2022年第十一讲--两角和与差的正弦、余弦和正切公式-经典难题复习巩固.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - DSE 金牌化学专题系列精典专题系列第 11 讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、 导入：难解的结古罗马时代,一位预言家在一座城市内设下了一个奇妙难解的结,并且预言,将来解开这个结的 人必定是亚细亚的统治者；长期以来,虽然很多人英勇尝试,但是依旧无人能解开这个结；当时身为马其顿将军的亚历山大,也听说了关于这个结的预言,于是趁着驻兵这个城市之时,试着去打开 这个结；亚历山大连续尝试了好几个月,用完了各种方法都无法打开这个结,真是又急又气；有一天,他试着解开这个结又失败后,恨恨地说：“ 我再也不要看到这个结了；”当他强迫自己转移留意力,不再去想这个结时,突然脑筋一转,他抽出了身上的佩剑,一剑将结砍成了两 半儿 结打开了；大道理：英勇地跳出思想的绳索,打高兴结；过后会发觉,事情实际上没有看到的和想象中的那么困难；积极一点,什么都会给你让路；二、学问点回忆：1两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin ± . ；cos ± tan ± 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2 ； cos2 tan2 . 三、专题训练：考点一 三角函数式的化简、求值名师归纳总结 1化简：sin50 °13tan10 ° cos20 °；cos80 ° 1cos20 °第 1 页,共 11 页2如 fx1sinx cosx sin2 cosx0<x< ,求 f 322cosx自主解答 1sin50 °13tan10 ° sin50 °·cos10 °3sin10 °cos10 °sin50 °·2sin40 °cos10 °1,cos80 °1cos20 °sin10 ° 2sin 210°2sin 210°. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sin50 °13tan10 °cos20 °cos80 °1cos20 °1cos20 °2sin 210°2.2sin x2cos x22cos 2x2 sin 2cosx2fx 2x4cos 2cosx 2 sin 2x2cos 2x2cosx 2·cosxxx|cos 2| |cos 2|由于 0<x<,所以 0<x 2< 2,所以 cosx 2>0,所以 fx cosx f 3 cos 3 1 2.变式训练：化简：2sin 4x6cos 4x解： 原式 2 21 2sin 4 x2 cos 3 4x 2 2cos 3sin 4xsin 3cos 4x 2 2sin 4 x 3 2 2sin7 12x考点二 三角函数的给值求值已知角 A、B、C 为 ABC 的三个内角, OM sinBcosB,cosC,ON sinC,sinBcosB,OM·ON 1 5. 1求 tan2A 的值；名师归纳总结 - - - - - - -2求2A 2cos 2 3sinA 1 的值2sin A4自主解答 1 OM ·ON sinBcosBsinCcosCsinB cosBsinBC cosB C1 5,sinAcosA1 5,两边平方并整理得：2sinAcosA24 25,24 25<0,A 2, ,sinAcosA12sinAcosA7 5联立得： sinA3 5,cosA 4 5,第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - tanA3 4,tan2A 2tanA3 224 7 .13×3 413.1tan2A19 162tanA3 4,2cos 2A 23sinA12sin A4cosA3sinA1 3tanAcosAsinA1tanA1 3 4变式训练：已知向量asin , 2与 b1,cos 相互垂直,其中0, 21求 sin 和 cos的值；2如 sin 10,0< < 2,求 cos 的值解： 1ab,sin 2cos0, 2 5 5又0,2,sin 5,cos5 . 102sin 10,cos 3 10或 3 10 . 10当 cos 3 10时,10coscos cos ·cos sin ·sin 5× 3 10 102 5×102 . 2 5 10当 cos 3 10时,10coscos cos ·cos sin ·sin 5× 3 10 102 5×5101010 <0. 20, 2,不合题意,舍去cos 的值等于 2 . 2考点三 三角函数的给值求角已知 0< < 2< <,tan 2 1 2,cos 10 . 21求 sin 的值； 2求 的值名师归纳总结 自主解答 1tan2 1 2,第 3 页,共 11 页sinsin2 · 22sin 2cos 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2sin 2cos2 2sin 2cos 22tan 21tan2 22×124 5.211220<< 2,sin4 5,cos3 5. 又 0<< 2<<,0< <. 由 cos10,得 0<< 2. sin 107 2 10,sinsin sincoscos sin7 2 10× 3 510× 413 14” ,如何求解？25 5022 2 . 由 2<< 得 3 4. 或求 cos2,得 3 4 摸索： 如将条件改为“0< < < 2,cos1 7,cos 解： 1 0<< 2,cos1 7sin 43 7 .2 由0<<< 2,得 0<< 2.又cos 13 14, sin 1cos 2 11323 3 14 . 14由 ,得 coscos cos cos sin sin 1 7× 13 1447× 3 141 2. 3.变式训练：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 已知 0< < 2, 2< <,且 cos 1 7,sin 5 3 14,求 的值解： 由于 0< < 2,2< <,所以 0< <,又 cos1 7,sin 5 3 14,所以 sin 4 3 7,cos 11 14,所以 cos 1 2,所以 3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具,是每年高考的必考内容,常在挑选题中以条件求值的形式考查,而该公式与三角形问题相结合更能表达其解题功能,且能考查同学敏捷运用公式及三角恒等变换的才能,是高考的一种重要考向考题印证 2022 ·重庆高考 13 分设 ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c,且 3b23c 23a2 4 2bc. 1求 sinA 的值； 2sin A4 sin BC42求 1 cos2A 的值规范解答 1由余弦定理得cosAb 2 c2bc 2 a 22 2 3, 3 分 又 0<A< ,故 sinA1 cos 2A1 3. 6 分 2原式2sin A1cos2A 4 sin A4 2sin A2sin 4 sin A2A 4 9 分 2 2 2 22 2 sinA2 cosA 2 sinA2 cosA sin 2Acos 2A 72sin 2A2sin 2A2. 13 分 四、技法巧点：1公式常见变形及应用技巧1对公式的把握,既要能正用,仍要能逆用及变形应用记忆公式要留意角、三角函数名称排列以及连结符号“ ” “ ” 的变化特点,要把握一些常见的变形使用,如 tan tan tan 变形为 tantan1 tan tan tan 1tan tan ,cos2 2cos 2112sin 2 变形为 cos 21cos22, sin 21cos22 等2 要留意从整体上把握公式的结构特点,依据公式的整体特点采纳代数变形 如平方相加、平方相减 ,有利于简化复杂的三角运算2常见角的变换明确变形目标,重视角的变换,留意角的范畴确定变形的目标和方向很重要,依据所求目标及条件常可名师归纳总结 对角进行一些变换,如 2 ,2 , , 3 3,第 5 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2· 2等等,再依据条件确定其范畴,运算有关函数值五、巩固练习：一、挑选题 共 6 个小题,每道题 5 分,满分 30 分 12022 ·全国卷 已知 sin 23,就 cos2 5 1A3 B91 5C. 9 D. 3解析： cos2 cos2 12sin 2 2× 2 3 21 1 9. 答案： B 2设 asin14 °cos14 °,bsin16 °cos16 °,c2,就 a、b、 c 的大小关系是 6 Aa<b<c B a<c<bCb<c<a Db<a<c解析： a 212sin14 °cos14°1sin28 °1,3 2, b 212sin16 °cos16°1sin32 °3 2,2, c 23 2,且 a>0,b>0,c>0,a<c<b. 答案： B 3已知 tan5,tan 44,那么 tan 4等于 tan 4 tan 4A.13B.131822C.1 6D. 3 22解析： 由于 4 4,所以 4 4所以tan tan 43 22. 1 tan tan 4答案： D 名师归纳总结 42022 ·潮州模拟 sin224 25,0<< 2,就2cos 4的值为 第 6 页,共 11 页A.1B155C.7 5D±1 5解析： 2cos 4sin cos, 2cos 4 2sin cos 2 1sin2124 2549 25. 0<< 2. cos 4>0, 2cos 4 7 5. 答案： C 5.2cos10 °sin20 °sin70 °的值是 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A.1B.322C.3 D.2 解析： 原式2cos30°20° sin20 °sin70 °2 cos30 °·cos20 °sin30 °·sin20 °sin20 °sin70 °3cos20 °cos20 ° 3. 答案： C 6已知 A、B 均为钝角,且sinA5 5,sinB10 10,就 AB 等于 A.75 B. 44C.5 4或7D.94解析： 由已知可得cosA2 5 5,cosB 3 10 10,cosABcosAcosBsinAsinB2 2,又 2 A, 2B,AB2,AB7 4 . 答案： A 二、填空题 共 3 小题,每道题5 分,满分 15 分 7.22cos821 sin8的化简结果是 _解析： 原式4cos 242sin4cos422|cos4|2|sin4cos4| 5 4 <4<3 2cos4<0,且 sin4<cos4 原式2cos42sin4cos4 2sin4. 82022 ·东城模拟 如 sin5, 0, 2,就 sin2cos 2 2的值等于 _2,解析： sin4 5,sin4 5,又0,cos3 5 3sin2cos 2 22sincos1cos 22×4 5× 3 512 4 25. 9如 fsinx3cos2x,就 fcosx_. 名师归纳总结 解析： fsinx3cos2x312sin 2x2sin 2x 2,P、Q,已知点 P 的所以 fx2x22,因此 fcosx2cos 2x22cos 2x133cos2x. 三、解答题 共 3 小题,满分35 分 10.如图,以 Ox 为始边作角 与 0<<< ,它们的终边分别与单位圆相交于点坐标为 3 5,4 5第 7 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1求sin2cos21的值；1tan2如 OP · OQ 0,求 sin解： 1由三角函数定义得cos3 5,sin4 5,就原式2sincos2cos 21sin cos2cos sincossincoscos2cos 22× 3 5 218 25. 2OP · OQ 0, 2, 2,sinsin 2 cos35,coscos2sin4 5. sinsincos cossin4 5× 4 5 3 5×5 7 25. A,B,C,两向量 p22sinA,cosAsinA,qsinAcosA,111已知锐角ABC 中,三个内角为 sinA,如 p 与 q 是共线向量1求角 A 的大小；2求函数 y2sin 2Bcos C3B2取最大值时角B 的大小解： 1p2 2sinA, cosAsinA, qsinAcosA,1 sinA,pq,2 2sinA1 sinA cosA sinAsinAcosA0,化简得： sinsinA3 2,A60°. C3B 2y2sin 2Bcos 2 180° B A3B2sin 2Bcos 22A3 4,ABC 为锐角三角形,2sin 2Bcos2B60°1 cos2B cos2B60° 1sin2B30°,当 B 60°时函数取得最大值 2. 12已知向量 a1 2,2 ,bcosx,sinx,x 0,3 21如 a b,求 sinx 和 cos2x 的值；名师归纳总结 2如 a· b2cos 12k136xkZ ,求 tanx5 12的值第 8 页,共 11 页解： 1ab,1 2sinx3 2 cosx. 于是 sinx3cosx,又sin 2x cos 2x1,cos 2x1 4,又x0, 2,sinx1cos 2x11 43 2 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cos2x2cos 2x11 21 1 2. 2a·b1 2cosx2 sinxcos 6sinxsin 6cosx sinx 6,12k13 而 2cosx6 2cos2kx62 2cosx 6kZ ,于是 sinx 62cosx 6,即 tanx 62. 5 tanx12tan x64 tan x6tan 4 1tan x6·tan 42 1 3. 12× 1六、反思总结：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当堂过手训练（快练五分钟,稳准建奇功！）名师归纳总结 12022 ·全国新课标 如 cos4 5, 是第三象限的角,就sin 4 sin 4sin A7 10 2B.7 10 2C2D.21010解析： 由题知, cos4 5, 是第三象限的角,所以sin 3 5,由两角和的正弦公式可得 cos 4 cos sin 43 5×2 4 5×2 7 10 . 23sin70 °22022 ·厦门模拟 2cos 210° A.1B.222第 10 页,共 11 页C2 D.32解析：3sin70 °2cos 210°3cos20 °2cos 210°3 2cos 210°12.2cos 210°3已知 cos 6sin 4 3 5,就 sin 7 6 的值是 A2532 B.53C4 5D.4 5解析： cos 6sin 43 5,3 2sin 2 cos453sin 64 5,sin 7 6 sin 6 4 5.4设 sin 3 5 2< < ,tan 1 2,就 tan 2 的值为 _解析： 由 sin 3 5 2< < ,得 cos4 5,tan 3 4. 又 tan 1 2,tan 1 2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故 tan2 1tan 2tan 24 3,于是 tan 2 133 4 44× 47 24.2 2, a·c31,45当 0<x< 时,函数2fx1cos2x8sin 2x 的最小值为 _sin2x6已知 、 为锐角,向量a cos ,sin ,b cos ,sin ,c 1 2, 1 2如 a·b求角 2 的值名师归纳总结 解： a·b cos,sin · cos,sin 第 11 页,共 11 页cos cos sin sin cos 2 2,a·c cos ,sin · 2, 1 2 1 2cos1 2sin 31 4 . 又0< < 2,0< < 2,2< < 2. 由得 ± 4,由得 6.由 、 为锐角,得5 12. 从而 22 3 .- - - - - - -