2022年空间向量与立体几何知识点归纳总结3.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 空间向量与立体几何学问点归纳总结一学问要点；1. 空间向量的 概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量；注：（1）向量一般用有向线段表示（2）向量具有 平移不变性同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；2. 空间向量的 运算；定义：与平面对量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）；uuur OBuuur OAuuur ABa rv buuur ; BAuuur OAuuur OBa rr b;uuur OPa rR运算律： 加法交换律：abba加法结合律：abca bc数乘安排律：abab运算法就 ：三角形法就、平行四边形法就、3. 共线向量；（1）假如表示空间向量的有向线段所在的直平行六面体法就 线平行或重合 ,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a平行于 b ,记作 a / b；（2）共线向量定理 ：空间任意两个向量 a 、b（b 0 ）,a/ b 存在实数 ,使 ab ；（3）三点共线 ：A、B、C 三点共线 <=> AB AC<=> OC x OA y OB 其中 x y 1 （4）与 a 共线的单位向量为 aa4. 共面对量（1）定义：一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面对量；说明：空间任意的 两向量都是共面 的；（2）共面对量定理 ：假如两个向量 a b r r 不共线, pr与向量 a b r r共面的条件是存在实数,x y 使p r xa r yb r；（3）四点共面：如 A、B、C、P 四点共面 <=> AP x AB y AC<=> OP x OA y OB z OC 其中 x y z 1 5. 空间向量基本定理 ：假如三个向量 a b c r r r不共面,那么对空间任一向量 pr,存在一r r r r个唯独的有序实数组 x y z,使 p xa yb zc；如三向量 , , ab c r r r不共面,我们把 a b c r, , r r叫做空间的一个 基底,a b c r r r叫做基向量,1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底；推论： 设 O A B C 是不共面的四点,就对空间任一点uuur uuur uuur uuurx y z ,使 OP xOA yOB zOC；P ,都存在唯独的三个有序实数6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz 中,对空间任一点 A,存在唯独的有序实数组 , , x y z ,使OA xi yi zk,有序实数组 , , x y z 叫作向量 A在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标,记作 A x y z , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标；注：点 A（x,y,z）关于 x 轴的 的对称点为 x,-y,-z,关于 xoy 平面的对称点为 x,y,-z.即点关于什么轴 /平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反；在 y 轴上的点设为0,y,0, 在平面 yOz中的点设为 0,y,z（2）如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长为 1,这个基底叫单位 正交基底 ,r r r用 , , 表示；空间中任一向量 a ix y j z k =（x,y,z）（3）空间向量的直 角坐标运算律：r r r r如 a a a a 3 ,b , b b b 1 2 3 ,就 a b a 1 b a 1 2 b a 2 3 b 3 ,r r ra b a 1 b a 2 b a 3 b 3 ,a a 1 , a 2 , a 3 R ,r ra b a b 1 1 a b 2 a b 3,r rar / br a 1 b a 1 2 b a 2 3 b 3 R ,a b a b 1 1 a b 2 2 a b 3 3 0；uuur如 A x y z 1 1 1 ,B x 2 , y 2 , z 2 ,就 AB x 2 x 1 , y 2 y z 2 z 1 ；一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标； 定 比 分 点 公 式 ： 如A x 1,y z 1 1,B x 2,y2,z 2,APPB, 就 点 P 坐 标 为x 1x2,y 1y2,z 1z2；推导：设 P（x,y,z）就xx ,1yy 1,zz 1x 2x ,y 2y ,z 2z ,111明显,当 P 为 AB 中点时,Px 12x2,y 12y2,z 12z 2,y 3,z 3, 三 角 形 重 心P 坐 标 为ABC中,A（x 1 ,y 1,z 1）Bx 2,y 2,z 2,Cx 3Px 1x 2x 3,y 1y2y3,z 1z 2z 33222 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - ABC的五心：内心 P：内切圆的圆心,角平分线的交点；AP AB AC （单位向量）AB AC外心 P：外接圆的圆心,中垂线的交点；PA PB PC垂心 P：高的交点：PA PB PA PC PB PC（移项,内积为 0,就垂直）重心 P：中线的交点,三等分点（中位线比）AP 1 AB AC 3中心：正三角形的全部心的合一；r r（4）模长公式 ：如 a a a a 3 ,b b b b 3 ,r r r 2 2 2 r r r 2 2 2就 | a | a a a 1 a 2 a 3,| b | b b b 1 b 2 b 3（5）夹角公式：cos a b r r| a r r ra b| | b r| a 12 a a b22 1a a b32 2b 12 a bb 322 b 32； ABC中 AB . AC 0 <=>A为锐角 AB . AC 0 <=>A为钝角,钝角（6）两点间的距离公式：如 A x 1 , y z ,B x 2 , y 2 , z ,就 | uuurAB | uuurAB 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2,或 d A B x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 27. 空间向量的数量积；（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 a b r r,在空间任取一点 O ,作OA uuura OB r uuurb r, 就 AOB 叫 做 向 量 ar与 b r 的 夹 角 , 记 作 a b r r； 且 规 定0 a b r r,明显有 a b r rb a r r；如 a b r r,就称 ar与b r相互垂直,记作：a r b r；（2）向量的模：设OA uuura r ,就有向线段 OA 的长度叫做向量 ar的长度或模,记作：| 2ar；（3）向量的数量积：已知向量 a b r r,就 | a r| | b r| cos a b r r叫做 a b r r的数量积,记作 a b r r,即 a b r r| | | rb r| cos a b r r；（4）空间向量数量积的性质： a e r r| a r| cos a e r r； a r b ra b r r0； | a r| 2a a r r；（5）空间向量数量积运算律： a r b r a b r r a r b r； a b r rb a r r（交换律）； a r b rc r a b r ra c r r（安排律）；不满意 乘法结合率： a b c a b c 二空间向量与立体几何1线线平行 两线的方向向量平行3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1-1 线面平行 线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行 两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）两线的方向向量垂直2-1 线面垂直 线与面的法向量平行2-2 面面垂直 两面的法向量垂直3 线 线夹角（共面与异面） 0 O, 90 O 两线的方向向量 n 1n 2 的夹角或夹角的补角,cos cos n ,1 n 23-1 线面夹角 0 O, 90 O：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量 AP 与面的法向量 n 的夹角,如为锐角角即可,如为钝角,就取其补角；再求其余角,即是线面的夹角. sin cos AP, nO O3-2 面面夹角（ 二面角） 0 , 180 ：如两面的法向量一进一出,就二面角等于两法向量 n 1 n 2 的 夹 角 ； 法 向 量 同 进 同 出 , 就 二 面 角 等 于 法 向 量 的 夹 角 的 补 角 . cos cos n 1, n 2uuur4点面距离 h ：求点 P x 0 , y 0 到平面 的距离： 在平面 上去一点 Q x y ,得向量 PQ ;；运算平面 的法向量n ;. h PQ . nn4-1 线面距离（线面平行） ：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行） ：转化为点面距离【典型例题】1基本运算与基本学问（）BCD,化简以下向量表达式, 标出化简结果的向量；例 1. 已知平行六面体 ABCD Auuur uuur uuur uuur uuurAB BC；AB AD AA uuurAB uuurAD 1CC uuuur； 1 uuurAB uuurAD2 3；uuur AA；MG4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2. 对空间任一点 O和不共线的三点OP uuurxOA uuuryOB uuurzOC uuur （其中 x y zA B C ,问满意向量式：1）的四点P A B C 是否共面？