2022年第五章运筹学线性规划在管理中的应用案例.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第五章 线性规划在治理中的应用5.1 某企业停止了生产一些已经不再获利的产品,这样就产生了一部分剩余生产力；管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品、量的主要因素,具体数据如下表：、的生产； 可用的机器设备是限制新产品产机器设备类型 每周可用机器台时数 铣床 500 车床 350 磨床 150 每生产一件各种新产品需要的机器台时数如下表：机器设备类型新产品新产品新产品铣床8 4 6 车床4 3 0 磨床3 0 1 三种新产品的单位利润分别为 量,使得公司的利润最大化；0.5 元、 0.2 元、 0.25 元；目标是要确定每种新产品的产1、判别问题的线性规划数学模型类型；2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度；3、建立该问题的线性规划数学模型；4、用线性规划求解模型进行求解；5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰 /剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范畴进行具体分析）；6、如销售部门表示,新产品、生产多少就能销售多少,而产品最少销售 18 件,请重新完成此题的 1-5；解：1、本问题是资源安排型的线性规划数学模型；2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化,总利润为：0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 决策的限制条件：8x1+ 4x2+ 6x3500 铣床限制条件4x1+ 3x2350 车床限制条件3x1 + x3150 磨床限制条件即总绩效测试（目标函数）为：max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 3、本问题的线性规划数学模型max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 ST8x1+ 4x2+ 6x3500 4x1+ 3x2350 3x1 + x3150 x10、x20、x304、用 Excel 线性规划求解模板求解结果：最优解（5、灵敏度分析50, 25,0）,最优值： 30 元；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 目标函数最优值为 : 30 变量最优解相差值 x1 50 0 x2 25 0 x3 0 .083 约束放松 / 剩余变量对偶价格 1 0 .05 2 75 0 3 0 .033 目标函数系数范畴 : 当前值上限变量下限 x1 .4 .5 无上限 x2 .1 .2 .25 x3 无下限 .25 .333 常数项数范畴 : 约束下限当前值上限 1 400 500 600 2 275 350 无上限 3 37.5 150 187.5 （1） 最优生产方案：新产品生产50 件、新产品生产25 件、新产品担心排；最大利润值为30元；（2）x3 的相差值是0.083 意味着,目前新产品担心排生产,是由于新产品的利润太低, 如要使新产品值得生产,需要将当前新产品利润 0.25 元/件,提高到 0.333 元 /件；（3）三个约束的放松 /剩余变量 0,75,0,说明铣床和磨床的可用工时已经用完,而车床的可用工时仍剩余 75 个工时；三个对偶价格 0.05,0,0.033 说明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额；（4）目标函数系数范畴说明新产品的利润在 0.4 元/件以上,新产品的利润在 0.1 到 0.25 之间,新产品的利润在 0.333 以下,上述的正确方案不变；（5）常数项范畴说明铣床的可用条件在 400 到 600 工时之间、车铣床的可用条件在 275 工时以上、磨铣床的可用条件在 37.5 到 187.5 工时之间； 各自每增加一个工时对总利润的奉献 0.05 元,0 元, 0.033 元不变；6、如产品最少销售18 件,修改后的的数学模型是：max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 ST8x1+ 4x2+ 6x3500 4x1+ 3x2350 3x1 + x3150 x318 x10、x20、x30这是一个混合型的线性规划问题；代入求解模板得结果如下：最优解（ 44, 10,18）,最优值： 28.5 元；灵敏度报告：目标函数最优值为 : 28.5 最优解相差值变量 x1 44 0 x2 10 0 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - x3 18 0 约束放松 / 剩余变量对偶价格 1 0 .05 2 144 0 3 0 .033 4 0 -.083 目标函数系数范畴 : 当前值上限变量下限 x1 .4 .5 无上限 x2 .1 .2 .25 x3 无下限 .25 .333 常数项数范畴 : 约束下限当前值上限 1 460 500 692 2 206 350 无上限 3 18 150 165 4 0 18 30 （1） 最优生产方案：新产品生产44 件、新产品生产10 件、新产品生产18 件；最大利润值为28.5 元；（2）由于最优解的三个变量都不为0,所以三个相关值都为0；（3）四个约束的放松/剩余变量 0,144,0,0,说明铣床和磨床的可用工时已经用完,新产品的产量也刚好达到最低限制 18 件,而车床的可用工时仍剩余 144 个工时；四个对偶价格 0.05,0,0.033,-0.083 说明三种机床每增加一个工时可使公司增加的总利润额, 第四个对偶价格-0.083 说明新产品的产量最低限再多规定一件,总的利润将削减0.083 元；（4）目标函数系数范畴说明新产品的利润在0.4 元/件以上,新产品的利润在0.1 到 0.25 之间,新产品的利润在 0.333 以下,上述的正确方案不变；（5）常数项范畴说明铣床的可用条件在 460 到 692 工时之间、车铣床的可用条件在 206 工时以上、磨铣床的可用条件在 18 到 165 工时之间、 新产品产量限制在 30 件以内； 各自每增加一个工时对总利润的奉献 0.05 元, 0 元, 0.033 元, -.083 元不变；5.2 某铜厂轧制的薄铜板每卷宽度为100cm,现在要在宽度上进行切割以完成以下订货任务： 32cm 的 75 卷, 28cm 的 50 卷, 22cm 的 110 卷,其长度都是一样的；问应如何切割 可使所用的原铜板为最少？解：本问题是一个套材下料问题,用穷举法找到全部可能切割的方式并建立数学模型：min f=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10 S.T. 3x1+2x2+2x3+x4+x5+x675 x2+2x4+x6+3x7+2x8+x950 x3+3x5+x6+2x8+3x9+4x10 110 xi0 （i=1 ,2 .10）用 Excel 线性规划求解模型板求解：最优解：（18.33 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0 ）,最优值： 63.3333 由于铜板切割时必需整卷切割所以需要做整数近似；即其结果为：即最优解：（ 19 ,0,0,0,20,0,0.25,0,0,0）,最优值： 64 灵敏度分析报告：名师归纳总结 目标函数最优值为 : 63.333 相差值第 3 页,共 18 页变量最优解- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x1 18.333 0 x2 0 .056 x3 0 .111 x4 0 .111 x5 20 0 x6 0 .167 x7 0 .167 x8 25 0 x9 0 .056 x10 0 .111 约束放松 / 剩余变量对偶价格 1 0 -.333 2 0 -.278 3 0 -.222 目标函数系数范畴 : 变量下限当前值上限 x1 .75 1 1.071 x2 .944 1 无上限 x3 .889 1 无上限 x4 .889 1 无上限 x5 .833 1 1.083 x6 .833 1 无上限 x7 .833 1 无上限 x8 .444 1 1.111 x9 .944 1 无上限 x10 .889 1 无上限常数项数范畴 : 约束下限当前值上限 1 20 75 无上限 2 0 50 110 3 50 110 275 这是一个统计型的线性规划问题,所以分析价值系数的取值范畴和相差都没有意义；放松 / 剩余变量都为 0,表示最优方案已达到三种规格薄铜板数量的最低限；三个约束条件的对偶价格 再增加一个,将增加原铜板 致；-.333 、-.278 、-.222 分别表示三种规格薄铜板数量的最低限 .333cm、.278cm、.222cm；这个数字实际跟薄铜板长度规格相一常数项数范畴表示三种规格薄铜板数量的最低限在这些范畴内,每增一个限额所原原铜板.333cm 、.278cm 、.222cm 不变；这里需要特殊指出的是,第一种规格的薄铜板 32cm 宽,已使三块组合就能比较恰当地用完原铜板,所以这种规格的薄铜板无论增加多少,都不转变用原铜板的比例；5.3 某医院对医生工作的支配为 次需要医生人数如下表：4 小时一个工作班次,每人要连续工作二个班次；各班班次时间人数1 0:00-4:00 4 2 4:00-8:00 7 3 8:00-12:00 9 4 12:00-16:00 12 5 16:00-20:00 8 6 20:00-24:00 6 其中,第 6 班报到的医生要连续上班到其次天的第1 班；问在各班开头时应当分别有几位医名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 生报到；如参与 1、2、6 