2022年立体几何中的轨迹问题汇总.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 例析空间中点的轨迹问题的转化求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点,又是近几年高考的一个热点, 这是一类立体几何与解析几何的交汇题,既考查空间想象才能, 同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想；一轨迹为点例 1 已知平面|,直线 l,点 Pl ,平面,之间的距离为 8,就在内到 P 点的距离为10 且到直线 l 的距离为9 的点的轨迹是 PA一个圆B.两条直线lO M QC.两个点 D.四个点解析:设 Q 为 内一动点,点 P 在 内射影为 O,过 O, l 的平面与 的交线为 l ,PQ=10,OQ= 10282 6 点 Q 在以 O 为圆心 6 为半径圆 上 , 过 Q 作 QM l 于 M , 又 点 Q 到 直 线 l 的 距 离 为9 QM= 928217 就点 Q 在以 l 平行距离为 17 的两条平行线上两条平行线与圆有四个交点 这样的点 Q 有四个,故答案选 D；点评:此题以空间图形为背景,把立体几何问题转化到平面上,再用平面几何学问解决,要熟记一些平面几何点的轨迹；二 轨迹为线段名师归纳总结 例 2 如图,正方体ABCDA B C D 中,点 P 在侧面BCC B 及其边界第 1 页,共 16 页上 运 动 , 并 且 总 保 持APBD , 就 动 点P 的 轨 迹 是 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A. 线 段B CBC1C. BB 中 点 与CC 中 点 连 成 的 线 段D. BC 中点与 B C 中点连成的线段解：连结 AB 1 , AC B C ,易知 AB 1 A 1 BD 1 所以 AB 1 BD 1 , AC BD 1 , B C BD ,所以 BD 1 面 AB C ,假设 P B C ,就 AP 平面 AB C ,于是 BD 1 AP ,因此动点 P 的轨迹是线段 B C ；评注：此题是由线面垂直的性质从而求出点 P 的轨迹；例 3 已知圆锥的轴截面 SAB 是边长为 2 的等边三角形, O 为底面中心, M 为 SO 的中点,动点P 在圆锥底面内 包括圆周 ,假设AMMP, 就 点P 的 轨 迹 是 _； 形 成 的 轨 迹 的 长 度 为_；解析:在平面 SAB 中,过 M 作 AM 的垂线交 AB 于 C,在底面上, 过C 作 AB 的垂线分别交底面圆于 D,E 两点,就 AM 面 MDE,DE 即为点 P 的轨迹,又 AO=1,MO= 2 3 ,AM= 2 7 ,从而 AC= 4 7 ,OC= 4 3 ,所以DE= 2 1 34 227 .所以填上线段；2 7 . 三 轨迹为直线例 4 北京高考题 如图, AB 是平面的斜线段, A 为斜足,过点 B作直线 l 与 AB 垂直,就直线 l 与平面交点的轨迹是 BAA圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线解析: 由题意可知直线 l 的轨迹应是过点B 且与 AB 垂直的平面,该名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 平面与平面交点为一条直线,故答案选C. 四.轨迹为圆弧例5 如图,P 是棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D 外表上的动点, 且AP= 2 ,就动点 P 的轨迹的长度为 _；解析:由已知 AC=AB 1=AD 1=2 ,在面 BC1, 面 A 1C1, 面 DC1 内分别有BP=A1P=DP=1,所以动点 P 的轨迹是在面 BC1, 面 A 1C1, 面 DC1 内分 别以 B,D,A 1为圆心,1 为半径的三段圆弧, 且长度相等, 故轨迹长度和为333 2；五.轨迹为平面例 6.不共面的四个定点到平面的距离都相等,这样的平面个数为. .解析：以不共面的四个定点为顶点构造四周体,就满意条件的平面可分两类； 第一类是中截面所在的平面有个；其次类是和一组对棱平行且经过其它各棱中点的平面有个,故满意条件的平面个数为 . 故答案选 . 评注：此题关键在于构造空间四边形,利用四周体的性质去求解；六. 轨迹为圆例 7,如图,三角形 PAB 所在的平面和四边形 ABCD 所在的平面垂直,且AD,BC,AD=4,BC=8,AB=6 ,APDCPB,就点 P 在平面内的轨迹是 名师归纳总结 A圆的一部分B.椭圆的一部分DAPB第 3 页,共 16 页C- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分解析 :由条件易得=AD|BC ,且APD2CPB, AD=4 ,BC=8,可得CBtanAPDADCBtanCPB 即PB,在平面 PAB 内以 AB 所在的PAPBPAAD直线为 x 轴, AB 的中点 O 为坐标原点,建立直角坐标系,就2 2A-3,0,B3,0,设 Px,y,就有 PBPA xx 332 yy 2 2,整理可得一个圆的方程即 x2y2 10 x 9 0 x 0；由于点 P 不在直线 AB 上,故此轨迹为圆的一部分故答案选 A. 