）二面角 ECDA 的大小；【解】（1）AD/BC,且BC平面 BCSAD/平面 BCS就 A 点到平面 BCS 的距离等于点到平面BCS的距离B平面 CSD平面 ABCD,ADCDEA故 AD平面CSD,从而 ADSD由AD/BC,得BCDSCD又由 CSDS 知 DS平面 BCSS从而 DS 为点 A到平面 BCS 的距离第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - Rt ADS中DS2 AS学习必备3 1欢迎下载AD22名师归纳总结 （2）如图,过 E 作 EGCD ,交 CD 于点 G ,又过 G 点作 GHCD 交 AB 于 H第 8 页,共 8 页故EGH 为二面角 ECDA 的平面角,记为,过 E 作EF/BC ,交 CS 于点 F ,连结 GF平面 ABCD平面 CSD, GHCDCSD易知 GHGF ,故2EGF由于 E 为 BS 边中点,故CF1CS12在 Rt CFE 中,EFCE2CF2211EF平面 CSD,又 EGCD故由三垂线定理的逆定理得FGCD ,从而又可得CGF:因此GF DSCF,而在 Rt CSD 中,CDCS 2SD 2426CD故GFCFDS121CD63在 Rt FEG 中, tanEGFEF3,可得EGF3FG故所求二面角的大小为6- - - - - - -