2022年第五章同步练习答案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 、课程同步练习5.1 向量及其线性运算 5.2 一、填空题 : 空间直角坐标系、向量的坐标表示1平行于a3,3,4的单位向量 e13,3, 4342a3,4,1,就 a 的方向余弦为cos3,cos4,cos12626263一向量的起点为A 1,4, 2, 终点为B 1,5,6,就 AB 在 x 轴、 y 轴、 z 轴上的投影分别是 -2, 1, 8 , |AB|69 . 二、挑选题：1. 点P,12,1关于 zox面对称的点的坐标是（ C ）1,2 1 D,1A ,121, B1 ,2,1 C ,12 ,2. 设a,b相互平行,但方向相反,当ab0时,必有（ A ）o 60AababBababC ababDabab.3.以下各组角能为某向量的方向角的是（ A ）o 45,o 135,A o 90,o 150,o 60B Co 60,o 120,o 49Do 30,o 150,o 60三、运算题：名师归纳总结 1设一向量与三个坐标平面的夹角分别为,证明2 cos2 cos2 cos1.2 .第 1 页,共 10 页证明：设,分别是该向量与三个坐标轴的夹角,就有2,2,2由于2 cos2 cos2 cos所以2 sinsin2sin21即12 cos2 1 cos2 1 cos1故2 cos2 cos2 cos.2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2. 设1e12,2 1, ,2e12,1,2,3e1 ,12 ,2,试 将 向 量rx,y ,z表 示 成333e 1 , e 2 , e 3 的线性组合 . 解：设 r x e 1 y e 2 z e 3 并且 e 1 , e 2 , e 3 是两两垂直的单位向量,所以x 1 2 x 2 y z r e 1 x 3r e 2 y 即 y 1 2 x y 2 . 3r e 3 zz 1 x 2 y 2 33. 设 ABCD 是平行四边形,E 是 AB 的中点, AC 与 DE 交于 O 点,证明 O 点分别是 DE 与 AC 的三等分的分点 . 证明：依题意,DE和 AC交于 O点,取 OD,OC的中点分别为 M,N,连接 MN,由于1 1 1 1MO DO , ON OC , MN MO ON DO OC DC ,2 2 2 2又 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ,AB DC , 且 E 为 AB 的 中 点 , 故AE 1AB 1DC MN , 因 此 四 边 形 AENM 构 成 平 行 四 边 形 , 于 是2 21 1OM OE , ON OA ,这样 AO AC , EO ED , 证得 . 3 35.3 数量积 向量积 混合积一、填空题 : 1设a b3,a b1,1,1,就 , 6,如 a /b 就 k2 3 . 2设a3, 2,1,b2,4, ,如ab 就 k26333. 已知 c 垂直于a1,2,1和b 1,1,1,并满意c i2jk8,就 c（1,-2 ,3）二、挑选题：名师归纳总结 1. 以下各式正确选项（ C ）第 2 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A当a0 时,a1；aBaaba2b；; Cabab aabaabbb；D如a0,abac, 就bc；2. 已知 a=i - 2j +3k, b=2i +j , c=- i +j +k, 以下说法正确选项（ A ）A b垂直于 Oz 轴 ;Bab平行于c ;Ca 与bc 垂直 ;D a,b,c共面3设,为相互垂直的3 个非零向量,就向量rxyz的模为（ D ）A 1r2 xy22 z2;Brxyz; Crxyz;Drx222 y2z221;2三、运算题：1. 设 abc3,求 ab bc ca . 解： abbc caabbbacbc caab c bca2 ab c6.2. 证明ab2ab22 a2b2,当 a,b 不共线时说明该式的几何意义证明：ab2ab2ab abab ab2a2b2.当 a,b 不共线时,以a,b 为两条邻边作平行四边形,那么此题的结论是平行四名师归纳总结 边形两对角线的平方和等于它四边的平方和. 第 3 页,共 10 页3.设向量a2 ,3, 4,b,3,11,c,3试求向量c,使三向量a,b,c 构成平行六面体体积最大. 