点评:此题主要考查空间轨迹问题,是在立体几何与解析几何的交汇处命制的创新题,既考查了空间想象才能,又考查了代数方法 坐标法争论几何轨迹的基本思想；七.轨迹为抛物线例 8.如图,正方体 ABCD A B C D 的棱长为 1,点 M 在棱 AB 上,且AM=1 3,点 P 是平面 ABCD 上的动点,且动点 P 到直线 A D 的距离与动点 P 到点 M 的距离的平方差为 1,就动点 P 的轨迹是 .A. 圆 B. 抛物线C. 双曲线 D. 直线分析：动点的轨迹问题是解析几何中常见的问题,因此我们可以把立体关系转化到平面上去,利用解析几何的学问将问题解决；名师归纳总结 解：设PFA D 于点 F,过点 P 作 PEAD 于点 E,连结 EF,就 AD第 4 页,共 16 页平 面PEF ,ADEF , 即EF/AA ； 因 为PF2PM21, 且PF21PF2EF22 PE ,所以 PEPM ；由抛物线定义知点P 的轨迹是以点 M 为焦点, AD 为准线的抛物线,故应选B. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 评注：从立体转化到平面,从平面到直线,明显是在逐级降维,平面比立体简洁,直线又比平面简洁,这是复杂向简洁的转化；八 .轨迹为椭圆例 9,浙江高考题 如图, AB 是平面的斜线段, A 为斜足,假设点P 在平面 内运动,使得 ABP的面积为定值,就动点 P 的轨迹是 BA圆 B.椭圆 PAC.一条直线 D.两条平行直线解析:由题意可知 ABP的面积为定值 点 P 到 AB 的距离也为定值,点 P 在空间中的轨迹应是以 AB 为旋转轴的圆柱面,又点 P 在平面 内运动,所以动点 P的轨迹应当是圆柱面被平面 所截出的椭圆；故答案选 B；点评:此题主要考查轨迹问题,留意交轨法的应用；九.轨迹为双曲线例 10.2022 年重庆高考题 到两条相互垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 D 1ABCDBC 1A1A. 椭圆B. 抛物线DBCxAC. 双曲线D. 直线yP解析: 构造正方体模型,在边长为a 的正方体A B C D 中,DC与 A 1D1 是两条相互垂直的异面直线,平面ABCD 过直线 DC 且平行于 A 1D1,以 D 为原点,分别以 DA,DC 为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 系,设点 Px,y在平面 ABCD 内且到 DC 与 A 1D1之间的距离相等,所以xy2a2,x2y2a2；故答案选 C 点评:此题以空间图形为背景,把立体几何问题转化到平面上,再用解析几何法求解, 实现从立体几何到解析几何的过渡,这里用解析几何的学问解决立体几何中的运算问题,恰好是当今高考的命题方向；此题考查立体几何,解析几何学问,考查同学的空间想象才能,敏捷运用学问解决问题的才能和创新意识,难度；十.轨迹为球构造正方体模型, 简化了思维例 11.如图,在棱长为 6 的正方体ABCDA B C D 中,长度为 4 的线段MN 的一个端点 N 在 DD1 上运动,另一个端点 M 在底面 ABCD 上运动,就 MN 的中点 P 的轨迹与其顶点 几何体的体积是 _；D 的正方体的三个面所围成的N解析:由 ND平面 ABCDNDDMDPCM在RtNDM中,P 为斜边 MN 的中点,AB就DP1 MN2故点 P 的轨迹是以 D 为球心, 2 为半径的球面,与其顶点 D 的正方体的三个面所围成的几何体是八分之一球体；因此V143 24. 833点评:此题主要考查空间想象才能和推理才能以及球的体积运算,确定点 P 的轨迹是关键；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 含两个变量的不等式化归和构造策略近几年在高考试题的函数压轴题中,常常显现含有两个变量的不等式证明问题, 面对两个变量同学会感觉无从下手,造成找不到解题的突破点；下边通过几道例题,让大家感受化归和构造的策略；策略一：当两个变量可以别离时,依据其两边结构构造函数,利用单调性证明不等式；例 12022 年辽宁文科 21已知函数 f x a 1 ln x ax 21 . 争论函数 f x 的单调性；设 a 2,证明：对任意 x x 2 0, ,| f x 1 f x 2 | 4 | x 1 x 2 |；2解： fx的定义域为 0,+ ,f a 1 2 ax 2 ax a 1 . x x当 a0 时,f x 0,故 fx在0,+ 单调增加；当 a1 时,f x 0, 故 fx在0,+ 单调削减；当 1a0 时,令 f x 0,解得 x= a2 a.当 x0, 1 a2 a时, 1f x 0；x a2 a,+ 1 时,f x 0, 故 fx在0, a2 a单 1调增加,在a2 a,+ 1单调削减 . 不妨假设 x1x2.由于 a2,故 fx在0,+单调削减 . 名师归纳总结 所以f x 1f x 24x 1x 等价于f x 1f x24x1 4x2 , 即 fx2+ 第 7 页,共 16 页4x2fx1+ 4x1.令 gx=fx+4x,就g a12 ax+42ax24xa1.xx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于是g x 4x2x4x12x120. x从而 g x 在0,+单调削减,故 gx1 gx2,即 fx1+ 4x1 fx2+ 4x2 , 故 对 任 意 x1,x2 0,+ ,f x 1 f x 2 4 x 1 x .当 e<x<e2时,1ln x<0,例 22022 年辽宁理科 21名师归纳总结 已知函数 fx=1 x 22 ax+a1 ln x,a1；第 8 页,共 16 页1争论函数f x 的单调性； 2证明：假设a5,就对任意x 1 , x 20, ,x 1x 2 ,有f x 1f x21；x 1x 2解：1f x 的定义域为 0, ；f' xaax1x2axa1x1x1a 2 分xxi假设a11即a2,就f' xx2 1故 .f x 在 0,单调增加；ii 假设a11,而a1,故1a2,就当xa1,1时,f' 0; 当x0,a1及x1,时,f' 0故f x 在 a1,1单调削减,在 0,a1,1,单调增加；iii 假 设a11, 即a2, 同 理 可 得f x 在 1,a1单 调 减 少 , 在0,1,a1,单调增加 . II 考虑函数g x f x1x2ax a1lnxx2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就g xa1ax12xax1a11a12 1由于 1<a<5,故g x 0,即 gx在4, +单调增加,从而当x 1x20时有g x 1g x20,即f x 1f x2x 1x20,故f x 1f x 21,当x 1x20x 1x 时,有f x 1f x 2f x 2f x 11x 1x 2x2x 1练习 1 已知函数 fxax1ln xaR争论函数 fx在定义域内的极值点的个数；假设函数 fx在 x1 处取得极值, . x0,fxbx2 恒 成立,求实数 b 的取值范畴；当 0<x<y<e2且 x e 时,试比较y x与1ln y 1ln x的大小解 fxa1 xax1 x,当 a0 时,fx<0 在0,上恒成立,函数 fx在0,上单调递减,fx在0,上没有极值点；当 a>0 时,fx<0 得 0<x<1 a,fx>0 得 x>1 a,fx在0,1 a上单调递减,在 1 a,上单调递增,即 fx在 x1 a处有微小值当 a0 时,fx在0,上没有极值点；当 a>0 时,fx在0,上有一个极值点函数 fx在 x1 处取得极值, a1,名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - fxbx2. 11 xln xxb,1 ln x令 gx1xx,就 gx2 x2ln x x2 ,ge20,从而可得 gx在0,e2上单调递减,在 e2,上单调递增,gxminge211 e2,即 b11 e2. 1ln x由知 gx1x 在0,e2上单调递减,0<x<y<e2时,gx>gy,即1ln x x >1ln y y . 当 0<x<e时, 1ln x>0,y x> 1ln y1ln x；y x< 1ln y1ln x . 策略二、当两个变量别离不开时通过作差或作商等策略略将两个变量划归为一个变量,再构造函数利用函数单调性进行证明；例 3、已知函数假设 x=2 是函数 fx的极值点,求曲线y=fx在点名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1,f1处的切线方程；假设函数 fx在0,+上为单调增函数,求 a 的取值范 围；设 m,n 为正实数,且 mn,求证：I依据 x=2 是函数 fx的极值点,就 f2=0 可求出 a 的值,然后求出切线的斜率和切点,从而可求出切线方程；II 依据 fx的解析式求出 fx的导函数,通分后依据函数 fx在 0,+上为单调增函数,得到分子大于 0 恒成立,解 出 2a 2 小于等于一个函数关系式,利用基本不等式求出这个函数的最小值,列出关于a 的不等式,求出不等式的解集即可得到a 的取值范畴；III 把所证的式子利用对数的运算法就及不等式的基本性质变形,即要证 ln 于 1 时单调递增,且0,依据II 得到 hx在 x 大于等大于 1,利用函数的单调性可得证解：Ifx= =,由题意知 f2=0,解得 a= ,经检验符合题意从而切线的斜率为k=f1=,切点为 1,0切线方程为 x+8y 1=0 II fx=,由于 fx在0,+上为单调增函数, 所以 fx0 在0,+名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 上恒成立即 x2+2 2ax+10 在0,+上恒成立,当 x0,+时,由 x2+2 2ax+10,得：2a 2x+ ,设 gx=x+ ,x0,+,就 gx=x+ 2 2,=2,当且仅当 x= 即 x=1 时,gx有最小值所以 2a 22,解得 a2,所以 a 的取值范畴是,2；III 要证,只需证,即 ln ,即 ln 0,设 hx=lnx,由II 知 hx在 1,+上是单调增函数,又1,所以 h h1=0,即 ln 0 成立,得到此题主要考查了同学会利用导函数的正负确定函数的单调区间,把握不等式恒成立时所满意的条件, 会利用基本不等式求函数的最小值,是一道中档题例 42022 年陕西已知函数f x e , xxR . 