2022年空间向量与立体几何教案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载空间向量与立体几何 一、学问网络：空间向量的加减运算 共线向量定理 空空间空间向量的数乘运算共面对量定理向量空间向量的数量积运算空间向量基本定理间及向其量运与平行与垂直的条件算立体立空间向量的坐标运算向量夹角与距离几何体直线的方向向量与平面的法向量几何中 的用空间向量证平行与垂直问题向 量 求空间角 方 法 求空间距离二考纲要求：（1）空间向量及其运算 经受向量及其运算由平面对空间推广的过程；明白空间向量的概念,明白空间向量的基本定理及其意义,把握空间向量的正交分解及其坐标 表示；把握空间向量的线性运算及其坐标表示；把握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判定向量的共线与垂直；（2）空间向量的应用 懂得直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的运算问题,体会向量方法在讨论几何问题中的作 用；三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用；本章是立体几何的核心内容,高考 对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算,结合主观题借助空间向量求夹角和 距离；猜测 10 年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用,特殊是求夹角、求距离,教材上淡化了利 用空间关系找角、找距离这方面的讲解,加大了向量的应用,因此作为立体几何解答题,用向量法处名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载理角和距离将是主要方法,在复习时应加大这方面的训练力度；第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标： 1懂得空间向量的概念；把握空间向量的加法、减法和数乘； 2 明白空间向量的基 本定理；3把握空间向量的数量积的定义及其性质；懂得空间向量的夹角的概念；把握空间向量的 数量积的概念、性质和运算律；明白空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判定向量的共 线与垂直；二、重难点： 懂得空间向量的概念；把握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳,讲练结合 四、教学过程（一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情形,促使积极参加；同学阅读复资 P128 页,老师点评,增强目标和参加意识；（二）、学问梳理,方法定位；（同学完成复资 P128 页填空题,老师准对问题讲评）；1空间向量的概念 向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量；如位移、速度、力等；相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；表示方法：用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量；说明：由相等向量的概念可知,一个向量在空间平移到任何位置,仍与原先的向量相等,用同 向且等长的有向线段表示；平面对量仅限于讨论同一平面内的平移,而空间向量讨论的是空间的平 移；2向量运算和运算率OBOAABabbc.O baB A C BAOAOBabOPaR ba.ab加法交换率：加法结合率：abca数乘安排率：abab.说明：引导同学利用右图验证加法交换率,然后推广到首尾相接的如干向量之和；向量加法 的平行四边形法就在空间仍成立；3平行向量 共线向量 ：假如表示空间向量的有向线段所在的直线相互平行或重合,就这些向量名师归纳总结 - - - - - - -叫做共线向量或平行向量；a 平行于 b 记作 a b ；留意：当我们说a 、 b 共线时,对应的有向线段所在直线可能是同始终线,也可能是平行直线；当我们说 a 、 b 平行时,也具有同样的意义；共线向量定理：对空间任意两个向量a （ a 0 ）、 b , a b 的充要条件是存在实数使 b a（1）对于确定的和 a , b a 表示空间与 a平行或共线,长度为 |a | ,当>0 时与 a 同向,当<0 时与 a 反向的全部向量；（3）如直线 l a ,Al,P 为 l 上任一点, O为空间任一点, 下面依据上述定理来推导OP 的表达式；第 2 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 推论：假如学习好资料欢迎下载O,点 P 在直线 ll 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线,那么对任一点上的充要条件是存在实数t ,满意等式OPOAt a其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量；在 l 上取 AB a,就式可化为 OP 1 t OA t OB . 当 t 1 时,点 P 是线段 AB的中点,就 OP 1 OA OB . 2 2或叫做空间直线的向量参数表示式,是线段 AB的中点公式；留意：表示式 、 既是表示式 , 的基础,也是常用的直线参数方程的表示形式；推论的用途：解决三点共线问题；结合三角形法就记忆方程；4向量与平面平行：假如表示向量a 的有向线段所在直线与平面平行或 a在平面内,我们就说向量 a 平行于平面,记作 a ；留意：向量 a 与直线 a的联系与区分；共面对量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面对量；共面对量定理a假如两个向量a、 b 不共线,就向量p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在实数对 x、y,使pxyb.注：与共线向量定理一样,此定理包含性质和判定两个方面；推论：空间一点 P位于平面 MAB内的充要条件是存在有序实数对 x、y,使MP x MA y MB , 或对空间任肯定点 O,有 OP OM x MA y MB . 在平面 MAB内,点 P 对应的实数对（x, y ）是唯独的；式叫做平面 MAB的向量表示式；又MA OA OM ., MB OB OM ., 代入,整理得OP 1 x y OM x OA y OB . 由于对于空间任意一点 P,只要满意等式、之一（它们只是形式不同的同一等式）,点 P就在平面 MAB内；对于平面 MAB内的任意一点 P,都满意等式、,所以等式、都是由不共线的两个向量 MA 、 MB （或不共线三点 M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程,也是 M、A、B、P 四点共面的充要条件；5空间向量基本定理：假如三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯独的有序实数组x, y, z, 使pxaybzc.说明：由上述定理知,假如三个向量a 、 b 、 c 不共面,那么全部空间向量所组成的集合就是p | p x a y b z c , x、y、z R,这个集合可看作由向量 a 、b 、c 生成的, 所以我们把 a ,b ,c 叫做空间的一个基底,a , b , c 都叫做基向量；空间任意三个不共面对量都可以作为空间向量的一个基底；一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同的名师归纳总结 概念；由于0 可视为与任意非零向量共线；与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面就隐含第 3 页,共 27 页着它们都不是0 ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载x、y、z,推论：设 O、A、 B、C是不共面的四点,就对空间任一点P,都存在唯独的有序实数组使OPxOAy OBz OC.6数量积（1）夹角：已知两个非零向量a 、 b ,在空间任取一点O,作OAa,OBb,就角 AOB叫做向量 a 与 b 的夹角,记作a,bA 重 合 , 注 意 图说明：规定0a,b, 因而a,b=b,a；假如a,b=2,就称 a 与 b 相互垂直,记作a b ；O （1）B 在表示两个向量的夹角时,要使有向线段的起点（1）、（2）中的两个向量的夹角不同,A 图（ 1）中 AOB=OA,OB,O （2）B 图（ 2）中 AOB=AO,OB, 从而有OA,OB=OA,OB=OA,OB. （2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模；（3）向量的数量积：abcosa,b叫做向量 a、b的数量积,记作ab；即ab=abcosa ,b,eB Bl 向量 AB在e方向上的正射影: A Aae|AB|cosa,eAB（4）性质与运算率aecosa,e； r ar br ra b a bab=0 ab=b a r ra b r ra c r r|r a2 |r ra a.r ba rc r（三）典例解析 题型 1：空间向量的概念及性质名师归纳总结 - - - - - - -例 1、有以下命题：假如向量r r a b与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么r r a b的关系是不共线；O A B C 为空间四点, 且向量uuur uuu r uuurOAOB OC 不构成空间的一个基底,那么点O A B C 肯定共面；已知向量r r r a b c是空间的一个基底,就向量r ar r b ar r b c,也是空间的一个基底；其中正确的命题是第 4 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - （）；A 学习好资料C 欢迎下载B D 解析：对于“ 假如向量r r a b与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么r r a b的关系肯定共线”；所以错误；正确；题型 2：空间向量的基本运算例 2、如图：在平行六面体ABCDA 1B 1 C1D 1中, MD1MBC1为A 1C1与B 1D1uuur 的交点； 如 ABr auuur, ADr b,uuur AA 1r c,就A1Dc rB1下 列 向 量 中 与CBM 相等的向量是（）Aa r1r b1 2r bA 1a r1r bc rB1 2c rC1a rD1a1bc222222解析：明显BMBB 1B 1M1ADABAA 11 2a r1 2r bc r；答案为 A；2点评：类比平面对量表达平面位置关系过程,把握好空间向量的用途；用向量的方法处理立体几何问题,使复杂的线面空间关系代数化,此题考查的是基本的向量相等,与向量的加法 . 考查同学的空间想象才能；例 3、已知：a3m2n4p0,bax1 m8n2yp,且m ,n ,p不共面 . 如 ab, 求x,y的值 . 解：a b , 且a,0b,即x1 m8 n2ypm32n4p.又m ,n,p不共面 ,x182y,x13 ,y8.324点评：空间向量在运算时,留意到如何实施空间向量共线定理；例 4、底面为正三角形的斜棱柱 ABCA1B1C1中, D为 AC的中点,求证：AB1 平面 C1BD.证明：记 AB a , AC b , AA 1 c , 就AB 1 a c , DB AB AD a 12 b , DC 1 DC CC 1 12 b cDB DC 1 a c AB 1 , AB 1 , DB , DC 1 共面 .B1 平面 C1BD, AB 1/ 平面 C1BD.（四）强化巩固导练名师归纳总结 1、已知正方体ABCD A1B1C1D1中,点 F 是侧面 CDD 1C1的中心,如AFADxAByAA 1,求 x y 的值 .第 5 页,共 27 页解：易求得xy1,xy0a,A 1D1b,A1Ac,就以下向量22、在平行六面体ABCDA 1B 1 C1 D1中, M为 AC与 BD的交点,如A 1B 1中与B1M相等的向量是 A ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A1 a21 bc B21 a2学习好资料欢迎下载ABC C1 bc 2D C1 a 21 bc 2D1 a 21 bc 2A B 3、（ 2022 四川卷理）如图,已知正三棱柱ABCA B C 的各条棱长都相等,M 是侧棱CC 的中点,就异面直线AB 1 和BM所成的角的大是BA,BM；解析：不妨设棱长为2,挑选基BC1BB1向量BA,BB1BC,就AB1BB12BB1BA.BC1BB10222500,故填写o 90 ；2cosAB1,BM2252（五）、小结： 1立体几何中有关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明对于垂直,一般是利用 aba·b0 进行证明对于平行,一般是利用共线向量和共面对量定理进行证明 2 运用向量求解距离问题,其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量,然后运算这个向量对应的模而运算过程中只要运用好加法法就,就总能利用一个一个的向量三角形,将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来,从而求得结果 3 利用向量求夹角 线线夹角、线面夹角、面面夹角有时也很便利其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角,而求两个向量的夹角就可以利用公式cos a b 4 异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线 l 1、l 2,AB为其公垂线段,C、Da b分别为 l 1、l 2上的任意一点,n 为与 AB 共线的向量,就AB | CD n | .5 设平面 的一个法向量| n |为 n ,点 P 是平面 外一点,且 Po ,就点 P 到平面 的距离是 d| Po P n | .| n |（六）、作业布置： 课本 P32 页 A组中 2、3、 4 B 组中 3 课外练习： 课本 P39 页 A组中 8 ；B 组中 3； 复资 P130 页变式训练中 1、 2、3、5、6 五、教学反思：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载其次课时 空间向量的坐标运算一、复习目标：1、懂得空间向量坐标的概念；2、把握空间向量的坐标运算； 3 把握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；把握空间两点间的距离公式二、重难点： 把握空间向量的坐标运算；把握用直角坐标运算空间向量数量积的公式；把握空间两点间的距离公式三：教学方法：探析类比归纳,讲练结合四、教学过程（一）、基础学问过关（同学完成以下填空题）1、空间直角坐标系： （1）如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为 1,这个基底叫单位正交基底,r r r r r r用 , , 表示；（2）在空间选定一点 O和一个单位正交基底 , , ,以 zr r r点 O为原点,分别以 i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、Ax,y,zkz 轴,它们都叫坐标轴 我们称建立了一个空间直角坐标系 O xyz,点 Oi O j yr r r叫原点,向量 i j k 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平 x面,分别称为 xOy 平面, yOz 平面, zOx平面；2、空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 O xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯独的有序实数组 , , x y z ,使 OA ix y j z k,有序实数组 , , x y z 叫作向量 A 在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标,记作 A x y z , x 叫横坐标, y 叫纵坐标,z 叫竖坐标3、设 a a 1 , a 2 , a 3 ,b b 1 , b 2 , b 3 1 a± b； 2 a3 a· b4 a b；a br r r r 2 2 2（5）模长公式：如 a a a a 3 , 就 | a | a a a 1 a 2 a 3r r（6）夹角公式：cos a b r r| ra a b| | b r| a 1 2a a b 1 12 2a a b3 2 2b 1 2 a bb 32 2b 3 2（7）两点间的距离公式：如 A x y z ,Bx y z ,就 | uuuAB | uuuAB x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 28 设 A x 1 , y 1 , z 1 , B x 2 , y 2 , z 2 就 AB ,ABAB的中点 M的坐标为4、直线的方向向量的定义为；如何求直线的方向向量？5、平面的法向量的定义为；如何求平面的法向量？（二）典型题型探析题型 1：空间向量的坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1、（1）已知两个非零向量学习好资料欢迎下载）a =（a1,a2,a3）, b =（b1,b2,b3）,它们平行的充要条件是（A. a ：| a |= b ：| b | B.a 1·b1=a2·b2=a3·b3C.a 1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数 k,使 a =k b（2）已知向量 a =（2,4,x）, b =（2,y,2）,如 | a |=6 , a b ,就 x+y 的值是（）A. 3 或 1 B.3 或 1 C. 3 D.1 （3）以下各组向量共面的是（）A. a =1 ,2, 3 , b =3 ,0, 2 , c =4 ,2,5 B. a =1 ,0, 0 , b =0 ,1, 0 , c =0 ,0,1 C. a =1 ,1, 0 , b =1 ,0, 1 , c =0 ,1,1 D. a =1 ,1, 1 , b =1 ,1, 0 , c =1 ,0,1 解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；（2）A 点拨：由题知416x236x4,或x14,；44y2x0y3y.（3）A 点拨：由共面对量基本定理可得；点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情形；例 2、已知空间三点 A（ 2,0,2）,B（ 1,1,2）,C（ 3,0, 4）；设 a =AB, b = AC,（1）求 a和 b 的夹角；（2）如向量 k a +b 与 ka 2 b 相互垂直,求 k 的值 . 思维入门指导：此题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用,套用公式即可得到所要求的结果 . 解： A2,0,2 ,B（ 1,1,2）,C 3,0,4 , a = AB , b = AC, a =1 ,1,0 , b =（ 1,0,2）. 1cos=|ab|=10010, a 和 b 的夹角为10；251010a|b2 k a +b =k（1,1,0）+（ 1,0,2）（ k1, k,2）,k a 2 b =（k+2,k, 4）,且 k a +b （ k a 2b ）,2+k10=0；（ k1,k,2）· （ k+2, k, 4）=k 1k+2+k2 8=2k5就 k=2或 k=2；（ a +b ）k a 2 b =k2a2k a ·b 2b2=2k2+k点拨：第（ 2）问在解答时也可以按运算律做；510=0,解得 k=2,或 k=2；题型 2：数量积例 3、（1）（2022 上海文,理 2）已知向量 a 和 b 的夹角为 120° ,且| a |=2 ,| b |=5 ,就（2a b ）· a =_. （2）设空间两个不同的单位向量 a =x 1,y1,0 , b =x 2,y 2,0 与向量 c =1 ,1,1 的夹角都等于 4 ；1 求 x 1+y1 和 x 1y1 的值； 2 求< a , b >的大小 其中 0<a , b > ；名师归纳总结 解析：（1）答案： 13；解析：（ 2 a b ）· a =2 a2 b ·a =2| a |2| a | · | b | · cos120 ° =2· 4第 8 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2·5（学习好资料2 1 +y欢迎下载2 2 =1. 1 ）=13；（2）解： 1 | a |=| b |=1 ,x 22 1 =1,x2 2 =y又 a 与 c 的夹角为4 , a ·c =| a | c |cos21212126. 4 = 2= 26又 a ·c =x1+y1, x1+y1= 2；642,另外 x2 1 +y2 1 =x 1+y 12-2x 1y1=1, 2x1y1=611；21= 2. x1y 1=422cos< a , b >=|ab|61. ,x1y1=4=x1x2+y1y2,由 1 知, x1+y1= 2a|b61x1,y1 是方程 x2 2x+4=0 的解 . x 1642,x 1642,x 2642,x2y 1642,或y 1642.同理可得y2642,或y2642.x 1y2642,x 1y2642, a b ,x2y1642,或x 2y1642.62626262111cos< a , b >=4·4+4·4=4+4=2. 0<a , b >, <a , b >= 3 ；评述：此题考查向量数量积的运算法就；题型 3：空间向量的应用例 4、（1）已知 a、b、c 为正数,且a+b+c=1,求证：13a1+13b1+13c143 ；（2）已知 F1=i +2j +3k,F2=-2i +3j - k,F3=3i -4 j +5k,如 F1,F2,F3 共同作用于同一物体上,使物体从点M1（1, -2 ,1）移到点 M23 , 1,2 ,求物体合力做的功；解析：（1）设 m = 13a 1,13b 1,13c 1 , n =1 ,1,1 ,就| m |=4 ,| n |= 3 . m ·n | m | · | n | , m ·n = 13a 1 + 13b 1 + 13c 1| m | · | n |=4 3 . 1 1 1 1当 13 a 1 = 13 b 1 = 13 c 1 时,即 a=b=c= 3 时,取“=” 号；（2）解： W=F· s= F1+F2+F3 ·M 1M 2 =14；点评：如 m =x ,y,z ,n =a ,b,c ,就由 m · n | m | · | n | ,得ax+by+cz 2a 2+b 2+c 2x 2+y 2+z 2.此式又称为柯西不等式 n=3 ；此题考查 | a | ·| b | a ·b 的应用,解题时要先依据题设条件构造向量 a , b ,然后结合数量积性质进行运算；空间向量的数量积对应做功问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载（三）、强化巩固训练1、07 天津理, 4 设 a 、 b 、c 是任意的非零平面对量 , 且相互不共线 , 就（ a ·b ） c （ c ·a ） b =0 | a | | b |<| a b | （ b ·c ） a （ c ·a ） b 不与c 垂直 （ 3a +2 b ）（3 a 2b ）=9| a | 24| b | 2 中,是真命题的有（）A. B. C. D.解析：平面对量的数量积不满意结合律 . 故假；答案：D 由向量的减法运算可知 | a | 、| b | 、| a b | 恰为一个三角形的三条边长,由“ 两边之差小于第三边”,故真；由于（ b ·c ） a （ c ·a ） b ·c =（ b ·c ） a ·c （ c ·a ） b ·c =0,所以垂直 . 故假；（ 3 a +2 b ）（3 a 2 b ）=9·a ·a 4b ·b =9| a |24| b |2 成立 . 故真 . 点评：此题考查平面对量的数量积及运算律；2、已知 O 为原点,向量uuur OA3,0,1 ,uuur OB1,1,2 ,uuur OCuuur uuur OA BCuuur OAuuur,求 AC解： 设uuur OCx y z,uuur BCx1,y1,z2,R,uuur OCuuur uuur OA BCuuur OA,uuur uuur OC OA0uuur, BCuuur OA3xz0,3xzy0,z23,0,1,即x13 ,x1,1,3 夹角问题； 4 距离问题；运用向量来y10,z2.解此方程组,得x7,y1,z21,1；101010（四）、小结：1 共线与共面问题；2 平行与垂直问题；解决它们有时会表达出肯定的优势用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示,本节主要是用单位正交基底表示,就是适当地建立起空间直角坐标系,把向量用坐标表示,然后进行向量与向量的坐标运算,最终通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系,从而使问题得到解决在寻求向量间的数量关系时,一个基本的思路是列方程,解方程（五）、作业布置： 课本 P56 页 A 组中 6、11、 12、19 课外练习： 限时训练 53 中 2、 4、7、9、10、12、14 五、教学反思：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载第三课时 空间向量及其运算强化训练一、复习目标：1、明白空间向量的概念,明白空间向量的基本定理及其意义,把握空间向量的正交分解及其坐标表示；2、 把握空间向量的线性运算及其坐标表示；3、 把握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判定向量的共线与垂直；4、通过本课强化训练,使同学进一步娴熟懂得和掌握上述概念和运算方法,提高同学的敏捷和综合运用才能；二、重难点： 空间向量及其运算的综合运用；三、教学方法：讲练结合,探析归纳；四、教学过程（一）、基础自测（分组训练、共同沟通）1. 有 4 个命题：如 p=xa+yb,就 p 与 a、b 共面；如p 与 a、 b 共面,就 p=xa+yb；如 MP =x MA +y MB ,就 P、M、A、B 共面；如P、M、A、B 共面,就MP =x MA +y MB . 其中真命题的个数是（ B ）；A.1 B.2 C.3 D.4 2. 以下命题中是真命题的是 D ；A. 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,就这两个向量不是共面对量 B. 如| a|=| b| ,就 a,b 的长度相等而方向相同或相反C. 如向量 AB , CD 满意 | AB | | CD | ,且 AB 与 CD 同向,就AB CDQA·QB 取最小值时,D. 如两个非零向量AB 与 CD 满意 AB + CD =0,就 AB CD3. 如 a=2x,1,3,b=1,-2y,9,且 a b,就（ C ）；A.x=1,y=1 B.x=1 ,y=-212C.x=1 ,y=-63D.x=-1 ,y= 63224. 已知 A（1, 2,3）, B（2,1,2）,P（1,1,2）,点 Q 在直线 OP上运动,当点 Q的坐标是 . 答案4,4,8333OE = 用 a, b, c5. 在四周体O-ABC中, OA=a, OB =b, OC =c,D 为 BC的中点 ,E 为 AD的中点,就表示 . 答案1 a+ 21 b+ 41 c 4（二）、典例探析例 1、如下列图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中,设AA =a,AB =b, AD =c,M,N,P分别是 AA1,BC,C1D1的中点,试用 a, b,c 表示以下各向量：名师归纳总结 （ 1） AP ；（2）A1N；（ 3） MP +NC . 第 11 页,共 27 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -