2022年空间中线线角,线面角,面面角成法原理和求法思路.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 空间中的夹角 福建屏南一中 李家有 QQ52331550 空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角；1、异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范畴是0,2；求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决；详细步骤如下：利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特别的位置,顶点挑选在特 殊的位置上；证明作出的角即为所求的角；利用解三角形来求角；简称为“ 作,证,求”2、线面夹角直线与平面所成的角的范畴是0,2；求直线和平面所成的角用的是射影转化法；D 详细步骤如下：（如线面平行,线在面内,线面垂直,就不用此法,由于角度不用问你也知道）找过斜线上一点与平面垂直的直线；连结垂足和斜足,得出斜线在平面的射影,确定出所求的角；把该角置于三角形中运算；也是简称为“ 作,证,求”注：斜线和平面所成的角,是它和平面内任何一条直线所成的一切角 A C B 中的最小角,即如 为线面角,为斜线与平面内任何一条直线所成的角 , 就 有； （ 这 个 证 明 , 需 要 用 到 正 弦 函 数 的 单 调 性 , 请 跳 过 ； 在 右 图 的 解 释 为BAD CAD ）2.1 确定点的射影位置有以下几种方法：斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；假如一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的平 分线上；名师归纳总结 已知：如图,BAC 在一个平面内,第 1 页,共 7 页PNAC PMAB,且PNPM（就是点 P 到角两边的距离相等）过P 作 PO（说明点 O 为P 点在面内的射影）求证：OANOAM（OANOAM,所以AO 为BAC 的角平分线,所以点O 会在BAC 的角平分线上）证明：PA PA ,PNPM,PNAPMA90PNAPMA （斜边直角边定理）ANAM- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - POPMNOMO 斜线长相等推射影长相等）PNANAMAMOANONAOMAO所以,点P 在面的射影为BAC 的角平AOAOOMON分线上；假如一条直线与一个角的两边的夹角相等,那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线 上；A B,已知：如图,BAC 在一个平面内BAC 的 两 边PANPAM（ 斜 线AP 与A C 所成角相等）PO求证：OAMOAN（说明点O 在角 MAC的角平分线上；）A N证 明 ： 在AB 上 取 点M, 在AC 上 取 点N, 使A M（这步是关键,为我们自已所作的帮助线点,线）A MANPAMPNPMP 在面的射影为BAC 的角平AP APPANPANPAM斜线长相等推射影长相等）POPMNOMOPNANAMANONAOMAO,所以,点AOAOAMOOMON分线上；两个平面相互垂直,一个平面上的点在另一个平面上的射影肯定落在这两个平面的交线上；（这是两面垂直的性质）利用某些特别三棱锥的有关性质,确定顶点在底面上的射影的位置：a.假如侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；已 知 ： 如 图 , 三 棱 锥 P ABC 中 , PA PB PC ,PO 面 ABC求证： O 点为 ABC的外心 （即证 OA OBOC）（注：外心为三角形的外接圆的圆心,也是三边中垂线的交 点）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - b. 假如顶点究竟面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心 或旁心 ；已知：如图,PFAB,PDBC,PEACPFPDPEPO 面 ABC求证： O 为ABC的内心（注：内心为三角形的内切圆的圆心,也为三角形的三个内角的角平分线的交点）证明：连结 BO ,CO 易证 DBO FBO DBOFBO所以 BO 为角 DBF 的角平分线,即点 O 在角 DBF的角平分线上；同理可证点 O 为角 DCE 的角平分线,所以 O 为两内角平分线交点,从而为内心；c. 