求 f x 的反函数的图象上图象上点1,0 处的切线方程 ; 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明 : 曲线 y = f x与曲线y12 xx1有唯独公共点 . 2 设 a<b, 比较 f a b 与 f b f a 的大小 , 并说明理由 . 2 b a【答案】解 : f x 的反函数 g x ln x , 就 y=gx 过点1,0的切线斜率 k= g' 1 . g' x 1 k g' 1 1 . 过点 1,0 的切线方程为 :y = x+ 1 x 证明曲线 y=fx 与曲线 y 1x 2x 1 有唯独公共点 , 过程2如下. 令hx efx 1x2xx1e x1x2x,1xR ,就0,h'00,h''0022h'xxx,1h' 的导数h ''xex,1且h0 因此,名师归纳总结 - - - - - - -当x0 时h''x0yh'x单调递减;当x0 时h''x 0yh'x单调递增yh'xh'0 0,所以yh x 在R 上单调递增,最多有一个零点x0所 以 , 曲 线y=fx与 曲 线y1x2x1只 有 唯 一 公 共 点20,1.证毕 设fa 2fbfbfaba2faba2fbba2baba2eab ba2 b eba2 ba2ebaea2a2ba令gxx2x2ex,x0,就g'x11x2ex1x1 ex. g'x 的导函数g''x1x1 exxex0,所以g'x在（0,）上单调递增, 且g'00. 因此g'x0,gx 在0 ,上单调递增,而g00 ,所以在0 ,上gx0. 当x0 时,gx x2x2ex0 且ab,第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - ba2 ba2 ebaea02ba所以当a<b 时,f a2f b f bfax22aln x, ba练习 22006 年四川理科 22已知函数f x x的导数是f x ；对任意两个不等的正数1x 、2x ,证明：当a0时,f x 12f x 2fx 12x 2；当a4时,|fx 1fx2 | |x 1x ；本小题主要考查导数的基本性质和应用,等式等学问及综合分析、推理论证的才能；证明：由f x x22alnx,得x函数的性质和平均值不f x 12f x21x 12x 2211alnx 12lnx22x 1x221 22 x 1x 22x 1x2alnx x 2,x x 2x 14x 2alnx 12x 2. fx 12x2x 12x22而1 22 x 1x222 x 1x222x x2x 12x 2又x 1x 22x 12x222x x2x x ,x 1x2x 1x. x x 2x x 2x 12x 2,lnx x 2lnx 12x 2；alnx 12x 2. a0,alnx x 1 2由、,得名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12 x 1x 22x 1x2alnx x2x 12x 22x 14x2alnx 12x2,2x x 2名师归纳总结 即f x 12f x 2fx 12x 2；|a x,第 15 页,共 16 页证法一：由f x 2 x2alnx,得 2x2x2 x|fx 1fx2 | | 2x 12a2x22a |x 12x 1x 22x 2恒成立,|x 1x 2| | 22x 1x 2a|；2 x x2x x 22|fx 1fx2 | |x 1x 2| 22x 1x 2a| 2 x x 22x x 2下面证明对任意两个正数1x 、x ,有22x 1x 2a2 x x 22x x 2即证ax x 22x 1x2成立；x x23 2 , x x 22x 1x 2x x 24x x 2x x 1 2设tx x ,u t t24 t ,就u t 2 t4；tt2令u t 0,得t3 2；列表如下：t3 0 , 2 3 2x 1x2|；u t 0u t 微小值3 3 4u t 3 4 = 33108a ；x x22x 1x 2ax x 2对任意两个不等的正数1x 、x ,恒有|fx 1fx 2 | 证法二：由f x x22alnx,得f 2x2a x,xx2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |fx 1fx2 | | 2x 12a2x22a |x 12x 1x 22x 2名师归纳总结 |x 1x 2| | 22x 1x 2a|；,列表：第 16 页,共 16 页2 x x2x x 221x 、2x是两个不等的正数22x 1x 2ax x 2ax x 24. 2 x x 22x x 2x x 2x x 2设t1,u t 2t34t2 t ,就u t 4 3 t2 x x 2t2 0 , 322 , 3 3u t 0u t 微小值38 27u38,即22x 1x2a. 272 x x2x x 22|fx 1fx2 | |x 1x2| | 22x 1x2a2| |x 1x 2|. 2 x x2x x2- - - - - - -