2022年第二章推理与证明教案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1+8+27+64=100 , 你能猜想到一个怎样的结论？其次章合情推理与演绎推理§ 2.1.1 合情推理 1 例2已 知 数 列a n的 第 一 项a 11, 且学习目标an11annn1, 2 , 3.,试归纳出这个数列的1. 结合已学过的数学实例,明白归纳推理的含义；a2. 能利用归纳进行简洁的推理,体会并熟悉归通项公式 . 纳推理在数学发觉中的作用. 学习难点： 能利用归纳进行简洁的推理,体会并熟悉归纳推理在数学发觉中的作用. 变式 ：在数列 a 中,a n1 an1（n2）,学习过程一、目标展现；2a n二、自主学习试猜想这个数列的通项公式. 在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（ 1）看到天空乌云密布,燕子低飞,蚂蚁搬家,推断天要下雨；. 试一试：11112222 的（2）八月十五云遮月,来年正月十五雪打灯练 1. 应用归纳推理推测以上例子可以得出推理是结果 . 的思维过程 .三、互动沟通学习探究（n练2. 在数列 a 中,a 11,a n12an探究任务 ：归纳推理2a n问题1:哥德巴赫猜想：观看6=3+3, 8=5+3, * N ） ,试猜想这个数列的通项公式.10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, , 50=13+37, , 100=3+97 , 猜想：. 问题 2：由铜、铁、铝、金等金属能导电,归纳出 . 新 知 ： 归 纳 推 理 就 是 由 某 些 事 物的由,推出该类事物的,归纳的推理,或者的推理.简言之推理是由的推理 . 典型例题四、达标检测程1.以下关于归纳推理的说法错误选项（）. A. 归纳推理是由一般到一般的一种推理过B.归纳推理是一种由特别到一般的推理过程C.归纳推理得出的结论具有或然性,不肯定正确D.归纳推理具有由详细到抽象的熟悉功能22.如 f n n n 41, n N ,以下说法中正确名师归纳总结 例 1 观看以下等式：1+3=4=2 2 ,的是（）. A.f n 可以为偶数B. f n 肯定为奇1+3+5=9=2 3 ,数C. f n 肯定为质数D. f n 必为合数1+3+5+7=16=2 4 ,3.已知f x12 2,f11（xN*）,1+3+5+7+9=25=2 5 ,f x 猜想f x）的表达式为（）. 你能猜想到一个怎样的结论？变式 ：观看以下等式：1=1 A.f x 2x42B.f x x21C.f x x11D.f x 221x4.f n 1111nN, 经运算得1+8=9,23n1+8+27=36 ,第 1 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3 5 7f 2 , f 4 2, f 8 , f 16 3, f 32 猜2 2 2测当 n 2 时,有 _. 2 2 25. 从 1 1 ,2 3 4 3 ,3 4 5 6 7 5 中得出的一般性结论是 _ . 新 知 ： 类 比 推 理 就 是 由 两 类 对 象 具 有和其中,推出另一类对象也具有这些特点的推理 . 简言之,类比推理是由 到 的推理 . 三、精讲点拨五、归纳小结例 1 类比实数的加法和乘法,列出它们相像的运算性质 . 1归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤：通过观看个别情形类比实数的加法实数的乘发觉某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. 角度法运算 结果 运算 律 逆运 算 单位 元变式 ：找出圆与球的相像之处,并用圆的性质六、布置作业1. 对于任意正整数n,猜想 2n1与 n12的大小关系 . 2. 已知数列 a 的前 n 项和S ,a 12,满3足S n12a n n2,运算S S 2,S S 4,并猜想S nS 的表达式 . 七、教后感类比球的有关性质. 圆的概念和性质球的类似概念和性质圆的周长§ 2.1.1 合情推理（ 2）学习目标圆的面积 圆心与弦（非直径）1. 结合已学过的数学实例,明白类比推理的含义; 2. 能利用类比进行简洁的推理,体会并熟悉合情推理在数学发觉中的作用 . 学习重点：能利用类比进行简洁的推理 学习过程中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的 弦长相等,与圆心距离不等的两弦不等,距圆 心较近的弦较长一、 目标展现以 点x0,y 0为 圆试给二、自主学习心, r 为半径的圆的方1.已知ia0 i1,2, n ,考察以下式子：程为xx 02yy 02r2 i a 111； a 1a 2114；a 1a 1a2例 2 类比平面内直角三角形的勾股定理, iii a 1a 2a 31119. 我们可以出空间中四周体性质的猜想. a 1a2a 3归纳出, 对a a2,a 也成立的类似不等式为. 2. 猜 想 数 列113,31, 5 517,719,的通项公式是. 三、互动沟通鲁班由带齿的草创造锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理创造潜水艇；地球上有生命,火星与地球有很多相像点,如都是绕太阳运行、绕轴自转的行 星,有大气层,也有季节变更,温度也适合生物生存,科学家推测： 火星上有生命存在. 以上都是类比思维,即类比推理. 变式 ：用三角形的以下性质类比出四周体的有 关性质 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三角形四周体学习必备欢迎下载D.类比推理是从特别到特别的推理三 角 形 的 两 边 之和大于第三边三 角 形 的 中 位 线平行且等于第三 边的一半 三 角 形 的 面 积为 S 1 a b c r 2（r 为三角形内切圆 的半径）新知 ：和都是依据已有的事 实 , 经 过 观 察 、 分 析 、 比 较 、 联 想 , 再 进行,然后提出的推理,我们2. 下面使用类比推理正确选项（）. A. “ 如 a 3 b 3 , 就 a b ” 类 推 出 “ 如a 0 b 0 ,就 a b ”B. “如 a b c ac bc”类 推 出“ a b c ac bc ”C. “如 a b c ac bc ” 类推出 “a b a bc c c（c 0）”D. “（ b）na b n n” 类 推 出（a b）na nb n'3. 设 f 0 x sin x , f 1 x f 0 x ,' 'f 2 f 1 , , f n 1 f n , nN , 就f 2007 （）. 把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的A. sin x C. cosxD. cosxB. sin x结论,仅仅是一种猜想,未必牢靠. 动手试试4. 一同学在电脑中打出如下如干个圆 如将此如干个圆按此规律连续下去,得到一系列的练 1. 如图,如射线OM ,ON 上分别存在点M1,M2与 点N 1,N2, 就 三 角 形 面 积 之 比圆,那么在前2006 个圆中有个黑圆 . SOM N 1 1OM1ON1.如不在同一平面内的射线5. 在数列 1,1,2,3,5,8,13,x,34,55 SOM N 22OM2ON2中的 x 的值是. 五、归纳小结OP,OQ 上分别存在点P P ,点Q Q 和点R R ,1类比推理是由特别到特别的推理. 就类似的结论是什么？2. 类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相像性或一样性；用一类事物的性质去估计另一类事物的性质得出一个命题（猜想）. 3. 合情推理仅是 “ 合乎情理 ”的推理, 它得到的 结论不肯定真,但合情推理常常帮我们推测和发觉 新的规律,为我们供应证明的思路和方法 . 学问拓展六、课时作业练 2. 在ABC 中,不等式1 A119成立；1. 在 等 差 数 列 an中 , 如a 100, 就 有BCa 1a2a na1a2a1 9 n1 9 ,N*在四边形 ABCD 中,不等式1A立 ；在 五 边 形 ABCDE11116成成立,类比上述性质, 在等比数列 b n中,如b 91,B C D 2中 , 不 等式就存在怎样的等式？1111125成 立 . 猜 想 , 在n 边 形ABCDE32.在各项为正的数列a n中,数列的前n 项和A A 2A 中,有怎样的不等式成立？S 满意S n1an1（1） 求a 1,a2,a3；（2）四、达标检测2an由（ 1）猜想数列an的通项公式；（3） 求S n七、教后感1.以下说法中正确选项（）. A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理 C. 归 纳 推 理 是 从 一 般 到 特 殊 的 推 理名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载. § 2.1.2 演绎推理结论2）至学习目标试试 ：请把探究任务一中的演绎推理（1.结合已学过的数学实例和生活中的实例,（6）写成“ 三段论” 的形式. 体会演绎推理的重要性；2.把握演绎推理的基本方法,并能运用它们进行一些简洁的推理. 学习重点： 把握演绎推理的基本方法,并能运用它们进行一些简洁的推理.到三、精讲点拨学习过程例1 在 锐 角 三 角 形ABC中 ,一、目标展现A DB CB E,D,E 是垂足 . 求证： AB 的中二、自主学习点 M 到 D,E 的距离相等 . 复 习1 ： 归 纳 推 理 是 由的推理 . 类 比 推 理 是 由理的到新知 ：用集合学问说明“ 三段论”：, 1 上是的推理 . 结复习2：合情推大前提：论. 小前提：三、互动沟通结论：学习探究例 2 证明函数f x 2 x2x 在探究任务一 ：演绎推理的概念增函数 . 问题 ：观看以下例子有什么特点？（ 1）全部的金属都能够导电,铜是金属,所 以；（ 2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运 行 , 冥 王 星 是 太 阳 系 的 大 行 星 , 因此；（3）在一个标准大气压下, 水的沸点是 100 C ,所 以 在 一 个 标 准 大 气 压 下 把 水 加 热 到 100 C时,；（4）一切奇数都不能被 2 整除, 2007 是奇数,所以；（5）三角函数都是周期函数,sin 是三角函数,所以；（6）两条直线平行,同旁内角互补 .假如 A 与B 是 两 条 平 行 直 线 的 同 旁 内 角 , 那么 . 小结 ：应用“ 三段论” 解决问题时,第一应当 明确什么是大前提和小前提,但为了表达简洁,如 果大前提是明显的,就可以省略 . 例 3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正 确吗？为什么？全部边长相等的凸多边形是正多边形,（大前 提）菱形是全部边长都相等的凸多边形,（小前 提）菱形是正多边形. （结论）新知 ：演绎推理是从动身,推小结 ：在演绎推理中,只要前提和推理形式是出情形下的结论的推理.简言之,演绎正确的,结论必定正确. 推理是由到的推理 . 动手试试探究任务二 ：观看上述例子,它们都由几部分 组成,各部分有什么特点？练1. 用 三 段 论 证 明 ： 通 项 公 式 为a ncqn cq0的数列 a n是等比数列 . 全部的金属都导电铜是金属铜能导电练 2. 在ABC 中, ACBC ,CD 是 AB 边上已知的一般原理特别情形依据原的高,求证ACDBCD . 理,对特别情形做出的判定证明：在ABC 中,CDAB ACBC ,大前提小前提结论新知 ：“ 三段论” 是演绎推理的一般模式：所以 AD BD ,于是 ACD BCD . 指出上面证明过程中的错误 . 名师归纳总结 大前提；第 4 页,共 19 页小前提- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载的推理 ; 四、达标检测2. 把握演绎推理的基本方法,并能运用它们进31. 由于指数函数yx a 是增函数,y1 2x是行一些简洁的推理; 3. 体会合情推理和演绎推理的区分与联系. 指数函数,就y1x是增函数 .这个结论是错误的,学习过程2一、目标展现这是由于（）二、自主学习A. 大前提错误B. 小前提错误1归纳推理是由到的推理 . C.推理形式错误D.非以上错误类比推理是 由到的推理 . 2. 有这样一段演绎推理是这样的“ 有些有理数合情推理的结论. 是真分数,整数是有理数,就整数是真分数” 结论2演绎推理是由到的推理；明显是错误的,是由于（）演绎推理的结论. A. 大前提错误B. 小前提错误三、互动沟通C.推理形式错误D.非以上错误探究任务：观察（1）3. 有一段演绎推理是这样的：“ 直线平行于平面,就平行于平面内全部直线；已知直线 b 平面0 tan10 tan 2000 tan20 tan6000 tan 60 tan1001;（2）,直线 a平面,直线 b 平面,就直线 b0 tan5 tan1000 tan10 tan750tan750tan501 直线 a ” 的结论明显是错误的,这是由于 （）由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论 . A. 大前提错误B. 小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误变式：已知：4.归纳推理是由到的推理；类比推理是由到的推理；sin230sin290sin21503演绎推理是由到的推理 . 25.合情推理的结论；演绎推理的结sin25sin265sin2125论. 2五、归纳小结通过观看上述两等式的规律,请你写出一般性1. 合情推理归纳推理：由特别到一般；结论的命题,并给出的证明. 类比推理：由特别到特别不肯定正确 . 2. 演绎推理：由一般到特别.前提和推理形式正确结论肯定正确. 六、布置作业1. 用三段论证明： 在梯形 ABCD 中,AD/BC ,AB=DC ,就BC . f x x3x xR 为奇函2. 用三段论证明：数. 七、教后感三、精讲点拨名师归纳总结 § 2.1 合情推理与演绎推理例2 在 Rt ABC 中 , 如C90, 就cos2Acos2B1,就在立体几何中,给出四周体性质的猜想 . 练习 变式 ：已知等差数列a n的公差为 d ,前 n 项学习目标和为S ,有如下性质：1. 能利用归纳推理与类比推理进行一些简洁第 5 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）a na mnm d ,学习必备欢迎下载点如用f n 表示这条直线交点的个数,就N*,f4= ； 当 时 ,f n （2）如mnpq m n p q就a ma napa ,中,写出类似（用含 n 的数学表达式表示）. 类比上述性质, 在等比数列 b n五、归纳小结1. 合情推理归纳推理：由特别到一般；结论的性质 . 类比推理：由特别到特别不肯定正确 . 动手试试2. 演绎推理：由一般到特别.前提和推理形式正确结论肯定正确. 六、布置作业练1. 如数列an的通项公式1. 证明函数f x 2 x4x 在 2, 上是减ann12nN,记函数 . 1 2. 数列 a n满意S n2na ,先运算数列的前fn 1a 11a21an, 试 通 过 计 算4 项,再归纳猜想a . f 1 ,f2,f3的值,推测出七、教后感fn_.§ 2.2.1 综合法和分析法（ 1）练 2. 如三角形内切圆半径为r,三边长为 a,b,c,就三角形的面积 S 1 r a2如 四 面 体 内 切 球 半 径 为bc ,依据类比思想,R, 四 个 面 的 面 积 为S S S S ,就四周体的体积V= . 四、达标检测1. 由数列 1,10,100,1000,猜想该数列的第n项可能是（）. 学习目标A. 10nB.10n1C.10n11. 结合已经学过的数学实例,明白直接证明的n D.112.下面四个在平面内成立的结论平行于同始终线的两直线平行两种基本方法：分析法和综合法；2. 会用综合法证明问题；明白综合法的摸索过程. 一条直线假如与两条平行线中的一条垂直,就必与另一条相交3. 依据问题的特点,结合综合法的摸索过程、特点,挑选适当的证明方法 . 垂直于同始终线的两直线平行学习重点,. . 一条直线假如与两条平行线中的一条相交,会用分析法和综合法证明数学命题；就必与另一条相交学习过程在空间中也成立的为（）. 一、目标展现A. B. C. D.二、 自主学习1：两类基本的证明方法: 和3.用演绎推理证明函数y3 x 是增函数时的大2：直接证明的两中方法: 和前提是（）. 三、互动沟通A. 增函数的定义B.函数探究任务一 ：综合法的应用y3 x 满意增函数的定义问题 ：已知a b0, C.如x 1x ,就f x 1fx 2D.如求证 :a b2c2b c2a24abc . 利x 1x , 就f x 1f x24.在数列an中,已知新知：一般地a 12,an1a n1nN*, 试 归 纳 推 理 出3 a na n. 用5. 设平面内有条直线n3,其中有且仅有两条直线相互平行,任意三条直线不过同一,经过一系列的推理论 证,最终导出所要证明的结论成立 ,这种证明方法叫 综合法 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 反思 ：abc学习必备欢迎下载四、达标检测框图表示：1,求证：1. 已 知x yR,就"xy1"是"2 xy21"的（）要点：顺推证法；由因导果. A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件三、精讲点拨C.充要条件D.既不充分也不必要条件例 1 已知a b cR ,2. 假如a1,a2,a 8为各项都大于零的等差数1119列,公差d0,就（）abcA a1 a8a4a 5B a 1a8a4a5Ca1a8a4a 5Da 1a 8a4a 53. 设P1111,就变式 ：已知a b cR ,abc1,求证：log 11log 11log 11log 11（）1111118. A 0P1B 1P2abcC 2P3D 3P44.如关于x的不等式小结 ：用综合法证明不等式时要留意应用重要不等式和不等式性质 ,要留意公式应用的条件和等号成立的条件 ,这是一种由因索果的证明 . 例 2 在 ABC 中,三个内角 A、B、 C 的对边分别为 a、b、c,且 A、B、C 成等差数列, a、 b、c 成等比数列 . 求证：为ABC 等边三角形 . k 22 k 3 x k 22 k 3 1 x的解集为 1 , ,2 2 2就 k 的范畴是 _ . 5. 已 知 a, b 是 不 相 等 的 正 数,a bx , y a b , 就 ,x y 的 大 小 关 系 是2_.五、归纳小结综合法是从已知的 P 动身,得到一系列的结论Q Q 2,直到最终的结论是 Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题 . 变式 ：设在四周体PABC 中, ,学问拓展综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是ABC90 ,PAPBPC D 是 AC 的中点 .求从已知到未知,从题设到结论的规律推理方法,即从证:PD 垂直于ABC 所在的平面 . 题设中的已知条件或已证的真实判定动身,经过一小结 ：解决数学问题时,往往要先作语言的转换系列的中间推理,最终导出所要求证的命题,综合法是一种由因索果的证明方法. 六、作业布置 . 1.已知a, b,c 是全不相等的正实数,求如把文字语言转换成符号语言,或把符号语言转换证:bcaacbabc3成图形语言等,仍要通过细致的分析,把其中的隐含abc条件明确表示出来. 2.在ABC中,证明：动手试试cos2Acos2B11练1. 求证：对 于任意角,a2b2a2b2cos4sin4cos2七、教后感练 2. A B 为锐角,名师归纳总结 且 tanAAtanB603 tanAtanB3,B ）§ 2.2.1 综合法和分析法 二 第 7 页,共 19 页求证：B. （提示：算tanA- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学习目标1. 会用分析法证明问题；明白分析法的摸索过程. 2. 依据问题的特点,结合分析法的摸索过程、特点,挑选适当的证明方法 . 学习难点：依据问题的特点,结合分析法的摸索过程、特点,挑选适当的证明方法 . 学习过程一、目标展现二、自主学习1综合法是由导; 2基本不等式 : 三、互动沟通探究任务一 ：分析法问题：如何证明基本不等式边,s变 式 ： 设a b c 为 一 个 三 角 形 的 三a2baba0,b0新知 ：从要证明的结论动身,逐步查找使它成1 2abc ,且2 s2ab ,试证s2a . 立的充分条件,直至最终,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、 定理、定义、公理等）为止 . 反思 ：框图表示小结 ：用题设不易切入,要留意用分析法来解决问题 . 要点：逆推证法；执果索因6动手试试三、精讲点拨练 1. 求证 :当一个圆和一个正方形的周长相等例 1 求证：352时,圆的面积比正方形的面积大. 变式 ：求证 :372 5练 2. 设 a, b, c 是的 ABC 三边,S 是三角形的面积,求证：c2a2b24ab4 3 S名师归纳总结 小结 ：证明含有根式的不等式时,用综合法比较四、达标检测第 8 页,共 19 页困难 ,所以我们常用分析法探究证明的途径. 例2 在四面体SABC中,SA面ABC ABBC,过 A 作 SB 的垂线 ,垂足为1. 要证明372 5 可挑选的方法有以下E,过 E 作 SC 的垂线 ,垂足为 F,求证 AFSC. 几种 ,其中最合理的是（）A. 综合法B.分析法C.反证法D. 归纳法2.不等式x233x ; ba2,其中恒成ab立的是（）A. B.C.D.都不正确3.已知yx0,且xy1,那么（）A.xx2yy2 xyB. 2xyxx2yy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C.xx2y2xyyD.x2xy学习必备欢迎下载x2y2y2 bc2ab4.如a b cR,就abcac. b5.将 a 千克的白糖加水配制成b 千克的糖水a0,就其浓度为;如再加入 m 千克的白糖 m 0 ,糖水更甜了 ,依据这一生活常识提炼出一个常见的不等式 : . 五、归纳小结分析法由要证明的结论 Q 摸索,一步步探求得新知：用 P 表示已知条件、定义、定理、公理 等,用 Q 表示要证明的结论,就上述过程可用框图表示为：到 Q 所需要的已知P P 2,直到全部的已知P 都成立 . 六、布置作业2. 试试： 已知 tansina,tansinb ,证:1. a已知 a2b abb0,求ab求证：a2b2216ab . ab8 a28 b反思 ：在解决一些复杂、技巧性强的题目时,2. 设a bR ,且 ab ,求证:3 a3 b2 a bab2七、教后感我们可以把综合法和分析法结合使用. 三、精讲点拨§ 2.2.1 综合法和分析法（3）1例1 已 知A B 都 是 锐 角 , 且AB2,tanA 1tanB2,求证：AB45学习目标1. 能结合已经学过的数学示例,明白综合法和变式： 已知1t a n 1 t a n, 求证：分析法的摸索过程和特点; 2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理2解分析法和综合法之间的内在联系; 3 s i n24 c3. 养成勤于观看、仔细摸索的数学品质. 学习重点： 学会用综合法和分析法证明实际问题,并懂得分析法和综合法之间的内在联系; 学习过程 一、目标展现二、自主学习名师归纳总结 复习 1：综合法是由导; , 且小结 ：坚固把握基础学问是敏捷应用两种方法第 9 页,共 19 页复习 2：分析法是由索. 证明问题的前提,本例中,三角公式发挥着重要作三、互动沟通用. 学习探究例2 在四周体PABC 中, PDABC,探究任务一 ：综合法和分析法的综合运用ACBC , D 是 AB 的中点,求证：ABPC . 问题：已知,k2kZsincos2sin,求sincossin2,证:1tan21tan2. 1tan221tan2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式 ：假如a b0,就lga2blga2学习必备欢迎下载Dlgb . aR,1a