班的医生需要支付夜班津贴,为了使支付总的夜班津贴为最少,应如何支配各班开头时医生的报到人数；解：第一步：不考虑夜班津贴；线性规划数学模型为：min f=x1+x2+x3+x 4+x5+x6S.T. x6+x14 x1+x27 x2+x39 x3+x412 x4+x58 x5+x66 xi0（i=1 ,2, 3,4,5,6）用 Excel 线性规划求解模板求解得：第一班支配7 人,第三班支配10 人,第四班支配2 人,第五班支配6 人,其次、第六班担心排人；总人数为25 人；灵敏度分析报告：目标函数最优值为 : 25 最优解相差值变量 x1 7 0 x2 0 0 x3 10 0 x4 2 0 x5 6 0 x6 0 0 约束放松 / 剩余变量对偶价格 1 3 .0 2 0 -1 3 1 .0 4 0 -1 5 0 . 0 6 0 -1 目标函数系数范畴 : 当前值上限变量下限 x1 0 .1 1 x2 1 1 无上限 . x3 0 . 1 1 x4 1 . 1 2 x5 0 1 1 x6 1 1 无上限常数项数范畴 : 约束 下限 当前值 上限 1 无下限 4 7 2 4 7 无上限 3 无下限 9 10 4 11 12 无上限 5 6 8 9 6 5 6 8 这是一统计型线性规划规划问题,所以相差值的价值系数的变化范畴没有必要分析；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 班次时间所需人数本段支配人数上段支配人数本段实际人数余外人数1 0:00-4:00 4 7 0 7 3 2 4:00-8:00 7 0 7 7 0 3 8:00-12:00 9 10 0 10 1 4 12:00-16:00 12 2 10 12 0 5 16:00-20:00 8 6 2 8 0 6 20:00-24:00 6 0 6 6 0 合计46 25 50 4 放松 /剩余变量一栏就是上表的“ 余外人数” 一列是各时间段支配所剩余的人数；“ 对偶价格” 一栏；第一个常数项由 4 增加到 5,由于仍剩下 2 人,所以不会转变最优值；其次个常数项由 7 增加到 8,由于再没有剩余的人,所以本班必需再多支配一个人最优值解也必需增加 1,由于是求最小化问题,所以对偶价格为1；第三个常数项由 9 增加到 10,刚好将原先剩余的人用上,所以不会转变最优值；第四个、第六个常数项与其次个常数项一样；第五个常数项由 2 增加到 3,由于再没有剩余的人,所以本班必需再多支配一个人,但下个班就可以再少支配一个人,所以不会转变最优值；此题的这种情形 是每一个变量都会影响到两个时段的结果,所以在进行灵敏度分析时也必定要考虑这个因素,这里第一个时段是特殊情形（有资源剩余）,其余的时段分析时相邻两个是相互影响的；因此,第 2 时段为 -1,第 3 时段为 0,后面的依次相反；如第 2 时段为0,就第 3 时段就为 -1；其次步：考虑夜班津贴；线性规划数学模型为：min f=x1+x2+x3+x5+x6S.T. x6+x14 x1+x27 x2+x39 x3+x412 x4+x58 x5+x66 xi0（i=1 ,2, 3,4,5,6）用 Excel 线性规划求解模板求解得：即：总人数仍是25 人,但每班支配人数有所调整：2 人,第四班支配10 人,第五班支配第一班担心排人,其次班支配7 人,第三班支配0 人,第六班支配6 人；灵敏度分析报告：目标函数最优值为 : 15 最优解相差值变量 x1 0 1 x2 7 0 x3 2 0 x4 10 0 x5 0 0 x6 6 0 名师归纳总结 约束放松 / 剩余变量对偶价格第 6 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 2 0 2 0 0 3 0 -1 4 0 0 5 2 0 6 0 -1 目标函数系数范畴 : 当前值上限变量下限 x1 0 1 无上限 x2 1 1 2 x3 0 1 1 x4 0 0 1 x5 1 1 无上限 x6 0 1 1 常数项数范畴 : 约束下限当前值上限 1 无下限 4 6 2 5 7 9 3 7 9 11 4 10 12 无上限 5 无下限 8 10 6 4 6 无上限这是一统计型线性规划规划问题,所以相差值的价值系数的变化范畴没有必要分析；班次 时间 所需人数 本段支配人数 上段支配人数 本段实际人数 余外人数1 0:00-4:00 4 0 6 6 2 2 4:00-8:00 7 7 0 7 0 3 8:00-12:00 9 2 7 9 0 4 12:00-16:00 12 10 2 12 0 5 16:00-20:00 8 0 10 10 2 6 20:00-24:00 6 6 0 6 0 合计 46 25 50 4 “ 对偶价格” 一栏；第一个常数项由 4 增加到 5,由于仍剩下 2 人,所以不会转变最优值；其次个常数项由 7 增加到 8,由于上段时间已增一个人,这个人本班仍上班,所以本也不需要增加人；第三个常数项由 9 增加到 10,前面支配的人都已下班,本班刚好只朋 9 人,如需求再增加一人,就需要新支配一人所以对偶价格-1；第四个、第五个、第六个常数项与前三个常数项一样；5.4 某塑料厂要用四种化学配料生产一种塑料产品,这四种配料分别由 A 、B、C 三种化学原料配制,三种化学原料的配方及原料价格如下表：名师归纳总结 配料1 2 3 4 价格（元 /公斤）第 7 页,共 18 页含原料 A （%）30 40 20 15 11 含原料 B（%）20 30 60 40 13 含原料 C（%）40 25 15 30 12 要配制的塑料产品中,要求含有20%的原料 A,不少于 30%的材料 B 和不少于20%的原料C；由于技术缘由,配料1 的用量不能超过30%,配料 2 的用量不能少于40%；第一次配制的塑料产品不能少于5 公斤；请设计一套配料方案,使总的成本为最低；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：线性规划数学模型：min f =10.7 x1+11.3 x2+11.8 x3+9.45 x4S.T. 0.1x1+0.2 x2-0.05 x4=0 -0.1 x1 +0.3 x3+0.1 x40 0.2 x1+0.05 x2-0.05 x3+0.1 x40 0.7x1-0.3x2-0.3x3-0.3x40 -0.4 x1+0.6x2-0.4x3-0.4x40 x1+x2+x3+x45 xi0（i=1 ,2, 3,4,）将模型代入到线性规划求解模板,得结果：用配料 1,1.5 公斤；用配料2,0.1 公斤；用配料3,0 公斤；用配料4,3.4 公斤；花费总的最低成本49.31 元；灵敏度分析报告：目标函数最优值为 : 49.31 最优解相差值变量 x1 1.5 0 x2 .1 0 x3 0 1.98 x4 3.4 0 约束放松 / 剩余变量对偶价格 1 0 -7.4 2 .19 0 3 .645 0 4 0 -.14 5 1.9 0 6 0 -9.862 目标函数系数范畴 : 变量下限当前值上限 x1 10.56 10.7 无上限 x2 -481.8 11.3 11.533 x3 9.82 11.8 无上限 x4 -5.053 9.45 9.8 常数项数范畴 : 约束下限当前值上限 1 -.025 0 .475 2 无下限 0 .19 3 无下限 0 .645 4 -1.5 0 .167 5 -1.9 0 无上限 6 0 5 无上限 本问题的相差值栏,x3 的相差值为 1.98,表示目前配料 3 的成本 11.8 太高, 无法选用,如该配料的成本再降低 1.98 元就可以选取用；放松 /剩余变量栏：前五个给条件都表示的是配料或原料的配比关系；放松 /剩余变量为 0 关系表示已完全按要求配比,不为 0 的表示没有达到配比要求；第五个约束是总产品的 产量最低限,放松 /剩余变量为 0 表示已达到产量要求；对总费用的影响； 不为 0 的对偶 关五个约束的对偶价格表示配料或者说原料不匹配时,价格表示配比每差一个单位都会使总费用的增加量；第五个对偶价格是每增加一公斤的产品,需要增加的费用值；在学数项取值范畴栏：前五个约束在常数项在这个范畴内,时的上限都不高, 说明这个最优方案中的匹配关系失衡并不严峻,的增加比例更大； 对五个对偶价格实际上说明白该产品的确定成本,少的产品都是这个成本构成；保持上述的对偶价格,而此如比例失衡将会导致费用在这个方案下, 生产多名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5.5 某工厂生产、四种产品,产品需经过A、B 两种机器加工,产品需经过 A、C 两种机器加工,产品需经过B、C 两种机器加工,产品需经过A、B 两种机器加工；有关数据见下表所示：产品机器生产率（件/小时）原料成本（元/件）产品价格（元 /件）A B C 16 65 10 20 20 10 25 80 10 15 12 50 20 10 225 18 70 机器成本（元 /小时）200 150 每周可用机时数150 120 70 请为该厂制定一个最优生产方案；解：线性规划数学模型：max Z=21.5 x1+22.5 x2+8 x3+27 x4S.T. 2x1+x2+x43000 x1+2x3+2x424003x2+4x34200 xi0（i=1 ,2,.4）用 Excel 线性规划求解模板求解得：最优生产方案：产品生产 267 件；产品生产 1400 件；产品担心排生产；产品生产 1067 件；可获得的最高利润：66033.3 元；灵敏度分析报告：即：目标函数最优值为 : 66033.3495 相差值变量最优解 - - - x1 266.667 0 x2 1400 0 x3 0 30.8333 x4 1066.667 0 约束放松 / 剩余变量对偶价格 - - - 1 0 5.333 2 0 10.833 3 0 5.722 目标函数系数范畴 : 当前值上限变量下限 - - - - x1 13.5 21.5 45 x2 5.333 22.5 无上限 x3 无下限 8 38.333 x4 10.75 27 43 常数项数范畴 : 约束下限当前值上限 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -