2022年第四节三角函数的最值与综合应用.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第四节 三角函数的最值与综合应用高考试题考点一三角函数的最值（2x- 4）在区间 0, 上的最小值为 1.20XX 年天津卷 , 文 6 函数 fx=sin2A-1 B-2C2D022,3 4,解析 : 由 x0, 2 得 2x- 4- 4所以 sin2x- -2,1.4.2即 fx在0, 上最小值为 -222应选 B. 答案 :B2.20XX 年山东卷 , 文 8 函数 y=2sin x - 6 30 x9 的最大值与最小值之和为 A2-3B0 C-1 D-1-3解析 : 当 0x 9 时,- 3 x - 6 37 6,所以 -3 2sin x - 6 3 2,所以最大值与最小值之和为2-3 . 应选 A.答案 :A3.20XX 年天津卷 , 文 7 已知函数 fx=2sin x+,x R,其中 >0,- < . 如 fx 的最小正周期为 6 , 且当 x= 2时 ,fx取得最大值 , 就 Afx在区间 -2 ,0 上是增函数Bfx在区间 -3 ,- 上是增函数Cfx在区间 3 ,5 上是减函数Dfx在区间 4 ,6 上是减函数解析 : T=6 ,名师归纳总结 =2 T=2 6=1 3,k Z,第 1 页,共 16 页1 3× 2+=2k + 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =2k +3- < , k Z.学习必备欢迎下载令 k=0 得= 3.,k Z,fx=2sinx + 3 3.x + 3 3<2k + 2<增区间为 2k - 22k -5 6<x <2k + 3 6,k Z,6k -5 6<x<6k + 2,k Z,当 k=0 时 ,-5 2<x< 2.fx 在 -2 ,0 上是增函数 . 应选 A.答案 :A4.20XX 年江西卷 , 文 6 函数 y=sin2x+sin x-1的值域为 A-1,1 B-5,-14C-5,1 D-1,544解析 : 令 sin x=t,就 t -1,1,可得 y=t2+t-1=t+12- 5 4,2故 y -5 4,1.应选 C.答案 :C名师归纳总结 5.20XX 年新课标全国卷, 文 16 设当 x= 时, 函数 fx=sin x-2cos x取得最大值 , 就 cos 第 2 页,共 16 页= . 解析 :fx=sin x-2cos x=5 5sin x-2 5cos x55=5 sinx-,其中 sin =2 5 5,cos =5,5当 x-=2k + 2k Z,即 x=2k + 2+时函数 fx 取到最大值 ,即 =2k + 2+,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 cos =-sin =-2 5 5.学习必备欢迎下载答案 :-2 5 5名师归纳总结 6.20XX 年大纲全国卷 , 文 15 当函数 y=sin x-3 cos x0 x<2 取得最大值时 ,x= . ·b.第 3 页,共 16 页解析 :y=sin x-3 cos x=2sinx-,1,b=3 sin x,cos 2x,x R,设函数 fx=a3x0,2 ,x- 3- 3,5 3,当 x- 3= 2,即 x=5 时, 函数值最大为 6答案 :5 62.7.20XX 年陕西卷 , 文 16 已知向量 a=cos x,-21 求 fx 的最小正周期 .2 求 fx 在0, 2解:fx=cos x,- 上的最大值和最小值.1 ·3 sin x,cos 2x2=3 cos xsin x-1cos 2x2=3sin 2x-1cos 2x22=cos 6sin 2x-sincos 2x6=sin2x- 6.T=2=2 2= ,1fx的最小正周期为即函数 fx的最小正周期为 .2 0 x 2,- 62x- 65 6.由正弦函数的性质, 知当 2x- 6= 2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即 x= 3时,fx取得最大值1.学习必备欢迎下载当 2x- 6=- 6,1, 最小值是 -1 2.取得最小值 -1 2即 x=0 时 ,fx因此 ,fx在0, 2 上的最大值是名师归纳总结 8.20XX 年湖北卷 , 文 18 设函数 fx=sin2 x+23 sin x·cos x-cos2 x+ x R的图象关于直线第 4 页,共 16 页x= 对称 , 其中 , 为常数 , 且 1 2,1.1 求函数 fx 的最小正周期 ;2 如 y=fx 的图象经过点 4,0, 求函数 fx 的值域 .解:1fx=sin2 x-cos2 sin x+23 sin x·cos x+=-cos 2 x+3 sin 2 x+=2sin2 x- 6+ .由直线 x= 是 y=fx图象的一条对称轴,可得 sin2 - = ± 1,6所以 2 - =k + k Z,6 2即 =k + 1 2 3k Z.又 1 2,1,kZ,所以 k=1, 故 =5 6.所以 fx 的最小正周期是 6 .52 由 y=fx 的图象过点 ,0,4得 f 4=0,即 =-2sin5× 2- 66=-2sin 4=-2 ,即 =-2 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故 fx=2sin5x- 6-2 .学习必备欢迎下载3所以函数 fx 的值域为 -2-2,2-2. 其中 A>0, >0,- < 在 x= 6处取得最大值9.20XX 年重庆卷 , 文 19 设函数 fx=Asin x+2, 其图象与 x 轴的相邻两个交点的距离为.21 求 fx 的解析式 ;2 求函数 gx=6cos 4xsin2x1的值域 .fx6解:1 由题设条件知fx的周期 T= ,即2= , 解得 =2.名师归纳总结 由于 fx 在 x= 6处取得最大值2, 所以 A=2,第 5 页,共 16 页从而 sin2 × 6+=1,所以 2× 6+= 2+2k ,k Z.又由 - < , 得= 6.故 fx的解析式为 fx=2sin2x+62gx=6cos4x2 sinx12sin 2x2=6cos4x2 cosx22cos 2x=2cos2x13cos2x22 2cos2x1=3 2cos2x+1cos2x 1 2.由于 cos2x0,1,且 cos2x 1 2,故 gx 的值域为 1,7 4 7 4,5 2.考点二三角函数的综合应用1.20XX 年陕西卷 , 文 6 方程 |x|=cos x在- ,+ 内 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 没有根B 有且仅有一个根学习必备欢迎下载C 有且仅有两个根D 有无穷多个根. 令 y1=|x|,y2=cos x, 就它们的图象如解析 :|x|=cos x的根的个数即y=|x| 与 y=cos x 函数图象的交点个数图所示 . 应选 C.答案 :C2.20XX 年安徽卷 , 文 15 设 fx=asin 2x+bcos 2x, 其中 a,b R,ab 0. 如 fxf对一切 xR恒6成立 , 就f11=0;b2,12 f7 <f; 510fx 既不是奇函数也不是偶函数;fx 的单调递增区间是k + 6,k +2 3k Z;存在经过点 a,b 的直线与函数fx 的图象不相交 .以上结论正确选项 写出全部正确结论的编号. 解析 : 由于 fx f对一切 xR 恒成立 ,6所以 fx 的最大值为f=3a+1 2b =2 a62两边平方并整理 , 得 3 b-1 a 2=0,2 2所以 a= 3 b,故 fx=2bsin2x+ ,6所以 f11 =0,12f7 =f ,10 3所以正确 , 错误 .由于 b 0, 所以成立 .名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 b>0 时 , 递增区间为 k - 3,k + 6学习必备欢迎下载k Z.又|b|<2|b|,所以不成立 .故正确结论的编号为 .答案 : 3.20XX 年福建卷 , 文 21 设函数 f = 3 sin +cos , 其中 , 角 的顶点与坐标原点重合 , 始边与 x 轴非负半轴重合 , 终边经过点 Px,y, 且 0 .1 如点 P 的坐标为 1 , 3 , 求 f 的值 ;2 2x y 1,2 如点 Px,y 为平面区域 : x 1, 上的一个动点 , 试确定角 的取值范畴 , 并求函数 f 的最小y 1值和最大值 .解:1 由点 P 的坐标和三角函数的定义可得sin3,3 ×3+1 2=2.2cos1,2于是 f =3 sin +cos =22 作出平面区域 即三角形区域于是 0 2.ABC如下列图 , 其中 A1,0,B1,1,C0,1.名师归纳总结 又 f =3 sin +cos =2sin + 6,1cos 4x.第 7 页,共 16 页且 6 + 62 3, 故当 + 6= 2,即 = 3时 ,f 取得最大值 , 且最大值等于2;当 + 6= 6,即 =0 时,f 取得最小值 , 且最小值等于1.4.20XX 年北京卷 , 文 15 已知函数 fx=2cos2x-1sin 2x+21 求 fx 的最小正周期及最大值;- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 如 2, , 且 f =2学习必备欢迎下载, 求 的值 .2名师归纳总结 解:1 由于 fx=2cos2x-1sin 2x+1cos 4x2 x-sin xcos x >0, 且 y=fx图象的一个对第 8 页,共 16 页2=cos 2xsin 2x+ 12=1 sin 4x+cos 4x2cos 4x=2sin4x+,42所以 fx 的最小正周期为, 最大值为2.222 由于 f =2, 所以 sin4 + 4=1.2由于 2, ,所以 4 + 49 4,17 4.所以 4 + 4=5 2. 故 =9 16.5.20XX 年山东卷 , 文 18 设函数 fx=3-3 sin2称中心到最近的对称轴的距离为.41 求 的值 ;2 求 fx 在区间 ,3 上的最大值和最小值.2解:1fx=3-3 sin2 x-sin xcos x2=3-3 ·1cos2x - 1 2sin 2 x22=3cos 2 x-1 2sin 2 x2=-sin2 x- 3.