2022年立体几何知识点归纳.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一、立体几何学问点归纳 第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特点（1）多面体由如干个平面多边形围成的几何体 . 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱 与棱的公共点叫做顶点；旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体；其 中,这条定直线称为旋转体的轴；（2）柱,锥,球的结构特点 1.棱柱 1.1 棱柱 有两个面相互平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱；F'E'D'底面C'侧面A'B'l1.2 相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的侧棱ED关系：斜棱柱FC棱柱棱垂直于底面直棱柱底面是正多形正棱柱AB其他棱柱直平行六面体底面为矩形四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体1.3 棱柱的性质：侧棱都相等,侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角面是矩形；1.4 长方体的性质：名师归纳总结 长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的D1C1平方和；【如图】AC2AB2AD2AA 12A1DB11C（明白）长方体的一条对角线AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是, ,那么AB2 coscos22 cos1,sin2sin2sin22 ；, ,（明白）长方体的一条对角线AC 与过顶点 A 的相邻三个面所成的角分别是就cos22 coscos22 ,sin2sin2sin21 . 第 1 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1.5 侧面绽开图 ：正 n 棱柱的侧面绽开图是由 边的矩形 . n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻1.6 面积、体积公式：S 直棱柱侧c h2S 底,V 棱柱S 底h（其中c 为底面周长, hS 直棱柱全c h为棱柱的高）2.圆柱2.1 圆柱 以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其A'B'O'C'轴余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 母线轴截面2.2 圆柱的性质： 上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. AOC侧面2.3 侧面绽开图： 圆柱的侧面绽开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. B底面2.4 面积、体积公式：2 r h （其中 r 为底面半径, h 为圆柱高）S圆柱侧= 2 rh ； S圆柱全=2rh2r2,V圆柱=S 底 h=3.棱锥3.1 棱锥 有一个面是多边形,其余各侧棱高S顶点侧面面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥；正棱锥假如有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥；底面ADOBHC斜高3.2 棱锥的性质：平行于底面的截面是与底面相像的正多边形,相像比等于顶点到截面的距 离与顶点究竟面的距离之比；正棱锥各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥中六个元素,即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半,构成四个直角三角形；）（如上图：SOB ,SOH,SBH,OBH 为直角三角形）3.3 侧面绽开图： 正 n 棱锥的侧面绽开图是有n 个全等的等腰三角形组成的；名师归纳总结 3.4 面积、体积公式：S正棱锥侧=12周长, h 侧面斜高, h 棱锥的高）ch , S正棱锥全=1 2chS底,V 棱锥 = 1 3S 底h.（其中 c 为底面4.圆锥rS顶点4.1 圆锥 以直角三角形的始终角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥；轴4.2 圆锥的性质：母线平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于h侧面顶点到截面的距离与顶点究竟面的距离之比；l轴截面是等腰三角形；如右图：SAB轴截面AOB第 2 页,共 13 页 底面- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如右图：l2h2r2学习必备欢迎下载. 圆锥的侧面绽开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形；4.3 圆锥的侧面绽开图：4.4 面积、体积公式：S圆锥侧=rl ,S圆锥全=r rl,V圆锥=12 r h （其中3r 为底面半径, h 为圆锥的高, l 为母线长）7.球 7.1 球以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球 . 或空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体叫做球体,简称 球；7.2 球的性质：球心与截面圆心的连线垂直于截面；rR 2d2（其中,球心到截面的距离为d、球心轴球面 半径球的半径为R、截面的半径为r）7.3 球与多面体的组合体：球与正四周体,球与长O方体,球与正方体等的内接与外切. A'D'OB'C'A'OC'ARrdBO1DCABAc注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 7.4 球面积、体积公式：S 球4R2,V 球43 R（其中 R 为球的半径）3例：（06 年福建卷）已知正方体的八个顶点都在球面上,且球的体积为32,就正方体的棱3长为 _ （二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影；平行投影分为正投影和斜投影；2.三视图是观看者从三个不同位置观看同一个空间几何体而画出的图形；正视图 光线从几何体的前面对后面正投影,得到的投影图；侧视图 光线从几何体的左面对右面正投影,得到的投影图；俯视图 光线从几何体的上面对下面正投影,得到的投影图；注：（1）俯视图画在正视图的下方,“ 长度” 与正视图相等；侧视图画在正视图的右边,“ 高度” 与正视图相等, “ 宽度” 与俯视图； （简记为“ 正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽”. （2）正视图,侧视图,俯视图都是平面图形,而不是直观图；3.直观图：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3.1 直观图 是观看着站在某一点观看一个空间几何体而画出的图形；直观图通常是在平行投影下画出的空间图形；3.2 斜二测法：step1：在已知图形中取相互垂直的轴Ox、Oy,（即取xoy90）；135 ,它们确定的step2：画直观图时,把它画成对应的轴o x o y ,取45 orx o y'平面表示水平平面；step3：在坐标系 x o y 中画直观图时,已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变,平行于 x 轴（或在 x 轴上）的线段保持长度不变,平行于y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半；结论：一般地,采纳斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的2倍. . 4解决两种常见的题型时应留意：（1）由几何体的三视图画直观图时,一般先考虑“ 俯视图”（2）由几何体的直观图画三视图时,能观察的轮廓线和棱画成实线,不能观察的轮廓线和棱画成虚线；其次章 点、直线、平面之间的位置关系名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - （一）平面的基本性质学习必备欢迎下载1.平面无限延展,无边界1.1 三个定理与三个推论公理 1：假如一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内；用途：常用于证明直线在平面内 . 图形语言：符号语言：公理 2：不共线的三点确定一个平面 . 图形语言：推论 1：直线与直线外的一点确定一个平面 . 图形语言：推论 2：两条相交直线确定一个平面 . 图形语言：推论 3：两条平行直线确定一个平面 . 图形语言：用途：用于确定平面；公理 3：假如两个平面有一个公共点,那么它们仍有公共点,这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线）. 用途：常用于证明线在面内,证明点在线上. 图形语言：符号语言：形语言,文字语言,符号语言的转化：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（二）空间图形的位置关系共面 :a b=A,a/b1.空间直线的位置关系：异面:a 与b异面1.1 平 行 线 的 传 递 公 理 ： 平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 互 相 平 行 ； 符 号 表 述 ：a / / b b / / c a / / c1.2 等角定理：假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角 相等或互补 ；1.3 异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线；（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线；P图形语言：Aa符号语言：PP A 与 异面 aa'. b'AaAa1.4 异面直线所成的角： （1）范畴：0,2；（2）作异面直线所成的角：平移法如右图,在空间任取一点O,过 O 作a'/ , a b'/b ,就a b所成的角为异面直线a b 所成的角； 特殊地, 找异面直线所aO成的角时,常常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特. b殊点（如线段中点,端点等）上,形成异面直线所成的角l名师归纳总结 2.直线与平面的位置关系：ll/A第 6 页,共 13 页l- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载图形语言：平行：/3.平面与平面的位置关系：相交斜交：=a垂直：（三）平行关系（包括线面平行,面面平行）1.线面平行：定义：直线与平面无公共点/. （线线平行线面平行）【如图】a/b判定定理：aab性质定理：a/a/b（线面平行线线平行）【如图】ab判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证） ：l l /（用于判定） ；（ ii）a / b/判定定理：a a /“ 线线平行 面面平行” （用于证明） ；（iii）a /abb a“ 面面平行 线面平行” （用于证明） ；（4）b a /（用于判定）；a2.线面斜交： lAAP直线与平面所成的角（简称线面角）：如直线与平面斜交,就平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角；【如图】PO于 O,就 AO 是 PA 在平面内的射影,就PAO就是直线 PA 与平面O所成的角；范畴：0 ,90,注：如l或 l/,就直线 l 与平面所成的角为 0 ；如 l,就直线 l 与平面所成的角为 90 ；3.面面平行：名师归纳总结 定义：/；第 7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载判定定理：假如一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么两个平面相互平行；符号表述：a b,abO a/,b/【如下图】OabOab图Oa'b'图推论： 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线,那么这两个平面相互 平行符号表述：a b,abO a b ', ',a/a b/b'/【如上图 】判定 2：垂直于同一条直线的两个平面相互平行.符号表述：aa,a/.【如右图】判定与证明面面平行的依据：（ 1）定义法；（2）判定定理及推论（常用） （3）判定 2 面面平行的性质： （1）a/a/（面面平行线/面平行）；（2）aa/b；（面面平行线线平行）（3）夹在两个平行平面间的b平行线段相等； 【如图】（四）垂直关系（包括线面垂直,面面垂直）1.线面垂直 定义：如一条直线垂直于平面内的任意一条直线,就这条直线垂直于平面；符号表述：如任意a,都有 la ,且 l,就 l. a b名师归纳总结 判定定理：ab,aOll（线线垂直线面垂直）a,ba/b ；l性质：（1）laa （线面垂直线线垂直）；（2）lbl第 8 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 证明或判定线面垂直的依据：学习必备欢迎下载bb（1）定义（反证）；（2）判定定理 （常用）；（3）/ a（较常用）；（4）a/a；（5）a aba（面面垂直线面垂直）ab常用；三垂线定理及逆定理：（I）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中,POP（1）斜线相等射影相等；（ 2）斜线越长射影越长；（3）垂线段最ACO短；【如图】 PBPCOBOC ； PAPBOAOB（II ）三垂线定理及逆定理：已知 PO,斜线 PA 在平面内的射影为OA , a,如 aOA ,就 aPA垂直射影垂直斜线,此为三垂线定理；B如 aPA,就 aOA垂直斜线垂直射影,此为P三垂线定理的逆定理；三垂线定理及逆定理的主要应用：（1）证明异面直线垂直； （2）作、证二面角的平面角； （3）作点到线的垂线段； 【如图】AOa3.2 面面斜交二面角：（1）定义：【如图】OB l OA l AOB 是二面角l 的平面角范畴：AOB 0, 作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法 . 3.3 面面垂直（1）定义：如二面角l的平面角为 90 ,就；（2）判定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这名师归纳总结 两个平面相互垂直. MON,就AaB第 9 页,共 13 页a（线面垂直面面垂直）a（ 3）性质：如,二面角的一个平面角为MON90；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a aABABa（面面垂直学习必备欢迎下载aB线面垂直）；aAAaa. A aaa或a/Aa二、立体几何常见题型归纳例讲1、概念辨析题：（1）此题型一般显现在填空题,挑选题中,解题方法可采纳排除法,挑选法等；（2）对于判定线线关系,线面关系,面面关系等方面的问题,必需在娴熟把握有关的定理和性质的前提下,利用长方体,正方体,实物等为模型来进行判定；你认为正确的命题需要证明它,你认为错误的命题必需找出反例；（3）相关例题： 课本和报纸上显现许多这样的题型,举例说明如下：例：（04 年北京卷）设m, n 是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出以下四个说n法：m, /mn；/,/ , mm；m/, /m/,/,说法正确的序号是：_ 2、证明题；证明平行关系,垂直关系等方面的问题；（1）基础学问网络：平行与垂直关系可相互转化名师归纳总结 - - - - - - -平行关系垂直关系1.a,ba/b平面几何学问2.a,a/bb/平面几何学问3.a,a4./, aa5./,线线平行线线垂直判定性质性质判定推论判定性质面面垂直定义判定判定线面平行面面平行线面垂直面面垂直请依据以上学问网络图,写出相关定理的图形语言与符号语言. 第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载A1 D1 B1 C1 （2）相关例题：ABCD 例 1（06 广州市高一质量抽测）如右图,在正方体A1B1C1D1中, E、F 为棱 AD、AB 的中点（1）求证： EF 平面 CB1D1；（2）求证： B1D1平面 CAA 1C1E D C A F B 例 2.如图,已知矩形 ABCD 中, AB=10 ,BC=6,将矩形沿对角线 BD 把 ABD折起,使 A 移到 A 点,且 A 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上（）求证：BC A D ；（）求证：平面 A BC 平面 A BD ；（ ） 求 三 棱 锥 A 1 BCD 的 体 积 （ 答 案 ：V A 1 BCD 48）3、运算题；包括空间角（异面直线所成的角,线面角,二面角）和空间几何体的表面积、体积的运算；（1）对于空间角和空间距离的运算,关键是做好“ 三步曲”运算；1.1 求异面直线所成的角0 ,90：step1：找； step2：证； step3：解题步骤： 一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交； （2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置；常用中位线平移法二证： 证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）；常需要证明线线平行；三运算： 通过解三角形,求出异面直线所成的角；1.2 求直线与平面所成的角 0 ,90：关键找“ 两足”：垂足与斜足解题步骤： 一找： 找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（留意三垂线定理的应用）；二证： 证明所找 （作） 的角就是直线与平面所成的角 三运算： 常通过解直角三角形,求出线面角；1.3 求二面角的平面角 0,（或其补角）（常需证明线面垂直） ；解题步骤：一找：依据二面角的平面角的定义,找（作）出二面角的平面角；二证： 证明所找 （作）的平面角就是二面角的平面角 三运算： 通过解三角形,求出二面角的平面角；（常用定义法, 三垂线法, 垂面法）；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）对于几何体的表面积、体积的运算,关键是搞清量与量之间关系,娴熟应用公式进行计算；已知三视图,求几何体体积；平面图形直观图面积与原图形面积的相互转化；（3）相关例题：例 1. 如图 ,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为正方形, PD底面ABCD ,PD=AD.求证：（1）平面 PAC平面 PBD；（2）求 PC 与平面 PBD 所成的角；例 2一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角y三角形' ' 'A B O ,如' O B'1,那么原ABO 的面积是（）OAxA1 2C2 D2 22BB2例 3.（ 06 深圳宝安中学期末考）如图,为一个几何体的正视图,侧视图和俯视图为全等的等腰梯形,上、下底边长分别为2 , 4 ；俯视图中,内、均外为正方形,边长分别为2 , 4 ,几何体的高为 3,求此几何体的表面积和体积；答案 S 全面积=20+12 10 ,V棱台282 ,底面边长为3 , E是 SA的中点,就例 4. 如下列图,已知正四棱锥SABCD侧棱长为异面直线 BE与 SC所成角的大小为（B）A 90 °B 60 °C 45 °D 30 °例 5. 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中,AB AC PA 平面 ABCD ,且 PAAB ,点 E 是 PD 的中点 .（1）求证： AC PB；（2）求证：PB/平面 AEC ；（3）如 PA AB AC a ,求三棱锥 EACD 的体积；（4）求二面角 E ACD 的大小 .（单元考题）三、训练题名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1如图,正方体学习必备欢迎下载A 1B/平面ACD1CABCDA 1B 1C1D1中,棱长为 a （ 1）求证：直线（2）求证：平面ACD1平面BD1D；D2. 如图,棱长为1 的正方体 ABCD-A1B1C1D 1中,1 求证： AC 平面 B 1D1DB; AB2 求证： BD 1平面 ACB13 求三棱锥 B-ACB 1体积D 1 C1 3. 如图, ABCD是正方形, O是正方形的中心,PO底面A1 B 1 名师归纳总结 ABCD,E是 PC的中点；求证：（ 1）PA 平面 BDE ；第 13 页,共 13 页（2）BD平面 PAC - - - - - - -