解：分析 , 据混合积的几何意义,abc 的肯定值恰是上面平行六面体的体积,又c3确 定 , 所 以 abc 的 绝 对 值 最 大 只 能 是c/ /ab或 根 据 计 算 式 abcabccos最大只能是0,时最大,故 ab2,3,43,1, 11,14, 11,ab11,14, 11是 单 位 向 量 , 因ab318- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - c/ /ab 且c3,c31,14, 11.3185.4 平面与空间直线（ 1）一、填空题 : 1 过点 4,3,2,且在各坐标轴上有相同截距的平面方程为x 9yy4z1992 过点A4,0 ,2 和B 5 7,1,且平行于 z轴的平面方程为x03 当参数 k = 2 ,原点到平面2xykz6的距离为 2二、挑选题：1平面2xyz6与平面4x2y2z3的位置关系是（ A ） A ） A 平行但不重合； B 重合； C 垂直； D 斜交 . 2. 要求平面AxByCzD0平行于 yOz,就其系数应满意（B ）A AB0；BBC0；CAC0；DCD0.3. 要求直线方程：A 1xB 1yC 1zD 10与 x 轴重合,就其系数应满意（A 2xB 2yC 2zD20A A 1A 2,0且D 1D 20；B A 1A 2,0且B 1B 20；B A 1A 2,0且C 1C 20；DB 1B 2,0且D 1D 20；三、运算题：1. 求过 x 轴且与平面 5 x 2 y z 6 0 成 角的平面方程 . 3解：依题意设所求平面方程为：By Cz 0, 其法向量为 n 1 0, B C , 已知平面的法向量为 n 2 5,2,1, 据两平面的夹角公式得 B 3 , 或 C 3 B,故所求平面方程有两个：y 3 z 0, 3 y z 0.2. 求与已知平面 2 x y 2 z 5 0 平行且与三个坐标面所构成的四周体体积为 1 的平面方程 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解 ： 依 题 意 设 所 求 平 面 方 程 为 ： 2xy2zD , D0 化 成 截 距 式 为 ：xyz1,得平面在三个坐标轴上的截距为：aD,bD cD, 又D2DD2222xy2z2 3.解v1abc=D3=1, 所以D2 3,所求平面方程为6240垂直的平面方程. 3. 求过点M11, 1,2和M22,1,3,且与平面xyz1AB2 CD0解：设所求平面方程为：AxByCzD0,依题意得：2AB3 CD0之A3 , C B2C D7 , C 故所求平面方程为：3x2yABC0z70.5.4 平面与空间直线（ 2）一、填空题 : 1过点P2 ,3 1, 且平行于 y 轴的直线方程为x2y3z01或x2 .1z012直线x15y3z31与平面x2y5z120的交点为（4,-1,2 ） 23. 过点 ,10 ,2且与平面1:x4 z3及平面:23 xy5 z1的交线平行的直线方程是x41y70z12二、挑选题：名师归纳总结 1直线x3y4z与平面4x2y2z3的位置关系是（A ）c 3与 直 线第 5 页,共 10 页273 A 平行； B 直线在平面内； C 垂直； D 斜交 . 2点M,3,44 到直线x24y5z12的距离是（ B ）2 A 5 ； B52； C 3； D 4. a 1b 1c 1是 满 秩 的 , 就 直 线xa3yb 3z3. 设 矩 阵a 2b 2c2a 1a2b 1b2c 1c 2a 3b 3c3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xa 1yb 1zc 1 C a 2a 3b 2b 3c 2c 3 A 平行但不重合； B 重合； C 相交于一点； D 异面 . 三、运算题：名师归纳总结 1. 试求空间直线xyzz5400的对称式方程和参数方程第 6 页,共 10 页3 x8y4ijk解：先取一点（0,-4 ,-9 ）,再求直线的方向向量：s1114 ij5 , k所384以,直线的对称式为：xy4z9 . 5其参数式方程为yx4 tt.441z95 t2求过点P23,1, 且与直线L:x31y21z垂直相交的直线方程1解 ： 将 直 线 化 成 一 般 式 ：2x3 y150, 0过 此 直 线 的 平 面 束 方 程 为 ：x3 z 2 x3 y5 x z 31整 理 得 2 x3 y3z50再 将 点P ,1,23 代入得1 , 2过 P 点与 L 的平面方程是x2yz30,过 P 点垂直于L 的平面方程是3 x2yz50,故所求直线方程为：3 x2yz50. 0x2yz33. 求直线L 1:xyz8与直线L2:x5y11z12之间的距离 . 2234解：设s s 分别为两直线 1 2L L 的方向向量,就过 1 2L 且与 1L 平行的平面 2的法向量为：ijkns 1s 22235 i2j2 ,故平面的方程为411x02y02z80,即x2y2z160,而点（5,1,2 ）是L 上的点, 它到平面的距离为d51224 165. 