2022年经济数学基础作业2.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 经济数学基础作业 3 （线性代数部分第 1 章行列式其次章矩阵）学问要点：1行列式的概念和性质把握二阶和三阶行列式的运算；明白行列式的性质：特殊是性质1、性质 3、性质 5；2明白矩阵和几类特殊矩阵的概念 3懂得矩阵可逆与逆矩阵概念,知道矩阵可逆的条件；4知道方阵的行列式性质：设A,B是 n 阶方阵, k 是数,就nA；（3）ATA；（1）ABAB；（2）kAk（4）如 A可逆,就A11A5.明白矩阵秩的概念；6.懂得矩阵初等行变换的概念：（1）将矩阵的某两行对换位置；（2）将某一行遍乘一个非零常数 k ；（3）将矩阵的某一行遍乘一个非零常数 k 加到另一行；7娴熟把握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算；把握这几种运算的有关性质,留意：（1）矩阵的乘法一般不满意交换律,即AB = BA不肯定成立；（2）在矩阵的乘法中存在A0 B0,有AB0；AC,不能导出BC；A0 ,且AB（3）矩阵乘法的消去律不成立,即1 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8娴熟把握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵,娴熟把握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵；一）填空题1045. 1.设矩阵A3232,就 A的元素a23_. 2161解： A的元素a 表示矩阵中第 2 行与第 3 列交叉的元素,即a =3；2.设A,B均为 3 阶矩阵,且AB3,就2ABT= _. 解：由于 如A,B是 n 阶方阵, k 是数,就ABAB,kAknA,ATA因此2ABT2 3AB T8AB=83 3 723.设A,B均为n 阶矩阵,就等式AB2A22ABB2成立的充分必要条件是 . 解：由于AB2ABABA2BAABB2A22ABB2的充分必要条件是AB = BA4. 设A,B均为 n 阶矩阵,IB可逆,就矩阵ABXX的解X_解：由于：ABXX,就IBXA,XIB1A1005.设矩阵A020,就A1_. 003求逆矩阵的初等行变化法：A,II,A1100100100100A,I02001001001203I,A10030010010102 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - A110 100020103（二）单项挑选题1. 以下结论或等式正确选项（）A如 A, B 均为零矩阵,就有 A BB如 AB AC,且 A O,就 B CC对角矩阵是对称矩阵D如AO,BO,就ABO解：A 不正确；零矩阵：全部的元素均为零的矩阵；例如：A00,B00000000000B 不正确；矩阵乘法的消去律不成立；例如：设 A 1 1,B 1 1,C 2 01 1 1 1 0 22 2有 AB AC,但 B C2 2C 正确. 对称矩阵：如矩阵 A,有 A TA,就称矩阵 A为对称矩阵；a 1 0 . 0设 n 阶对角矩阵 A 0 a 2 . 0,明显有 A TA,因此矩阵 A为对称矩阵；. . . .0 0 0 a n1 1 1 1D 不正确 . 例如：设 A,B , 有 AB O1 1 1 13 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 该题正确的选项为 C.2. 设 A为34矩阵, B 为52矩阵,且乘积矩阵ACB 有意义,就C 为（）矩阵 A2 4 B4 2C3 5 D5 3解：矩阵乘法定义：A B ,要求左边矩阵的列数与右边矩阵的行数相等,而且结果 AB仍旧是一个矩阵,其行数等于左边矩阵 A 的行数,其列数等于右边矩阵 B 的列数；A 为 3 4 , A C 要有意义,就矩阵 C 的行数 =矩阵 A 的列数 4； B 为 5 2 矩阵,就 B 为2 5 矩阵,CB 要有意义,就矩阵 C 的列数 =矩阵 B 的行数 2,故 C 是一个 4 2 矩阵,C T是一个 2 4 矩阵；该题正确的选项为 A. 3. 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵,就以下等式成立的是（） AAB1A1B1,BAB1A1B1ABBADABCBA解：A 都是错误的；例如：设A1110,B10,简单验证矩阵A,B均可逆,但AB不行逆,明显0212AB1AB是错误的；B 是错误的；逆矩阵的性质：AB 1BB1A1BAC 是正确的；ABA=BAD 是错误的；矩阵的乘法一般不满意交换律；该题正确的选项为 C. 4 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 以下矩阵可逆的是（）123101A0；A023B101003123C11D110022解：矩阵 A 可逆的方法：（ 1）（2）矩阵 A 是满秩矩阵；1 2 3A 是正确的；由于矩阵是阶梯形矩阵且为满秩矩阵；或 0 2 3 1 2 3 6 00 0 31 0 1 1 0 1B 是错误的；1 0 1 0 0 0,矩阵的秩为 2,不是满秩矩阵,故不行逆；1 2 3 0 2 2C,D 都是错误的；矩阵的秩都为该题正确的选项为 A. 1 1 11,不是满秩矩阵,故不行逆；5. 矩阵A201的秩是（）134A0 B1 C2 D3 111C. 111111解：A201023023134023000该题正确的选项为三、解答题1运算5 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）21015310解：原式 =20112110=125031513035（2）02110300000解：原式 =0000000003（3）1254012名师归纳总结 解：原式 =305801245ai2A i2. a inA in第 6 页,共 10 页1231242运算1221436102231327131262894637197解：原式 =124286462 =71201342126492047231233设矩阵A111,B112,求 AB ；110110解：ABAB二阶行列式abadbc231cdA111n 阶行列式的运算方法：0111 降阶法：221a 11a 12.a 1 n121.001ai1ai2.ainai1A i1113322.12an 1an2.ann. ann4222 化三角形矩阵a 11a 12.a 1 n06 / 10 a.a2n.a 11a 22.00.ann- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 123123123B1120110110r A 最小；011011000所以ABAB=0 的值,使1244设矩阵A21,确定1104求矩阵 A 的秩的方法：124解：A21A初等行变化阶梯行矩阵A ,11012412就秩（ A）=A 的非零行的行数；0470140140471240140094当9 时,4r A =2 为最小253215求矩阵A538543的秩；4200求矩阵 A 的秩的方法：1742024112317521A初等行变化阶梯行矩阵A ,解：A5854358543就秩（ A）=A 的非零行的行数17420253214112341123174201742027156302715630952100000027156300000秩（ A =2 7 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6求以下矩阵的逆矩阵：13200求矩阵 A的逆IA1的方法：IA1（1）A3011111321解：A ,I30101011100113210009731004310113210010方法 1：A初等行变化* A011112方法 2：A1043101A13210001111201130013491305818010237010237I,A1001349001349113A 113A1237349113（2）A =115求I1213010011解：IA010115105001121120下面利用初等行变化法求IA的逆：8 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 013100IA,I105010；A1B；b的1200011050101050100131000131001200010250111050101001065013100010533=I,IA100121100121110652,求解矩阵方程XABIA 15332117设矩阵A12,B13523解：由于XAB就XBA11解矩阵方程：A1* A,A1256（1）XAB,如 A 可逆,1,35A就XAA1BA1XBA1* A52,A1* A52（2）AXB,如 A 可逆,就X3131AXBA112522利用相伴矩阵法求二阶可逆矩阵Aacd2331逆：=5622=10A1A*,其中相伴矩阵A*db1094311caAAabadbccd四、证明题1试证：如B 1, B2都与 A 可交换,就B1B2,B 1B2也与 A可交换；证明：由于AB1B 1A,AB2B2A,就结合矩阵运算的安排律有：9 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - A B 1B2AB 1AB2B 1AB2AB 1B2A又利用矩阵运算的结合律有：A B 1B2AB 1B2B 1AB2B 1AB2B 1B2A B 1B2A；因此B 1B2,B 1B2都与 A可交换；2试证：对于任意方阵A,AAT,AAT ,ATA是对称矩阵；证明：AATTATATTT AAAAT如ATA,就称 A为对称矩阵；AATTT ATATAAT转置矩阵的运算性质：ATA TATATTT AAABTBT A,BTT, kA kATAB TTT AT ATA3设A,B均为n 阶对称矩阵,就AB 是对称矩阵的充分必要条件是：ABBA证明：必要性：由于ATA ,BTTB, AB为对称矩阵,就如 A 就 B,就称 A 是 B 的充分ABABTBATBA；条件； B 是 A 的必要条件；充分性：由于ATA ,BTB,ABBA,就B1BT,证明B1AB是对称矩阵；ABTBTATBAAB,即 AB 是对称矩阵；4设 A 为 n 阶对称矩阵, B 为 n 阶可逆矩阵,且证明：由于A TBTA, B 为n 阶可逆矩阵,且B1BT,就如 B 为可逆矩阵,1B1ABTATB1TB1A BTTB1AB；就B1TBT10 / 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页