例 3 已知空间三点 A（0,2,3）,B（2,1,6）,C（1, 1,5）；求以向量 uuur uuur 为一组邻边的平行四边形的面积 S；如向量 ar分别与向量 uuur uuur AB AC 垂直,且 |ar|3 ,求向量 ar的坐标；2基底法（如何找,转化为基底运算）3坐标法（如何建立空间直角坐标系,找坐标）4几何法OABC中,OA8,AB6,AC4,BC5,OAC45o,例 4. 如图,在空间四边形OAB60o,求 OA与 BC的夹角的余弦值；OA C说明：由图形知向量的夹角易出错,如B135o易错写成uuur uuur OA AC45o,切记！uuur uuur OA AC例 5. 长方体ABCDA B C D 中,ABBC4, E 为AC 与B D 的交点, F 为BC 与B C 的交点,又 AFBE ,求长方体的高BB ；5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【模拟试题】1. 已知空间四边形 ABCD,连结 AC BD ,设 M G 分别是uuur uuur uuur式,并标出化简结果向量： （1） AB BC CD；uuur uuur uuur uuur uuur uuur（2）AB 1 BD BC ；（3）AG 1 AB AC ；2 2BC CD 的中点,化简以下各表达2. 已知平行四边形 ABCD,从平面 AC外一点 O引向量；OE uuurkOA OF uuur uuurkOB OG uuur uuurkOC OH uuur uuurkOD uuur ；（1）求证：四点 E F G H 共面；（2）平面 AC / 平面 EG ；3. 如图正方体ABCDA B C D 中,B E 1D F 11A B ,求BE 与DF 所成角的余弦；45. 已知平行六面体 ABCD A B C D 中,AB 4, AD 3, AA 5, BAD 90 o ,BAA DAA 60 o ,求 AC 的长；6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 参考答案 1. 解：如图,uuur uuur uuur uuur uuur uuur（1）AB BC CD AC CD AD；（2）uuurAB 1 uuurBD uuurBC uuurAB 1 uuurBC 1BD uuur；uuurAB uuuurBM 2 uuuurMG uuur ；2 2uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur（3）AG 1 AB AC AG AM MG；2 uuur uuur uuur2. 解：（1）证明：四边形 EG uuur uuurOG uuur ,ABCD 是平行四边形,AC AB AD,uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurk OC k OA k OC OA k AC k AB AD uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuurk OB OA OD OA OF OE OH OEuuur uuurEF EHE F G H 共面；（2）解：uuurEF OF uuurOE uuurk OB uuur uuurOA k AB uuur ,又 EG k AC uuur,EF / AB EG / AC ；所以,平面 AC / 平面 EG ；3. 解：不妨设正方体棱长为 1,建立空间直角坐标系 O xyz,就 B 1,1,0,E 1 1, 3,1,D 0,0,0,F 1 0, 1,1,4 4uuuurBE 1 0, 1 ,1,uuuurDF 1 0, 1 ,1,4 4uuuurBE 1 uuuurDF 1 17,4uuuurBE 1 uuuurDF 1 0 0 1 1 1 1 15；4 4 1615cos uuuur uuuurBE DF 1 16 15；17 17 174. 分析： Q uuurAB 4 2, 1,3, 4uuurAC 1, 3,2, cos BAC uuur uuur uuurAB AC uuur 1| AB | AC | 2BAC60° ,S | uuurAB | uuurAC | sin 60 o 7 3设 ar（x,y,z）,就 a r uuurAB 2 x y 3 z 0,a r uuurAC x 3 y 2 z 0,| a r | 3 x 2y 2z 23解得 xyz1 或 xyz1, ar（ 1,1,1）或 ar（ 1,1,1）；uuuur 2 uuur uuur uuur 25. 解：| AC | AB AD AA uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur| AB | | AD | | AA | 2 AB AD 2 AB AA 2 AD AA2 2 2 o o o4 3 5 uuuur 2 4 3 cos90 2 4 5 cos60 2 3 5 cos60 16 9 25 0 20 15 85所以, | AC | 85；7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页
