2022年第三章教案两条直线的交点坐标两点间的距离.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载两条直线的交点坐标、两点间的距离一、新知学习A两条直线的交点坐标已知直线 l 1 : A x B y C 1 0,l 2 : A x B y C 2 0结论 1 假如两条直线 1l 和 2l 相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标肯定是方程组A x B y C 1 0,的解A x B y C 2 0结论 2 反之,假如这两个二元一次方程只有一组公共解,那么以这组解为坐标的点必是直线1l 和 2l 的交点结论 3 用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立求解B一般式条件下两直线相交、重合、平行与垂直的条件名师归纳总结 设直线l 1:A xB yC 10,l2:A xB yC20,就有A 1B1A2,B20结论 1 直线1l 、2l 相交的条件为A B 2A B 10或A 1B 1A B20A 2B 2结论 2 直线1l 、2l 重合的充要条件为A B 2A B 10,或A B 2A B 10,或B C2B C 10,A C2A C 10,A 1B 1C1A B C20A 2B 2C2结论 3 直线1l 、2l 平行的充要条件为A B 2A B 10,或A B2A B 10,或B C2B C 10A C2A C 10.A 1B 1C1A B C20A 2B 2C2结论 4 直线1l 、2l 垂直的充要条件为A A 2B B 20结论 1、2、3 的证明：将两条直线方程联立,得方程组A xB yC 10,A x 2B y 2C 20.消去 y ,整理得AB 12A B 2 1xBC 12B C 2 1将方程组消去x ,整理得AB 12A B 21yAC 12A C 2 1就（）直线1l,2l 相交当且仅当方程组有唯独解,当且仅当方程或方程有唯独解,当且仅当AB2A B 10或A2B2第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载A B 10,或A B2A B10,或（ ）直线1l ,2l 重合当且仅当方程组有无穷多解,当且仅当方程或方程有无穷多解,当且仅当B C2B C10A B 1 2A B 2 10,或A 1B 1C1A 2,B 2,C 20AC2A C 10,A 2B 2C2A B 2A B 10,或（）直线1l ,2l 平行当且仅当方程组无解,当且仅当方程与方程同时无解,当且仅当A B2BC2B C 10A C 2A C 10,A 1B 1C 1A B 2,C 20A 2B2C 2（）此情形不能用方程组争论,需利用直线的方向向量或法向量争论分别取直线1l,2l 的方向向量aB 1,A 1 ,bB2,A 2,就直线1l,2l 垂直当且仅当a bB B 12A 1A2A A 1 2B B 1 20C斜截式条件下两直线的相交、重合、平行与垂直的条件设两条直线l1:yk xb ,l2:yk xb ,倾斜角分别是|1,2,就1l 、k 1k 或12结论 1直线2l 相交的充要条件为k 1=k2,或1=2,结论 2直线1l 、2l 重合的充要条件为b 1b 2b 1b2 .90 结论 3直线1l 、2l 平行的充要条件为k 1=k2,或1=2,b 1b 2b 1b 2 .结论 4直线1l 、2l 垂直的充要条件为k k21或|12D两点间的距离公式条件：点P x 1,y 1,P x2,y 2|x2y （2）当PP 2x 轴时,|PP2|y 2y 结论：|PP 2|x 2x 12 y 2y 12特例：（1）点P x y 到原点 O 的距离 |OP（ 3）当PP 2y 轴时,|PP 2|x2x 二、学问迁移A概念懂得 1判定题：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 1）如点A a b 在直线l:AxBy学习必备欢迎下载l 的方程C0上,就点 A 的坐标肯定适合直线（ 2）如两直线相交,就交点坐标肯定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解（ 3）当 A , B 两点的连线与坐标轴平行或垂直时,两点间的距离公式不适用结果：（ 1）正确（2）正确（3）错误2口答：|0上一点,就 bb（ 1）如点A 1, b 是直线 2x3y1（ 2）如直线 2xy10与直线xy40的交点为 , a b ,就 a（ 3）点M 3,4到坐标原点的距离OM|结果：（ 1）1 （2）4（3） 53摸索：（ 1）如两直线的方程组成的二元一次方程组有解,就两直线是否相交于一点？（ 2）如两条直线中有一条斜率存在,另一条斜率不存在,就这两条直线相交吗？结果：（ 1）不肯定两条直线是否相交,取决于联立两直线方程所得方程组是否有唯独解如方程组有无穷多解,就两直线重合（2）相交由于两直线仅有三种位置关系：平行、相交、重合,而此处一条线率存在,另一条不存在,明显不能平行或重合,故一定相交4写出满意以下条件的直线的点斜式方程：（ 1）以下直线中,与直线x3y40相交的直线为1x4D 2x3yAx3y0By1x12Cy33（ 2）如直线xya0与 x 轴相交于点M 的横坐标为3,就 a结果：（ 1）D（2） 35摸索：当A , B 两点在坐标轴上时,利用两点间的距离公式求|AB 仍适用吗？解：适用由于两点间的距离公式适用于平面内任意两点6（1）求以下两点间的距离：（）A 2,5,B 2, 5（）A 3,4,B2,1（）A 0,0,B 3,4|1|BC|（ 2）已知ABC是直角三角形, 斜边 BC 的中点为 M ,建立适当的坐标系, 证明|AM2B与两条直线交点有关的问题例（1）如直线yx2k1与直线y1x2的交点位于第一象限,就实数k 的取值范畴2是名师归纳总结 A6lkx2100B1k00C5 2k12y5Dk1622（ 2）过1:35y和l2:xy1的交点,且平行于l3:x0的直线方程为第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y（ 3）求经过点 2,3 且经过l1:xx学习必备欢迎下载2y60的交点的直线方程3y40与l2: 5x解：（1）C（2）x2y210（3）联立3y40,得x2, 2.所以1l,2l 的交点为 2,2 由两点式可得：所求直线方程为85x2y60,y3x2,即x4y100232240和l2:xy20的交点 P ,且与直线l3:3x4y50垂变式求经过两直线l 1:x2y直的直线 l 的方程解：解方程组x2y40,得两直线交点P0,2,由于直线3l 的斜率为3,所以直线 l 的斜率为4xy2043所以直线l的方程为y24x0,即4x3y603C距离公式应用例（1）已知点 M x , 4 与点 N 2,3 间的距离为 7 2 ,就 x 的值为（ 2）已知点 ,5 关于点 1, y 的对称点为 2, 3 ,就点 P x y 到原点 O 的距离为（ 3）已知 A 3,4,B 2, 3,在 x 轴上找一点 P ,使 | PA | | PB ,并求 | PA 的值解：（1）9 或 5 （ 2）17 2 2 2 2 2 2（3）设点 P 的坐标为 ,0,就有 | PA | x 3 0 4 x 6 x 25,| PB | x 2 0 3 x 4 x 7由| PA | | PB 得 x 26 x 25 x 24 x 7,解得 x 9即所求点 P 的坐标为 9,0 且 | PA | 9 3 2 0 4 2 2 1095 5 5 5变式 1 已知 A 3,4,B 2,3,在 y 轴上找一点 P ,使 | PA | | PB ,并求 | PA 的值解：设点 P 的坐标为 0, ,就有 | PA | 3 2 y 4 2y 28 y 25,| PB | 2 2 y 3 2y 26 y 13由| PA | | PB 得 y 28 y 25 y 26 y 13,解得 y 6即所求点 P 的坐标为0,6且 | PA | 3 26 4 213变式 2 在平面直角坐标系中,已知ABC 的三个顶点为 A 1,4,B 4,0,C 3,1,试判定三角形的外形且|解：由两点间距离公式得,|AB|1424025,|BC|4320125 2,|AC|1324125所以|AB| |AC ,AB2 |AC2 |BC|2,故三角形为等腰直角三角形D由直线的位置关系求参数值或范畴例（1）已知直线l 1: 2xm1y40与直线l2:mx3y20（）如1l 2l ,求 m 的值（）如l1l ,求 m 的值第 4 页,共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（ 2）如结果：（ 1）（）（ ）（2）（）m33或m2（）m3ya0（）如l1l ,求实数 a 的值（）510,直线l2:x a2变式（1）（ 2）已知直线l 1:ax3y1l 2l ,求实数 a 的值a（ ）a3结果：（ 1）（）（ ）（2）（）2E解析法证明平面几何问题例|（1）ABC中, D 是 BC 边上的任意一点（D 与 B , C 不重合）,且AB2 |AD2 |BD| |DC 求证：ABC为等腰三角形ByyADCODCxAOBx（ 2）已知等腰梯形 ABCD 中, AB CD ,试建立适当的直角坐标系,证明：| AC | | BD 证明：（ 1）作 AO BC ,垂足为 O ,以 BC 边所在直线为 x 轴, OA 所在直线为 y 轴,建立平面直角坐标系设 A 0, h ,B b ,0,C c ,0,D d ,0已知 | AB | 2| AD | 2| BD | | DC ,就由两点间距离公式得 b 2h 2d 2h 2 d b c d ,化简得 d b b d d b c d 由于点 D 与 B , C 不重合,所以 d b 0,于是 b d c d ,即 b c 所以 | OB | | OC ,于是 | AB | | AC ,即ABC 为等腰三角形（2）以下底 AB 所在直线为 x 轴,以 AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系设 A a ,0,C b c , ,由等腰梯形的性质可知：B a ,0,D b c ,就| AC | b a 2 c 0 2 a b 2 c 2,| BD | a b 2 0 c 2 a b 2 c 2,所以| BD | | AC 变式 1 ABD 和BCE 是在直线 AC 同侧的两个等边三角形,用解析法证明：| AE | | CD 解：以 B 为坐标原点,取 AC 所在的直线为 x 轴,以垂直于 AC 且经过 B 点的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系设ABD 和BCE 的边长分别为 a 和 c ,就 A a ,0,E c, 3 c,C c ,0,D a, 3 a,就2 2 2 2| AE | c a 2 3 c0 2a 2ac c 2,| CD | ac 2 3 a0 2a 2ac c 2,所以 | AE | | CD 2 2 2 2变式 2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和证明：如图,以顶点 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,有 A 0,0y名师归纳总结 D b c , C a 第 5 页,共 6 页 b c , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - |AC设B a ,0学习必备|欢迎下载2,D b c ,由平行四边形的性质的点C 的坐标为 ab c 由于|AB2 |a ,2|CD|2a ,2|AD2 |b2c ,2|BC2 |2 bc ,222a2b2c| 2 ab2c ,|BD| 2ba 2c ,所以|AB2 |CD2 |AD2 |BC2 |2a2b22 c,|AC2 |BD所以|AB2 |CD2 |AD2 |BC2 |AC2 |BD2 |因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
