2022年第二章知识点总结.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点其次章行列式学问点总结一行列式定义1、n 级行列式a ijna 11a 12a 1n（1）等于全部取自不同行不同列的n 个元素的乘积a a 12j2anjn（2）的代a 21a 22a 2n数和,这里j j2a n1a n2a nnj j2j 是偶排列时,该项前面带正号；当j j2j 是奇排列时,该项前j 是一个n 级排列；当面带负号,即：a ijna 11a 12a 1 nj j 12j n 1j j 12jna 1j 1a 2j2a njn；a 21a 22a 2na n 1a n2a nn2、等价定义a ijni i 1 2in 1i i 1 2i na a 1 i22a i n n和a ijni i 1 2i n和 j j 12jn 1i i 1 2inj j 1 2jna a 1 1 i j 22a i j n n3、由 n 级排列的性质可知,n 级行列式共有n 项,其中冠以正号的项和冠以负号的项（不算元素本身所带的负号）各占一半；4、常见的行列式 1）上三角、下三角、对角行列式a 11a 22a nna 11a 220a 11a 22a nna a 11 22a nn0a nn2）副对角方向的行列式a n 1a 2n1a 1n0a 2, n1a 1na n 1a 2,n1a 1nn n1a a 2,n1a n10a n1 123）范德蒙行列式：1111111jina iaja 1a 2an2 a 12 a 2a2 nn a 1an 2n a nn2二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、互换行列式的两行（列）,行列式变号；学习必备精品学问点3、行列式中某一行（列）中全部的元素都乘以同一个数,等于用这个数乘以此行列式；即：某一行（列）中全部的元素的公因子可以提到整个行列式的外面；4、如行列式中有两行成比例,就此行列式等于零；5、如某一行（列）是两组数之和,就这个行列式等于两个行列式之和,而这两个行列式除这一行（列）以外全与原先行列式的对应的行（列）一样；6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上,行列式不变；三、行列式的按行（列）绽开1、子式1）余子式：在 n 级行列式 D a ij 中,去掉元素 ija 所在的第 i 行和第 j 列后,余下的 n-1 级行列式称为 ija 的余子式,记作 M ij；i j2）代数余子式：A ij 1 M 称为 a ij 的代数余子式；23） k 级子式：在 n 级行列式 D a ij 中,任意选定 k 行和 k 列 1 k n ,位于这些行列交叉处的 k 个元素,按原先次序构成一个 k 级行列式 M ,称为 D 的一个 k 级子式；当 k n 时,在 D 中划去这 k 行和 k 列后余下的元素依据原来的次序组成的 n k 级行列式 M 称为 k 级子式 M 的余子式；2、按一行（列）绽开1）行列式任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值,即按第 i 行绽开Da A i1ja A i2ja A inij1,2, ;按第 j 列绽开Da A 1a2jA 2a A nj1,2, ;2）行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等零,即a Aj1a Aj2a Ajn0ij;或a A 1ja A 2ja A nj0,ij.3、按 k 行（ k 列）绽开拉普拉斯定理：在n 级行列式中,任意取定k个行（k列） 1kn1,由这 k 行（ k 列）元素组成的全部的k级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值；4、其他性质1）设 A为 n 阶方阵,就 AA ；B ；j,但 ABAB ；2）设 A为 n 阶方阵,就kAknA ；3）设A B 为 n 阶方阵,就ABA B ,但 ABA4）设 A为 m 阶方阵,设 B 为 n 阶方阵,就ABA0A B0B5）行列式的乘法定理：两个n 级行列式乘积等于n 级行列式ja b 2a b nj, , i j1,2, .a 11a 1 nb 11b 1nc 11c 1n其中c ija b 1 1an 1an 1b n1b n1cn 1c n1四、行列式的运算名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 精品学问点1、运算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等；详细运算时需要依据等到式中行（或列）元素的特点来挑选相应的解题方法；方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法；用直接递推法的关键是找出一个关于Dn1的代数式来表示DD ,依次从D 1D2D3D4D ,逐级递推便可以求出D 的值；n1和Dn2方法二： 数学归纳法； 第一步发觉和猜想；其次步证明猜想的正确性；其次步的关键是第一要得到D 关于的递推关系式；方法三： 加边法； 加边法是将所要运算的n 级行列式适当地添加一行一列（或 m 行 m 列）得到一个新的n+1（或 m+1）级行列式,保持行列式的值不变,但是所得到的n+1（或 m+1）级行列式较易运算；其一般做法如下：特别情形取a 1a2a 11a 1 n1a 1a n或a 11a 1 n1000a 11a 1 nb 1a 11a 1na n 1a n 10a n 1a n1a n 1a n 1b 1a n1a n1a n1或b 1b 2b n1；方法四：拆行（列）法；将所给的行列式拆成两上或如干个行列式之和,然后再求行列式的值；拆行（列）法有两种情形：一是行列式中有某行（列）是两项之和,可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项和形式,这时需作保持行列式值不变,使其化为两项和；方法五：析因子法；假如行列式 D 中有一些元素是变数 x（或某个参变数）的多项式,那么可以将行列式 D 当作一个多项式 f x ,然后对行列式 f x 实行某些变换, 求出 f x 的互素的一次因式,使得 f x 与这些因式的乘积 g x 只相差一个常数因子 c,依据多项式相等的定义,比较 f x 与的 g x 某一项系数,求出 c 值,便可求得 D cg x ；2、行列式运算中常用的类型：类型一：“ 两条线” 型行列式（非零元分布在两条线上,例如,等等）；注：“ 两条线” 型行列式一般实行直接绽开降阶法运算,或用拉普拉斯定理绽开,降阶后的行列式或为三角形行列式,或得到一个递推公式；类型二：“ 三条线” 行列式（非零元分布在三条线上）；（1）“ 三对角” 行列式（,）；注：“ 三对角” 行列式可以按如下方法进行求解；第一得到一个一般的递推公式DnpDn1qDn2,然后可以用以下两种方法之一求出1D 的表达式：Dn1就可解先运算D 1,D2,D 等,找出规律进行猜想,然后再用数学归纳法进行证明；的方程组,从而消去间接递推法：借助于行列式中元素的对称性,交换行列式构造出关于D 和Dn得D ；第 3 页,共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）“ 爪型” 行列式（）；学习必备精品学问点注：“ 爪型” 行列式可以按行（列）提取公因子,然后化为上（下）三角形行列式进行求解；（3）Hessenerg 型行列式 （）；类型三：各行（列）元素之和相等（或多数相等仅个别不相等）的行列式；注：行加法（或列加法）再化为三角形行列式进行求解；类型四：除主对角线外其余元素相同（或成比例）型行列式；注：拆行（列）法或再结合其他方法进行求解；类型五：可利用范德蒙行列式运算的行列式；类型六：其他形式行列式；五、克莱姆法就1、克莱姆法就：假如含有n 个未知量的n 个方程的线性方程组a 11a 1 n0,a x 1a x 2a x nb 1a x 21 1a x 22 2a x 2 n nb 2的系数行列式不等于零,即Da x 1a n2x 2a x nb nan 1an 1就方程组有唯独解：x 1D 1,x2D2,x nDnD0.DDD其中Djj1,2,n 是把系数行列式D 中第 j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 级行列式；2、含 n 个未知量的n 个方程的齐次线性方程组a x 11 1a x 2a x n0a x 21 1a x 2a x n0只有零解的充要条件是系数行列式D0；有非零解的充要条件是系数行列式a x 1a x 2a x n0第 4 页,共 4 页名师归纳总结 - - - - - - -