3即所求 .22 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5.5 曲面及其方程 一、填空题 : 1方程y2z2在空间解析几何中表示母线平行于x 轴的抛物柱面z24x212方程x2y2z20表示原点（ 0,0,0 ）3将曲线y2z 21绕 y 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为y24x0二、挑选题：1方程x22 z4x4z40在空间直角坐标系中表示的图形是（ C 2 的圆； A 球心在（ 2,0,2）,半径为 2 的球； B 圆心在（ 2, 0,2）,半径为 C 准线为圆 , 母线平行于 y 轴的圆柱面 ; D 以上说法都不对. 2. 方程zxy是（ C ） A 柱面； B 锥面； C 双曲抛物面； D 椭球面 . 3直线L:xyz绕 z 轴旋转而产生的旋转曲面方程是（ D ）326A 13 x236 2 zy2;B 13 z236 x22 y;C2 13 z36 x2y2;D2 13 z36 2 xy2.三、运算题：1已知动点到坐标原点的距离等于它到平面z4的距离,求动点的轨迹方程,并说明该方程表示什么曲面？名师归纳总结 2 x解 ： 设 , x y z , 为 动 点 , 由 条 件x2y2z2z4 ,两 边 平 方 并 化 简 得第 7 页,共 10 页y28 z16.旋转抛物面x2求过点,12 ,5且和三个坐标平面都相切的球面方程a,a,球 面 方 程 为解 ： 设 球 面 半 径 为 a ,就 球 心 坐 标 为a,a 2ya2 za2a2,将点1 ,2 ,5代入化简得a28a150,解之a3 或a5,于 是 所 求 球 面 方 程 为 ：x2 3y2 3z322 3 ,或x52y52z522 5 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3指出以下旋转曲面的一条母线和旋转轴：（1）z2 x2y2；（2）x2y2z2144解：（1）母线是yoz 面上的曲线z22y2,旋转轴.z.x（2）母线是xoy 面上的曲线xy21,旋转轴45.6 空间曲线及其方程一、填空题 : 1x2Ly2z21表示的曲线为平面 y =1 上的椭圆2y3z5094 y12直线:2yy3 z50在 yOz 面上的投影方程为x2z70x032 xx1 cos 2y22 z1的参数方程为zx1x2 x2或yz1 cos 2yxxysin二、挑选题：名师归纳总结 1在空间解析几何中,方程2 x2 y0表示的图形是（ A ）；y21 .第 8 页,共 10 页 A 原点； B x 轴； C y 轴； D z 轴. 2通过曲线x2x2y22 y4z221且母线平行于z轴的柱面方程是（ D ）；zA 2y25 z2;1B 2x23 z2;1C52 x32 y;1D52 x33旋转抛物面zx2y20z4 在 yOz 面上的投影是（ C ）；A yOz 面上的投影为y2z ;0ByOz 面上的投影为y2z ;0xx4 . CyOz 面上的投影为y2xz04 ;D yOz 面上的投影为y2xz0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三、运算题：1曲线zzx2x2y212在三个坐标面上的投影曲线方程. 12y解 ： 为 求 此 曲 线 在 xo y坐 标 面 上 的 投 影 曲 线 方 程 , 在 此 方 程 中 消 去 z 得 到 ：名师归纳总结 2x2y2x2 1 y2 1 , 化简得x12y122 22 就曲 线 ,第 9 页,共 10 页22x12y122 22 就是此曲线在 xoy 坐标面上的投影；仿此,消去x 可得22z02y22yzz24y3z20就 是 此 曲 线 在 yoz 坐 标 面 上 的 投 影 ； 消 去 y 可 得x02x22xz2 z4 x3z20就是此曲线在zox 坐标面上的投影. y0xacos2求螺旋线yasin在三个坐标平面上的投影曲线的直角坐标方程. zb解：由于螺旋线上的点在xoy 坐标面上的投影是 cos ,asin,0,所以在 xoy 面上的投影曲线就是xacos,其直角坐标方程为2 xy202 a.在 yoz 面上的投影曲线的直yasinzz0x0y0角坐标方程为yasinz；在 zox面上的投影曲线的直角坐标方程为xacosz.bb3. 已知曲面方程x2z2y,用平面xmy20去截,问m为何值时截得的交线23是椭圆？当m为何值时截得的交线是抛物线？解：由平面方程得x2my 代入椭圆抛物面方程中得2my22 zy,整理得232 m y2224m y42 z0 1；当m0时,（1）式为z23 y6,从而当m03- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 时,得交线为2 zx3 y6这是在平面x2上的抛物线；当m0时,（1）式配方化为2名师归纳总结 2 my12m 2z 2 12 mm2 41,由于 12m2 40, 即12m2,解第 10 页,共 10 页2 mmm232得,4但m0时,得交线方程为：m1 , 4所以当m412 m2m2y12m2z22 mm在平面xmy20上的椭圆曲线 . 2302xmy2- - - - - - -