2022年等腰三角形典型例题练习3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载 等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析4在 ABC 中, AD 是 BAC 的平分线, E、F 分别为 AB 、AC 上的点,且 EDF+ EAF=180 °,求证DE=DF 考点 ：全等三角形的判定与性质；角平分线的定义1418944DN=DM ,依据四边形的分析：过 D 作 DM AB ,于 M ,DN AC 于 N,依据角平分线性质求出内角和定理和平角定义求出AED= CFD,依据全等三角形的判定AAS 推出 EMD FND 即可解答：证明：过 D 作 DM AB ,于 M ,DN AC 于 N,即 EMD= FND=90 °, AD 平分 BAC ,DM AB ,DN AC ,DM=DN（角平分线性质） ,DME= DNF=90 °, EAF+ EDF=180°, MED+ AFD=360 ° 180°=180°, AFD+ NFD=180 °, MED= NFD ,在 EMD 和 FND 中, EMD FND , DE=DF 5在 ABC 中, ABC 、 ACB 的平分线相交于点 DE=BD+EC O,过点 O 作 DE BC,分别交 AB 、AC 于点 D、E请说明考点 ：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质1418944分析：依据 OB 和 OC 分别平分 ABC 和 ACB ,和 DE BC,利用两直线平行, 内错角相等和等量代换,求证出 DB=DO ,OE=EC 然后即可得出答案解答：解：在 ABC 中, OB 和 OC 分别平分 ABC 和 ACB , DBO= OBC, ECO= OCB,DE BC, DOB= OBC= DBO , EOC= OCB= ECO ,DB=DO ,OE=EC , DE=DO+OE , DE=BD+EC 6已知： 如图,D 是 ABC 的 BC 边上的中点, DEAB ,DFAC ,垂足分别为 E,F,且 DE=DF 请判定 ABC是什么三角形？并说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载考点 ：等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质1418944分析：用（ HL ）证明 EBD FCD ,从而得出 EBD= FCD ,即可证明 ABC 是等腰三角形解答： ABC 是等腰三角形证明：连接 AD , DEAB , DFAC , BED= CFD=90 °,且 DE=DF ,D 是 ABC 的 BC 边上的中点,BD=DC ,Rt EBDRt FCD （HL ）, EBD= FCD, ABC 是等腰三角形7如图, ABC 是等边三角形,BD 是 AC 边上的高,延长BC 至 E,使 CE=CD 连接 DE（1） E 等于多少度？（2） DBE 是什么三角形？为什么？考点 ：等边三角形的性质；等腰三角形的判定1418944分析：（1）由题意可推出ACB=60 °,E=CDE ,然后依据三角形外角的性质可知：ACB= E+CDE ,即可推出 E 的度数；（2）依据等边三角形的性质可知,BD 不但为 AC 边上的高,也是ABC 的角平分线,即得：DBC=30 °,然后再结合（1）中求得的结论,即可推出 DBE 是等腰三角形解答：解：（1） ABC 是等边三角形,ACB=60 °,CD=CE , E=CDE, ACB= E+CDE ,（2） ABC 是等边三角形,BD AC, ABC=60 °, E=30°, DBC= E, DBE 是等腰三角形8如图,在 ABC 中, ACB=90 °, CD 是 AB 边上的高, A=30 °求证： AB=4BD 考点 ：含 30 度角的直角三角形1418944分析：由 ABC 中, ACB=90 °, A=30 °可以推出AB=2BC ,同理可得BC=2BD ,就结论即可证明解答：解： ACB=90 °, A=30 °, AB=2BC , B=60°又 CDAB , DCB=30 °, BC=2BD AB=2BC=4BD 9如图, ABC 中, AB=AC ,点 D、E 分别在 AB 、 AC 的延长线上,且 DF=EF BD=CE ,DE 与 BC 相交于点 F求证：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点 ：学习好资料欢迎下载全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质1418944分析：过 D 点作 DG AE 交 BC 于 G 点,由平行线的性质得1=2, 4=3,再依据等腰三角形的性 质可得 B=2,就 B=1,于是有 DB=DG ,依据全等三角形的判定易得 DFG EFC,即可 得到结论解答：证明：过 D 点作 DG AE 交 BC 于 G 点,如图, 1=2, 4=3,AB=AC , B=2, B= 1, DB=DG ,而 BD=CE , DG=CE ,在 DFG 和 EFC 中, DFG EFC, DF=EF10已知等腰直角三角形ABC ,BC 是斜边 B 的角平分线交AC 于 D,过 C 作 CE 与 BD 垂直且交 BD 延长线于 E,求证： BD=2CE 考点 ：全等三角形的判定与性质1418944分析：延长 CE,BA 交于一点 F,由已知条件可证得 BFE 全 BEC,所以 FE=EC ,即 CF=2CE,再通过证明 ADB FAC 可得 FC=BD ,所以 BD=2CE 解答：证明：如图,分别延长CE, BA 交于一点 FBE EC, FEB= CEB=90 °, BE 平分 ABC , FBE=CBE ,又 BE=BE ,BFE BCE （ASA ） FE=CE CF=2CEAB=AC , BAC=90 °, ABD+ ADB=90 °, ADB= EDC , ABD+ EDC=90 °又 DEC=90 °, EDC+ ECD=90 °, FCA= DBC= ABD ADB AFC FC=DB , BD=2EC 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载11（2022.牡丹江）如图 , ABC 中 AB=AC ,P 为底边 BC 上一点, PEAB ,PFAC ,CH AB ,垂足分别为 E、F、 H易证 PE+PF=CH 证明过程如下：如图 ,连接 APPEAB ,PFAC ,CH AB , S ABP=AB .PE, S ACP=AC .PF, S ABC =AB .CH 又 S ABP +S ACP=S ABC ,AB .PE+AC.PF=AB .CH AB=AC , PE+PF=CH （1）如图 ,P 为 BC 延长线上的点时,其它条件不变,并加以证明：PE、PF、 CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,（2）填空：如 A=30 °, ABC 的面积为 49,点 P 在直线 BC 上,且 P 到直线 AC 的距离为 PF,当 PF=3 时,就AB 边上的高 CH=7点 P 到 AB 边的距离 PE=4 或 10考点 ：等腰三角形的性质；三角形的面积1418944分析：（1）连接 AP 先依据三角形的面积公式分别表示出S ABP,S ACP,S ABC,再由 S ABP =S ACP+S ABC即可得出 PE=PF+PH；（2）先依据直角三角形的性质得出AC=2CH ,再由 ABC 的面积为 49,求出 CH=7 ,由于 CH PF,就可分两种情形进行争论： P为底边 BC 上一点,运用结论 PE+PF=CH ； P 为 BC 延长线上的点时,运用结论 PE=PF+CH解答：解：（1）如图 ,PE=PF+CH证明如下：PEAB , PFAC ,CH AB , S ABP= AB .PE,S ACP= AC.PF,S ABC = AB .CH ,S ABP=S ACP+S ABC,AB .PE= AC.PF+ AB .CH,又 AB=AC , PE=PF+CH ；（2）在 ACH 中, A=30 °, AC=2CH S ABC=AB .CH ,AB=AC ,×2CH.CH=49, CH=7 分两种情形： P 为底边 BC 上一点,如图 PE+PF=CH , PE=CH PF=7 3=4；名师归纳总结 P 为 BC 延长线上的点时,如图 第 4 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载PE=PF+CH , PE=3+7=10 故答案为 7；4 或 1012数学课上,李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC 中,点 E 在 AB 上,点 D 在 CB 的延长线上,且ED=EC ,如图,试确定线段AE 与 DB 的大小关系,并说明理由”小敏与同桌小聪争论后,进行了如下解答：（1）特别情形,探究结论当点 E 为 AB 的中点时,如图1,确定线段 AE 与 DB 的大小关系,请你直接写出结论：AE=DB（填 “”,“”或“=”）（2）特例启示,解答题目解：题目中, AE 与 DB 的大小关系是： AE=DB（填 “ ” ,“”或“=”）理由如下：如图2,过点 E 作 EF BC,交 AC 于点 F（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论,设计新题在等边三角形 ABC 中,点 E 在直线 AB 上,点 D 在直线 BC 上,且 ED=EC 如 ABC 的边长为 1,AE=2 ,求 CD的长（请你直接写出结果）考点 ：等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质 1418944分析：（1）依据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出D=ECB=30 °,求出 DEB=30 °,求出 BD=BE即可；（2）过 E 作 EF BC 交 AC 于 F,求出等边三角形 可；AEF ,证 DEB 和 ECF 全等,求出 BD=EF 即（3）当 D 在 CB 的延长线上, E 在 AB 的延长线式时, 由（2）求出 CD=3,当 E 在 BA 的延长线上,解答：D 在 BC 的延长线上时,求出CD=1 解：（1）故答案为： =（2）过 E 作 EF BC 交 AC 于 F,等边三角形 ABC , ABC= ACB= A=60 °,AB=AC=BC , AEF= ABC=60 °, AFE= ACB=60 °,即 AEF= AFE= A=60 °, AEF 是等边三角形,AE=EF=AF , ABC= ACB= AFE=60 °, DBE= EFC=120°, D+ BED= FCE+ECD=60 °,DE=EC , D=ECD, BED= ECF,在 DEB 和 ECF 中名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载, DEB ECF, BD=EF=AE ,即 AE=BD ,故答案为： =（3）解： CD=1 或 3,理由是：分为两种情形： 如图 1过 A 作 AM BC 于 M ,过 E 作 ENBC 于 N,就 AM EM , ABC 是等边三角形,AB=BC=AC=1 ,AM BC, BM=CM= BC=, DE=CE ,ENBC, CD=2CN ,AM EN, AMB ENB ,=,=,BN=, CN=1+=, CD=2CN=3 ； 如图 2,作 AM BC 于 M ,过 E 作 ENBC 于 N,就 AM EM , ABC 是等边三角形,AB=BC=AC=1 ,BC=, DE=CE ,ENBC , CD=2CN ,AM BC, BM=CM=AM EN,=,=, MN=1 , CN=1 =, CD=2CN=1 13已知：如图,AF 平分 BAC ,BCAF 于点 E,点 D 在 AF 上, ED=EA ,点 P 在 CF 上,连接 PB 交 AF 于点M 如 BAC=2 MPC,请你判定 F 与 MCD 的数量关系,并说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点 ：学习好资料欢迎下载全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质1418944分析：依据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD ,推出CDA= CAD= CPM,求出 MPF= CDM , PMF= BMA= CMD ,在 DCM 和 PMF 中 依据三角形的内角和定理求出即可解答：解： F=MCD ,理由是： AF 平分 BAC ,BCAF , CAE= BAE , AEC= AEB=90 °,在 ACE 和 ABE 中, ACE ABE （ASA ） AB=AC , CAE= CDE AM 是 BC 的垂直平分线,CM=BM ,CE=BE , CMA= BMA ,AE=ED ,CEAD , AC=CD , CAD= CDA , BAC=2 MPC ,又 BAC=2 CAD , MPC= CAD , MPC= CDA , MPF= CDM , MPF= CDM （等角的补角相等） , DCM+ CMD+ CDM=180 °, F+MPF+ PMF=180 °,又 PMF= BMA= CMD , MCD= F14如图,已知 ABC 是等边三角形,点D、 E 分别在 BC、AC 边上,且 AE=CD ,AD 与 BE 相交于点 F（1）线段 AD 与 BE 有什么关系？试证明你的结论（2）求 BFD 的度数考点 ：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质1418944分析：（1）依据等边三角形的性质可知BAC= C=60°,AB=CA ,结合 AE=CD ,可证明 ABE CAD ,从而证得结论；（2）依据 BFD= ABE+ BAD , ABE= CAD ,可知 BFD= CAD+ BAD= BAC=60 °解答：（1）证明：ABC 为等边三角形,BAC= C=60°,AB=CA 在 ABE 和 CAD 中, ABE CAD AD=BE （2）解： BFD= ABE+ BAD ,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载又 ABE CAD , ABE= CAD BFD= CAD+ BAD= BAC=60 °15如图,在 ABC 中, AB=BC , ABC=90 °,F 为 AB 延长线上一点,点 和 CF,求证： AE=CF 考点 ：全等三角形的判定与性质1418944E 在 BC 上, BE=BF ,连接 AE、EF分析：依据已知利用SAS 即可判定 ABE CBF,依据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF 解答：证明： ABC=90 °, ABE= CBF=90 °,又 AB=BC , BE=BF , ABE CBF（SAS） AE=CF 16已知：如图,在 OAB 中, AOB=90 °,OA=OB ,在 EOF 中, EOF=90 °, OE=OF,连接 AE、 BF问线段 AE 与 BF 之间有什么关系？请说明理由考点 ：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形1418944分析：可以把要证明相等的线段 AE ,CF 放到 AEO , BFO 中考虑全等的条件,由两个等腰直角三角形得 AO=BO ,OE=OF,再找夹角相等,这两个夹角都是直角减去BOE 的结果,当然相等了,由此可以证明 AEO BFO；延长 BF 交 AE 于 D,交 OA 于 C,可证明 BDA= AOB=90 °,就 AE BF解答：解： AE 与 BF 相等且垂直,理由：在 AEO 与 BFO 中,Rt OAB 与 Rt OEF 等腰直角三角形, AEO BFO, AE=BF AO=OB ,OE=OF, AOE=90 ° BOE= BOF,延长 BF 交 AE 于 D,交 OA 于 C,就 ACD= BCO ,由（ 1）知 OAE= OBF, BDA= AOB=90 °, AEBF17（2006.郴州）如图,在 ABC 中, AB=AC ,D 是 BC 上任意一点,过D 分别向 AB ,AC 引垂线,垂足分别为E,F,CG 是 AB 边上的高名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载（1）DE,DF,CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）如 D 在底边的延长线上, （1）中的结论仍成立吗？如不成立,又存在怎样的关系？请说明理由考点 ：等腰三角形的性质1418944分析：（1）连接 AD ,依据三角形 ABC 的面积 =三角形 ABD 的面积 +三角形 ACD 的面积, 进行分析证明；（2）类似（ 1）的思路,仍旧用运算面积的方法来确定线段之间的关系即三角形 ABC 的面积 =三角形 ABD 的面积 三角形 ACD 的面积解答：解：（1）DE+DF=CG 证明：连接 AD ,就 S ABC =S ABD +S ACD,即 AB .CG= AB .DE+ AC .DF, AB=AC , CG=DE+DF （2）当点 D 在 BC 延长线上时, （ 1）中的结论不成立,但有DE DF=CG 理由：连接AD ,就 S ABD =S ABC+S ACD ,即AB .DE=AB .CG+AC .DF AB=AC , DE=CG+DF ,即 DE DF=CG 同理当 D 点在 CB 的延长线上时,就有DE DF=CG ,说明方法同上18如图甲所示,在 ABC 中, AB=AC ,在底边 BC 上有任意一点P,就 P 点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高）,即 PD+PE=CF ,如 P 点在 BC 的延长线上,那么请你猜想 的猜想并加以证明PD、PE 和 CF 之间存在怎样的等式关系？写出你名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点 ：学习好资料欢迎下载AC.PE,等腰三角形的性质；三角形的面积1418944分析：猜想： PD、PE、CF 之间的关系为PD=PE+CF 依据 S PAB=AB .PD,S PAC=解答：S CAB=AB .CF,S PAC=AC.PE,AB .PD=AB .CF+AC .PE,即可求证解：我的猜想是：PD、PE、 CF 之间的关系为PD=PE+CF 理由如下：连接 AP,就 S PAC+S CAB =S PAB,名师归纳总结 S PAB=AB .PD,S PAC=AC.PE,S CAB=AB .CF,AB .PE,第 10 页,共 10 页又 AB=AC , S PAC=AB .PE,AB .PD=AB .CF+即AB （PE+CF）=AB .PD, PD=PE+CF - - - - - - -