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备,欢迎下载由于图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4又 >0,名师归纳总结 所以2 2=4× 4,第 9 页,共 16 页因此 =1.2 由1 知 fx=-sin2x-.3当 x3 2时 ,5 32x- 38 3.所以 -3 sin2x- 1.32因此 -1 fx 3.2故 fx在区间 ,3 2 上的最大值和最小值分别为3,-1.26.20XX 年四川卷 , 文 17 在 ABC中, 角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 cosA-Bcos B-sinA-BsinA+C =-3 5.1 求 sin A的值 ;2 如 a=42 ,b=5, 求向量 BA 在 BC 方向上的投影 .解:1 由 cosA-Bcos B-sinA-BsinA+C=-3,5得 cosA-Bcos B-sinA-Bsin B=-3.5就 cosA-B+B=-3,5即 cos A=-3 5.又 0<A< , 就 sin A=4 52 由正弦定理 , 有 asin.=bB,Asin所以 sin B=bsinA=2.a2由题知 a>b, 就 A>B,故 B= 4.依据余弦定理 , 有 42 2=52+c 2-2 × 5c×3, 解得 c=1 或 c=-7 负值舍去 .5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为学习必备2欢迎下载| BA |cos B=.2名师归纳总结 7.20XX 年湖南卷 , 文 16 已知函数 fx=cos x·cosx- 3.第 10 页,共 16 页1 求 f2的值 ;cos 332 求使 fx<1成立的 x 的取值集合 .4解:1f2=cos2 3·cos 3=-cos 3·3=-12=- 1 4.22fx=cos xcosx-3=cos x ·1 2cos x+3sin x2=1 2cos2x+3sin xcos x2=1 41+cos 2x+3sin 2x4=1 2cos2x- 3+1 4.fx<1 4等价于1 2cos2x- 3+1 4<1 4,即 cos2x- 3<0.于是 2k + 2解得 k +5 12故使 fx<1 4<2x- <2k +3 ,k Z.3 2<x<k +11 ,k Z.12成立的 x 的取值集合为x k +5 12<x<k +11 12,k Z.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载模拟试题考点一三角函数的最值求法 1.2022 大庆一模 函数 y=sin2x+2cos x x4 3 的最大值与最小值分别为3A 最大值为7 4, 最小值为 -1 42+2,B 最大值为7 , 最小值为 -24C 最大值为 2, 最小值为 -14D 最大值为 2, 最小值为 -2解析 : 化简函数 y=sin2x+2cos x 3x4 3 得 y=-cos2x+2cos x+1=-cos x-1当 x4 3 3cos x -1,1 2时,故函数的最小值在cos x=-1时取得为 -2,最大值在 cos x=1 2时取得为7 4.应选 B.答案 :Ba a b ,2.2022 浙江龙湾中学高三开学测试 定义运算 a b 为 a b= 如 1 2=1, 就函数 fx=sin xb a b . cos x 的值域为 . sin x sin x cos x ,解析 :fx=sin x cos x=cos x sin x cos x .由 y=sin x 与 y=cos x 的图象知 fx 在 9, 一个周期内的图象如图实线部分所示 .4 4由图象可知函数值域为 -1, 2 .2名师归纳总结 答案 :-1,2 六校 第一次联考 函数 fx=sin 2x+23 cos2x-3 , 函数 gx= 第 11 页,共 16 页23.2022 浙江一级重点中学- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - mcos（2x- 6） -2m+3m>0, 如存在 x1,x学习必备欢迎下载1=gx2 成立 , 就实数 m的取值范畴20, 4, 使得 fx是. 解析 :fx=sin 2x+23 cos2x-3 cos x 在区间 0,2 上的零点个数是 =sin 2x+3 cos 2x+1-3=sin 2x+3 cos 2x=2sin2x+ 30x1 4, 3 2x1+ 35 6.1fx1 2.又- 62x2- 6 3,1 2 cos2x 2- 6 1,-3 m +3gx 2 -m+3.2又存在 x 1,x 20, , 使得 fx41-3 m+32 或 1-m+3 2,21=gx2,2 3 m4 3或 1m2,2 3 m 2.答案 :2 3,2考点二三角函数与其他学问的综合1.2022 安徽蚌埠高三第一次质检函数 fx=sinA3 B4 C5 D6 解析 :fx=sin cos x=0, 就 cos x=k k Z,cos x=kkZ,cos x= ± 1 或 cos x=0, 又 x 0,2 ,就 x=0 或 x= 或 x=2 或 x= 2或 x=3 2,即有 5 个零点 . 应选 C.答案 :C名师归纳总结 2.2022 广东深圳高三第一次调研函数 y=ln|x-1|的图象与函数y=-2cos x-2 x4 的图象全部交点第 12 页,共 16 页的横坐标之和等于 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载A8 B6 C4 D2 解析 : 作出 y=ln|x-1| 与 y=-2cos x-2 x 4 的图象知 ,两函数图象有 3 对交点 , 且每对交点关于 x=1 对称 ,横坐标之和为 2× 3=6. 应选 B. 答案 :B3.2022 重庆第一中学高三月考 设平面对量a=cos x,sin x,b=cos x+23 ,sin x,x R.1 如 x0, 2, 证明 :a 和 b 不平行 ;2 如 c=0,1,求函数 fx=a ·b-2c 的最大值 , 并求出相应的x 值.1 证明 : 假设 a 与 b 平行 ,就 cos xsin x-sin xcos x+23 =0,冲突 .即 sin x=0,与 x 0, 2 时,sin x>0,故 a 与 b 不平行 .2 解:fx=a·b-2a ·c=cos2x+23 cos x+sin2x-2sin x=1-2sin x+23 cos x=1-4sin （x- 3）.所以 fxmax=5,x=2k - 6k Z.综合检测名师归纳总结 1.2022 浙江金华十校期末M、N是曲线 y= sin x与曲线 y= cos x 的两个不同的交点, 就 |MN| 的最小值第 13 页,共 16 页为 3 D2 A B2 C解析 : 两函数的图象如下列图, 就图中 |MN| 最小 ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设 Mx1,y1,Nx2,y2,学习必备欢迎下载就 x 1= ,x 2=5 ,4 4|x1-x 2|= ,|y 1-y 2|=| sin x 1- cos x 2|= 2 + 22 2= 2 ,|MN|= 22 2= 3 . 应选 C.答案 :C2.2022 安徽望江四中高三月考 已知定义域为R 的函数 fx 既是奇函数 , 又是周期为3 的周期函数 , 当 x（ 0,3 2）时 ,fx=sin x,f3=0, 就函数 fx 在区间 0,6上的零点个数是 2A3 B5 C7 D9解析 : fx 是定义域为 R的奇函数 ,f0=0.又周期为 3,f3=f6=f0=0,又 f1=sin =0,f4=f1=0,又 f1=f-1=f2=f5=0,名师归纳总结 f3=f9=0,x=5 3, 就函数 gx=asin x+cos x第 14 页,共 16 页22零点为 0,1,3,2,3,4,9,5,6,共 9 个 . 应选 D.22答案 :D3.2022 吉林质检 已知函数 fx=sin x+acos x 的图象的一条对称轴是的最大值是 A2 2B2 3 3 C4D2 6 333- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 :fx=sin x+acos x=a 21sinx+学习必备欢迎下载1a2）, （ cos =1x=5 3为函数 fx图象的一条对称轴,1aa2） ,5 +3又 cos =k + 2>0,k Z,取=- 6,就 cos=11a2,6a21=2 3 3.gx=a21sinx+ （ cos =gxmax=2 a1=2 3 3. 应选 B.答案 :B名师归纳总结 4.2022 江南十校联考 函数 y=2sin2xx3sinx的值域为. 第 15 页,共 16 页2sin32解析 : 令 t=2sin x+31,5,就 sin x=t23,t323 t9所以 y=2t22=t29t182 t2=91 t2- 9 2·1 t+1 2,又1 t1 5,1,所以 y-1 16,5.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3 ,1, 其中 0,.答案 : -1,5 ,cos ,b=165.2022 重庆一中高三第四次月考已知向量 a=sin 21 如 a b, 求 sin 和 cos 的值 ;2 如 f =a+b 2, 求 f 的值域 . 解:1 a b,sin -3cos =0,2求得 tan =3 .又 0,2 = 3,sin =3,cos =1 2.22f =sin +3 2+cos +1=23 sin +2cos +5=4sin + 6+5.又 0,2 + 6 6,2 3,1 2<sin + 6 1,7<f 9,即函数 f 的值域为 7,9.名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页