假如侧棱两两垂直或各组对棱相互垂直,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；AE BC,CD AB已知：如图,PA BC,PB CAPO 面 ABC求证：（ 1） PC AD （就是三棱锥中有两组对棱垂直,就可以推出第三组对夫棱垂直）（所以,条件中各组对棱垂直,实际是有多了一组）（2）点 O 为三角形 ABC 的垂心（注：垂心为三角形的三高交点,O 为垂心,相当于证明AEBC,CDAB,两高交点即可）3、二面角（4）二面角的范畴在课本中没有给出,一般是指0 ,解题时要留意图形的位置和题目的要求；作二面角的平面角常有三种方法棱上一点双垂线法：在棱上任取一点,过这点在两个平面内分别引棱的垂线,这两条射线所成的角,就是二面角的平面角；面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足）,斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角,即为二面角的平面角；边是最常用的名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方法空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面,截二面角得两条射线,这两条射线所成的角就是二面角的平面角；备注：仍有一个投影法求二面角,高考不作要求,所以此处略去；配套练习：（练习难度不大,所以只给简答,见最终一页）1、两个对角面都是矩形的平行六面体是A、正方体 B、正四棱柱 C、长方体 D、直平行六面体2、正三棱柱 ABC-A 1B1C 1 中,异面直线 AC 与 B1C 1 所成的角是A、300 B、 600 C、900 D、12003、已知一个正六棱柱的底面边长是 2 3,最长的对角线长为 8,那么这个正六棱柱的高是A、2 3 B、 3 C、4 D、4 34、正四棱锥相邻的侧面所成二面角的平面角是A、锐角 B、钝角 C、直角 D、以上均有可能5 、一棱锥被平行于底面的平面所截,如截面面积与底面面 积之比是 1:2,就此棱锥的高（自上而下）被分成两段长度之比为A、1:2B、 1:4 C、1:21 D、1:216、在四棱锥的四个侧面中,可以是直角三角形的个数最多是A、4 个B、 3 个C、2 个D、1 个7、三棱锥 P-ABC 中,如 PA=PB=PC ,就顶点 P 在底面三角形的射影是底面三角形的A、内心B、外心C、重心D、垂心8、四棱柱成为平行六面体的一个充分不必要条件是A、底面是矩形B、底面是平行四边形A 到C、有一个侧面为矩形D、两个相邻侧面是矩形9、已知AD 是边长为2 的正三角形ABC 的边上的高,沿AD 将 ABC 折成直二面角后,点BC 的距离为名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - A、3B、7C、14 D、21422410 、已知异面直线a、b 所成的角为500,P 为空间肯定点,就过点P 且与 a、b 所成角都是300的直线有且仅有A、1 条B、 2 条C、3 条D、4 条11 、二面角是直二面角,A,B,A ,B,设直线AB 与,所成的角分别为1 、2 就20 90A、12900B、1C、12900D、120 90二、填空题：（本大题共4 小题,每道题4 分,共 16 分）3,就平面 A 1BC 与平面 ABCD 所成的角的度13 、长方体ABCD-A 1B 1C 1D1 中, AB=3,BC=1,CC1=数是 _ 14 、正三棱锥 V-ABC 的各棱长均为 a,M,N 分别是 VC,AB 的中点,就 MN 的长为 _ 0 015 、有一个三角尺 ABC ,A 30 , C 90 ,BC 贴于桌面上,当三角尺与桌面成 450角时, AB边与桌面所成角的正弦值是 _. 19 、在三棱锥 D-ABC 中, DA平面 ABC ,ACB=900,ABD=300,AC=BC, 求异面直线 AB 与 CD 所成的角的余弦值；（注,题目未配图,请自行画图）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 20 、正方体 ABCD-A1B 1C1D1 的棱长为a,P,Q,R 分别为棱AA 1,AB,BC 的中点,试求二面角P-QR-A 的正弦值；A1D1B 1C 1分析：求二面角,主要思路就是作,证,求；作二面角的基本方法,主要用三垂线法,明显有,PPA面ABCD,所以只要过点A 作 AHQR ,DQBRC垂足为 H,就PHA为所求的平面角,要过 A 作 QR 的垂线,可以底面 ABCD 分别出来,从而变成一个平面问题；一、挑选题： 1D 2.B 3.C 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.C 10.B 11.C 名师归纳总结 二、填空题： 13.300 14.2a 15. 6第 6 页,共 7 页24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三、解答题： 19.30 20. 1063名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页
