2022年第章空间向量与立体几何§....空间向量运算的坐标表示.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - §31.5 空间向量运算的坐标表示学问点一 空间向量的坐标运算设 a1,5,1>,b2,3,5>1>如kab> a3b>,求 k；2>如kab>a3b>,求 k. 解 1>ka bk2,5k3, k5>,a3b 1 3× 2,53× 3, 13× 5>7, 4, 16>由于 kab> a3b>,所 以错误. 错误 . 错误 . ,解得 k错误 . .DT3vagJXx7 2>由于 kab>a3b>,所以 k2>× 75k3>× 4>k5>× 16>0,解得 k错误 . .DT3vagJXx7 【反思感悟】以下两个充要条件在解题中常常使用,要娴熟把握如 ax1 , y1 , z1> , b x2 , y2, z2> , 就 a b. x1 x2 且 y1 y2, 且 z1z2R>；ab. x1x2y1y2z1z20.DT3vagJXx7 已知 A3,3,1>,B1,0,5>,求：1>线段 AB 的中点坐标和长度；2>到 A,B 两点距离相等的点 的条件Px,y,z>的坐标 x,y,z 满意解 <1）设 M 是线段 AB 的中点,就 OM 错误 . 错误. 错误 .错误 . 错误 . >2,错误 . ,3>,所以线段 错误. ,3>DT3vagJXx7 |AB|错误. 错误 . . AB 的中点坐标是 2,2>点 Px,y,z>到 A,B 两点距离相等,就 错误 . 错误 . ,DT3vagJXx7 化简,得 4x6y8z70.即到 A,B 两点距离相等的点 Px,y,z>的坐标 x,y,z满意的条件是 4x6y8z70.DT3vagJXx7 学问点二证明线面的平行、垂直中点,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别为 BB1,CD 的求证： D1F平面 ADE. 1 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明 , 不妨设已知正方体的棱长为2,建立如下列图的空间直角坐标系 D-xyz,就 D<0,0,0）, A<2,0,0）, E<2,2,1）,F<0,1,0）,D 1<0,0,2）,所以 AD 2,0,0>,错误. 0,1,2>,错误. ·错误 . 0000,所以 D1FAD.又错误. 0,2,1>,所以 错误. 、错误 . 0220,所以 D1FAE.又 ADAEA,所以 D1F平面 ADE.DT3vagJXx7 【反思感悟】本例中坐标系的选取具有一般性,这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负数,且易确定,在今后会常用到 DT3vagJXx7 已知 A2,3,1>,B2,5,3>,C8,1,8>,D4,9,6>,求证：四边形 ABCD 为平行四边形DT3vagJXx7 证明 设 O 为坐标原点,依题意 OA=<-2,3,1）,OB =<2,-5,3）,AB = OB OA = 2, 5,3> 2,3,1> = 4, 8 , 2>.同理可得 DC = 4, 8,2>, AD = 6,6,5>, BC = 6,6,5>.由 AB = AB DC ,AD = BC ,可知 AB AB ,AD BC,所以四边形 ABCD 是平行四边形 . 学问点三 向量坐标的应用棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,P 为 DD1的中点,O1、O2、O3分别是平面 A1B1C1D1、平面 BB1C1C、平面 ABCD 的中心 DT3vagJXx7 1>求证： B1O3PA；2>求异面直线 PO3与 O1O2 所成角的余弦值；3>求 PO2 的长1>证明以 D 为坐标原点, DA、DC、DD1 所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立如下列图的空间直角坐标系D-xyz.DT3vagJXx7 就B11,1,1> , O3 错误.,错误 . ,0> , P0,0, 错误 . > ,A1,0,0>,DT3vagJXx7 B O 错误 . , 错误 . , 1> , 错误 . 错误 . , 2 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 错误. ,1>,错误 . 1,0,错误 . >,DT3vagJXx7 B O ·错误 . 错误 . 0错误 . 0,DT3vagJXx7 即 B O 错误 .B1O3PA. 2> 解O1 错误 . , 错误 . , 1> , O2 错误 . , 1 , 错误 . > ,DT3vagJXx7 就 O O =<0,1 2,12）.又PO 3 =< 1,1,1）,2 2 2cosPO ,O O = 错误 . DT3vagJXx7 错误.DT3vagJXx7 错误. ,异面直线 PO3与 O1O2所成角的余弦值为 错误 . . 3>P0,0,错误 . >,O2错误 . ,1,错误 . >,DT3vagJXx7 PO 错误. ,1,0>| PO |错误 . 错误. .DT3vagJXx7 【反思感悟】在特别的几何体中建立空间直角坐标系,要充分利用几何体本身的特点,以使各点的坐标易求利用向量解决几何问题,可使复杂的线面关系的论证、角及距离的运算变得简洁DT3vagJXx7 直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面 ABC 中,CACB1,BCA90°,AA12,N 是 AA1 的中点DT3vagJXx7 1>求 BN 的长；2>求 BA1,B1C 所成角的余弦值解 以 C 为原点建立空间直角坐标系,就1>B0,1,0>,N1,0,1>,BN错误 .错误. . 2>A11,0,2>,C0,0,0>,B10,1,2>BA 1, 1,2>,错误 . 1, 1,2>,错误 . 0, 1,2>,DT3vagJXx7 BA · 错误 . 1 4 3, | DT3vagJXx7 BA | 错误 . , |错误. | 错误 . ,cosBA ,错误 . BA 1|·B C|BA 1|B C错误. 错误 . .BA1,B1C 所成角的余弦值为 错误 . .DT3vagJXx7 3 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一、挑选题1已知点 Ax1,y1,z1>,就点 A 关于 xOz平面的对称点 A 的坐标为 > Ax1,y1,z1> Bx1,y1,z1> Cx1,y1,z1> Dx1,y1,z1> 答案 C 解读 点 A 与 A 关于 xOz 平面对称,即 AA 平面 xOz.且A、A 到面 xOz 的距离相等,所以 值互为相反数DT3vagJXx7 A 与 A 的 x,z 的值相同, y 的2已知 a2,3, 4>,b4, 3, 2>,b错误 . x2a,就 x 等于 >DT3vagJXx7 A0,3,6> B0,6,20> C0,6,6> D6,6,6> 答案 B 解读b错误 . x2a, x4a2b0,6,20>3已知 asin,cos,tan>,bcos,sin,错误. >,有ab,就 等于 >DT3vagJXx7 A 错误 . B.错误 .C2k错误 . kZ> Dk错误 . kZ>DT3vagJXx7 答案 D 解读 a·b2sincos1sin210,22k错误 . ,k错误 . . 4如向量 错误. ,就 为a1 , 2>,b 2, 1,2>, cos a, b>DT3vagJXx7 A2 B2 C2 或错误 . D2 或错误 .答案 C 解读 由 cosa,b 错误. 错误 . 错误 . , DT3vagJXx7 化得 55210840,由此可解得 2 或 错误. . 5已知 acos,1,sin>,bsin,1,cos>,就向量 ab与 ab 的夹角是 >DT3vagJXx7 A90° B60° C30° D0°答案 A 解读|a|b|错误 . ,ab>· ab>a 2b 20. 二、填空题6 模 等 于 2 错误. 且 方向 与 向 量 a 1,2,3>相 同的向量 _DT3vagJXx7 为4 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案 错误 . ,2错误 . ,3错误 . > 解读 设 ba >0>就 24 29 228, 22,故 错误 . . 7已知三个力 f1 1,2,3>, f2 1,3, 1>,f3 3,4,5>,如 f1,f2,f 3 共同作用于一物体上,使物体从点 M11,2,1>移动到点 M 23,1,2>,就合力所做的功是 _DT3vagJXx7 答案 16 解读 合力 ff1f2f33,1,7>,位移 s2,3,1>,功 wf ·s3,1,7> ·2,3,1>63716. 8已知点 A2, 5, 1>,B1, 4, 2>,C3,3,>在同始终线上,就_,_.DT3vagJXx7 答案73 解读 AB 3,1,1>,错误 . 1,2,1>,就 AB 错误 . ,所以 错误 . 错误 . 错误. ,DT3vagJXx7 故 16,12.即 7,3. 三、解答题9E,F 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1 中线段 A1D,AC 上的 点,且 DEAF错误. AC.DT3vagJXx7 求证： 1>EF BD1；2>EFA1D. 证明 1> 建立如下列图的空间直角坐标系,设 AB=1 ,就A1,0,0>,B1,1,0>,C0,1,0>,D0,0,0>,A11,0,1>,D10,0,1>,E1 3,0,1,3F2 1 ,3 3,0. 错误 . 错误 . ,DT3vagJXx7 BD 1,1,1>3错误 . . BD 错误 . ,又 F.BD1,EF BD1. <2）AD 1,0,1>,EF ·错误. 错误 . ·1,0,1>DT3vagJXx7 错误 . 错误 . 0, EF 错误 . ,即 EFA1D. 10.,如下列图,正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中, AA 1=2AB=4 ,点 E 在 CC1 上且 C1E=3EC.DT3vagJXx7 5 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明： A 1C平面 BED. 证明以 D 为坐标原点,射线DA 为 x 轴的正半轴,射线DC为 y 轴的正半轴,射线 坐标系 Dxyz.DT3vagJXx7 DD 1为 z 轴的正半轴,建立如下列图的直角依题设 B2,2,0>,C0,2,0>,E0,2,1>,A 12,0,4>. DE 0,2,1>,错误 . 2,2,0>,A C 2,2,4>,DA 2,0,4>由于 A C ·错误 . 0,A C · DE 2,2,4>,故 A1CBD,A1CDE. 又 BDDED,所以 A1C平面 BED. 申明：全部资料为本人收集整理,仅限个人学习使用,勿做商业用途；6 / 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
