2022年线性代数考试知识点归纳.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1、 行 列 式1.n行列式共有n 个元素,绽开后有n 项；A B2.代数余子式的性质：3.、A 和a 的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；代数余子式和余子式的关系：Miji 1jA ijA iji 1jMij4.设 n行列式 D ：5.n n1将 D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D ,就D 1 12D ；n n1将 D 顺时针或逆时针旋转90 ,所得行列式为D ,就D2 12D ；将 D 主对角线翻转后（转置）,所得行列式为D ,就D 3D ；将 D 主副角线翻转后,所得行列式为D ,就D4D ；行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；n n1、副对角行列式：副对角元素的乘积 12；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；n n1、 和 ：副对角元素的乘积 12；、拉普拉斯绽开式：AOACA B、CAOA 1m nCBOBBOBC、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特点值；6.对于 n 阶行列式A ,恒有：EAnkn1k 1S knk,其中S 为 k 阶主子式；7.证明A0的方法：、 AA ；、反证法；、构造齐次方程组Ax0,证明其有非零解；、利用秩,证明r A n ；、证明 0 是其特点值；2、 矩 阵1. A是 n阶可逆矩阵：A 0（是非奇特矩阵）；r A n （是满秩矩阵）A 的行（列）向量组线性无关；齐次方程组 Ax 0 只有零解；b R , Ax b总有唯独解；A 与 E 等价；A 可表示成如干个初等矩阵的乘积；名师归纳总结 A 的特点值全不为0；第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思T A A 是正定矩阵；2. 3.4. 5.A 的行（列）向量组是n R 的一组基；A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；对于 n 阶矩阵 A：* AA* A AA E无条件恒 成立；A1*A*1A1TAT1* ATAT*ABTT TB AAB* *B AAB1B1A1矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值,可求代数和；关于分块矩阵的重要结论,其中均A、 B 可逆：A 1如AA 2,就：A s、AA 1A 2A ；、A1A 11A 21；、AO1A s1A1O1；（主对角分块）OBOB、OA1O1B1；（副对角分块）BOAO、AC1A11 A CB1；（拉普拉斯）OBB1O、AO1A11O1；（拉普拉斯）CB1 B CAB3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组1.一个 mn 矩阵 A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯独确定的：FErOmn；1 A b ；OO2.等价类：全部与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类；标准形为其外形最简洁的矩阵；x对于同型矩阵A 、 B ,如r Ar BAB ；行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0 元素必需为1；3.、每行首个非0 元素所在列的其他元素必需为0；初等行变换的应用：（初等列变换类似,或转置后采纳初等行变换）、如 A ErE,X,就 A 可逆,且XA1；、对矩阵A B 做初等行变化,当A 变为 E 时, B 就变成A1B ,即： , A BcE A1B ；、求解线形方程组：对于n个未知数 n 个方程 Axb ,假如A b , rE x ,就 A可逆,且4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换仍是列变换,由其位置打算：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1、2,左乘矩阵A,i 乘 A 的各行元素；右乘,i 乘 A的各列元素；n5.111；、对调两行或两列,符号E i j ,且E i j , 1E i j ,例如：11；11、倍乘某行或某列,符号E i k ,且E i k 1E i 1,例如：1k11111k0kk1k11k；、倍加某行或某列,符号E ij k,且E ij k 1E ijk,如：11k011矩阵秩的基本性质：、 0r A mnminm n ；、r ATr A ；、如 AB,就r Ar B ；、如 P 、 Q 可逆,就r Ar PAr AQr PAQ ；（ 可逆矩阵不影响矩阵的秩）、 max r A, r Br A Br Ar B ；（ ）、r ABr Ar B ；（ ）6.、r ABmin r A r B；（ ）、假如 A是 mn 矩阵, B 是 ns矩阵,且AB0,就：（ ）、 B 的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；、r Ar Bn、如 A、 B 均为 n 阶方阵,就r ABr A r Bn ；三种特别矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：肯定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式,再采纳结合律；1ac、型如01b的矩阵：利用二项绽开式；001二项绽开式： ab n0 C an1 nC a11 bm nC amm bCn11 na b1n nC bnm m nC a bm；nm0注：、 abn绽开后有n1项；、m C nn n1nmm1n.m.0 C nCn11 2 3m nn、组合的性质：m C nCnmm C n1CmCm1rn0r C n2nrCrr nC n1；nnnn1、利用特点值和相像对角化：名师归纳总结 7.相伴矩阵：* r Anr A n1；第 3 页,共 6 页、相伴矩阵的秩：1r An0r An1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思8.9.10.、相伴矩阵的特点值：AAXX A*A A1* A XAX；、A*A A1、A*An1关于 A 矩阵秩的描述：、r An , A 中有 n 阶子式不为0,n1阶子式全部为0；（两句话）、r An , A 中有 n 阶子式全部为0；、r An , A 中有 n 阶子式不为0；线性方程组：Axb ,其中 A 为 mn 矩阵,就：、 m 与方程的个数相同,即方程组Axb有 m 个方程；、 n 与方程组得未知数个数相同,方程组Axb为 n 元方程；线性方程组Axb的求解：、对增广矩阵B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11.由 n个未知数 m 个方程的方程组构成n元线性方程：n 矩阵, m 个方程, n 个未知数）a x 1a x2a xnb 1、a x 1a x2a 2nxnb 2；a m1x 1a m2x2a nmx nb na 11a 12a 1nx 1b 1、a21a22a2nx2b 2Axb（向量方程,A为 mam 1a m2amnxmb mx 1b 1、a 1a2a nx2（全部按列分块,其中b 2）；x nb n、a x 1 1a x 22a x nn（线性表出）、有解的充要条件：r A r A ,n（ n 为未知数的个数或维数）4、 向 量 组 的 线 性 相 关 性1.m 个 n 维列向量所组成的向量组A ：1,2,m构成 nm 矩阵A1,2,m；T 1m 个 n 维行向量所组成的向量组B ：T,T,T m构成 mn 矩阵BT；212T m 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；名师归纳总结 2.、向量组的线性相关、无关Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）0同解； P 101例 14 第 4 页,共 6 页3.、向量的线性表出Axb是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示AXB 是否有解；（矩阵方程）矩阵A m n与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx4.T r A Ar A ； P 101例 15 5.n维向量线性相关的几何意义：、线性相关0 ；、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思6.、,线性相关,共面；线性相关与无关的两套定理：如1,2,s 线性相关,就1,2,s,s必线性相关；如1,2,s线性无关,就1,2,s1必线性无关；（向量的个数加加减减,二者为对偶）如 r 维向量组 A的每个向量上添上nr 个重量,构成n 维向量组 B ：如 A 线性无关,就B 也线性无关；反之如B 线性相关,就A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关,反之,不确定；7.8.9.向量组 A（个数为 r ）能由向量组B （个数为 s）线性表示,且A线性无关,就rs二版P 定理 7；向量组 A能由向量组B 线性表示,就r Ar B ；（P 定理 3）向量组 A能由向量组B线性表示AXB 有解；r Ar A B （P 定理 2）85向量组 A能由向量组B 等价r Ar Br A B （P 定理 2 推论 ）85方阵 A 可逆存在有限个初等矩阵P P 1 2,P ,使AP P 2P ；、矩阵行等价：Ar BPAB （左乘, P 可逆）Ax0与Bx0同解、矩阵列等价：Ac BAQB （右乘, Q 可逆）；、矩阵等价：ABPAQB （ P 、 Q 可逆）；对于矩阵A m n与B ln：、如 A与 B 行等价,就A与 B 的行秩相等；、如 A与 B 行等价,就Ax0与Bx0同解,且 A与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不转变矩阵的秩；、矩阵 A的行秩等于列秩；10.如A msB s nCm n,就：）11.、 C 的列向量组能由A的列向量组线性表示,B 为系数矩阵；、 C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,T A 为系数矩阵；（转置）齐次方程组Bx0的解肯定是ABx0的解, 考试中可以直接作为定理使用,而无需证明；12.、ABx0只有零解Bx0只有零解；、Bx0有非零解ABx0肯定存在非零解；设向量组Bn r:b b 1 2,b 可由向量组 rA ns:a1,a 2,a 线性表示为：（sP 110题 19 结论 ）13.b b 1 2,b ra1,a2,asK （ BAK ）其中 K 为 sr ,且 A 线性无关,就B 组线性无关r Kr ；（ B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性（必要性：rr B r AKr K, r Kr,r Kr ；充分性：反证法）注：当 rs时, K 为方阵,可当作定理使用；、对矩阵A m n,存在Qn m,AQEmr A m 、 Q 的列向量线性无关；（P ）、对矩阵A m n,存在P n m,PAEnr A n 、 P 的行向量线性无关；14.1,2,s 线性相关存在一组不全为0 的数k 1,k2,k ,使得k 11k22kss0成立；（定义）x 11,2,sx20有非零解,即Ax0有非零解；15.xsr1,2,ss,系数矩阵的秩小于未知数的个数；设 m n 的矩阵 A的秩为 r ,就 n 元齐次线性方程组 Ax 0 的解集 S 的秩为：如 * 为 Ax b的一个解,1 , 2 , , n r为 Ax 0 的一个基础解系,就 * , 1 , 2,r S nnr ；P 11116.,r线性无关；（题33 结论 ）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思5、 相 似 矩 阵 和 二 次 型1.2.3. 4.5. 6. 7.正交矩阵T A AE 或A1T A （定义）,性质：、 A 的列向量都是单位向量,且两两正交,即T a a ij1ij , i j1,2,n；0ij、如 A为正交矩阵,就A1T A 也为正交阵,且A1；、如 A、 B 正交阵,就AB 也是正交阵；留意：求解正交阵,千万不要遗忘施密特正交化 和单位化 ；施密特正交化：a a 12,arb 1a ；b 2a2b a2b 1b b 1 1b rarb arb 1b arb 2b r1,arb r1; b b 1 1b b 2 2b r1,br1对于一般方阵,不同特点值对应的特点向量线性无关；对于 实对称阵 ,不同特点值对应的特点向量正交；、 A 与 B 等价A 经过初等变换得到B ；PAQB , P 、 Q 可逆；r A r B , A 、 B 同型；、 A 与 B 合同CTACB ,其中可逆；x Ax 与x Bx 有相同的正、负惯性指数；、 A 与 B 相像P1APB ；相像肯定合同、合同未必相像；如 C 为正交矩阵,就T C ACBAB ,（合同、相像的约束条件不同,相像的更严格）；A为对称阵,就A为二次型矩阵；n元二次型x Ax 为正定：A 的正惯性指数为n；A 与 E 合同,即存在可逆矩阵C ,使T C ACE ；A 的全部特点值均为正数；名师归纳总结 A 的各阶次序主子式均大于0；第 6 页,共 6 页a ii0,A0；必要条件 - - - - - - -