2022年线性代数复习重点.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料复习重点：第一部分 行列式1 排列的逆序数（P.5 例 4；P.26 第 2、4 题）2 行列式按行（列）绽开法就（P.21 例 13；P.28 第 9 题）3 行列式的性质及行列式的运算（P.27 第 8 题）其次部分 矩阵1 矩阵的运算性质2 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56 第 17、18 题； P.78 第 5 题）3 相伴阵的性质（P.41 例 9；P.56 第 23、 24 题； P.109 第 25 题）、正交阵的性质（P.116）4 矩阵的秩的性质（P.69 至 71；P.100 例 13、14、15）第三部分 线性方程组1 线性方程组的解的判定（P.71 定理 3； P.77 定理 4、5、6、7）,带参数的方程组的解的判定（ P.75 例 13；P.80 第 16、 17、18 题）2 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系）3 非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分 向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换）1向量组的线性表示 2向量组的线性相关性 3向量组的秩第五部分 方阵的特点值及特点向量1施密特正交化过程2特点值、特点向量的性质及运算（P.120 例 8、9、10；P.135 第 7 至 13 题）3矩阵的相像对角化,特别是对称阵的相像对角化（P.135 第 15、16、19、23 题）要留意的学问点：线 性 代 数1、 行 列 式1.n 行列式共有2 n 个元素,绽开后有n 项,可分解为2n 行列式；ij2.代数余子式的性质：3.、A 和a 的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ；代数余子式和余子式的关系：Miji 1jA ijA iji 1jM4.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编、副对角行列式：副对角元素的乘积优秀资料n n1 12；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；A 1m nA B、 和 ：副对角元素的乘积n n1 12；、拉普拉斯绽开式：AOACA B、CAOCBOBBOBC、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特点值5.证明A0的方法：、 AA ；、反证法；、构造齐次方程组Ax0,证明其有非零解；、利用秩,证明r An ；、证明 0 是其特点值；2、 矩 阵1. A 是 n 阶可逆矩阵：A 0（是非奇特矩阵）；r A n （是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组Ax0有非零解；bn R , Axb 总有唯独解；A与 E 等价；A可表示成如干个初等矩阵的乘积；A的特点值全不为 0；T A A 是正定矩阵；名师归纳总结 2.A的行（列）向量组是n R 的一组基；第 2 页,共 7 页A是n R 中某两组基的过渡矩阵；对于 n 阶矩阵 A ：* AA* A AA E无条件恒 成立；3.A1*A*1A1TT A1A*TT A*ABTT B ATAB* *B AAB1B1A14.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值,可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论,其中均A 、 B 可逆：A 1如AA 2,就：A s、AA 1A 2A ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 11名师精编优秀资料、A1O1A 21；A s1A、A1OOBOB1、OA11OB1BOA1O1A11 A CB、ACOBOB1、AO11A1OCB1 B CA1B3、 矩 阵 的 初 等 变 换 与 线 性 方 程 组1.一 个 mn 矩 阵 A , 总 可 经 过 初等 变 换 化 为 标 准 形 , 其标 准 形 是 唯 一 确 定 的：FErOm n；OO等价类： 全部与 A等价的矩阵组成的一个集合,单的矩阵；称为一个等价类； 标准形为其外形最简2.对于同型矩阵A、 B ,如r Ar BAB ；行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；3.x、每行首个非0 元素必需为1；、每行首个非0 元素所在列的其他元素必需为0；初等行变换的应用：（初等列变换类似,或转置后采纳初等行变换）且、如 A ErE,X ,就 A可逆,且XA1；、对矩阵 A B 做初等行变化, 当 A变为 E 时,B 就变成A1B ,即：A Bc1 E A B ；、求解线形方程组：对于 n 个未知数 n个方程 Axb ,假如 A b , rE x ,就 A可逆,A b ；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换仍是列变换,矩阵；1由其位置打算：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列、2,左乘矩阵A ,i乘 A 的各行元素；右乘,i乘 A的各列元n素；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀资料111115.6.、对调两行或两列, 符号E i j ,且E i j , 1E i j , ,例如：11；11 、 倍 乘 某 行 或 某 列 , 符 号E i k , 且Eik1 1 Ek i, 例 如 ：11k111k0；k 、 倍 加 某 行 或 某 列 , 符 号E ij k, 且E ij k1E ijk, 如 ：k11k11k0；11矩阵秩的基本性质：、 0r A m nminm n ；、r ATr A ；、如 AB ,就r A r B ；、如 P 、 Q 可逆,就r A r PAr AQr PAQ ；（ 可逆矩阵不影响矩阵的秩）、 max r A, r Br A Br A r B ；（ ）、r ABr Ar B ；（ ）、r ABminr A, r B ；（ ）、假如 A 是 mn 矩阵, B 是 ns 矩阵,且AB0,就：（ ）、 B 的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）；、r Ar Bn、如 A 、 B 均为 n阶方阵,就r ABr A r Bn ；三种特别矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：肯定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量） 的形式,再采纳结合律；、型如1ac01b 的矩阵：利用二项绽开式001、利用特点值和相像对角化：名师归纳总结 7.相伴矩阵：*Anr An* A XAX ；第 4 页,共 7 页、相伴矩阵的秩：r A1r An1；8.、相伴矩阵的特点值：A0r A n1AX* X AA A1n1、* AA A1、A*关于 A矩阵秩的描述：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 、r A名师精编n优秀资料0；（两句话）n , A中有 n阶子式不为0,1阶子式全部为、r A n , A中有 n阶子式全部为 0；、r A n , A中有 n阶子式不为 0；9. 线性方程组：Ax b,其中 A为 m n 矩阵,就：、 m 与方程的个数相同,即方程组 Ax b有 m 个方程；、 n 与方程组得未知数个数相同,方程组 Ax b 为 n元方程；10. 线性方程组 Ax b 的求解：、对增广矩阵 B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11.由 n个未知数 m 个方程的方程组构成n 元线性方程：A 为 mn 矩阵, m 个方程, n 个a x 1a x2a 1nx nb 1b（向量方程,、a 21x 1a 22x 2a2nx nb 2；am1x1a m2x2a nmxnb na11a 12a 1 nx 1b 1、a21a 22a2nx2b 2Axam 1am 2amnxmb m未知数）x 1 b 1、a 1 a 2 a n x 2（全部按列分块,其中 b 2）；x n b n、a x 1 a x 2 a x n（线性表出）、有解的充要条件：r A r A , n （ n为未知数的个数或维数）4、 向 量 组 的 线 性 相 关 性1.m 个 n维列向量所组成的向量组A：1,2,m 构成 n m 矩阵A1,2,m；T1m 个 n维行向量所组成的向量组B ：T 1,T 2,T m 构成 mn 矩阵BT；2Tm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；名师归纳总结 2.、向量组的线性相关、无关Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组）0同解；第 5 页,共 7 页3.、向量的线性表出Axb是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示AXB 是否有解；（矩阵方程）矩阵A m n与Bl n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx4.P 101例 14 T r A Ar A ；P 101例 15 5.n 维向量线性相关的几何意义：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 、线性相关名师精编优秀资料0 ；6.、,线性相关,1,坐标成比例或共线（平行）；、,线性相关,共面；2,s,s必线性相关；线性相关与无关的两套定理：,如1,2,s线性相关,就如1,2,s线性无关,就1,2,s1必线性无关；（向量的个数加加减减,二者为对偶）如 r 维向量组 A 的每个向量上添上 n r 个重量,构成 n 维向量组 B ：如 A 线性无关,就 B 也线性无关；反之如 B 线性相关,就 A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关,反之,不确定；7.向量组 A （个数为 r ）能由向量组B （个数为 s）线性表示,且A 线性无关,就rs；8.向量组 A 能由向量组B 线性表示,就r Ar B ；向量组 A 能由向量组B 线性表示AXB 有解；r A r A B向量组 A 能由向量组B 等价r Ar Br A B 方阵 A可逆存在有限个初等矩阵P P 1 2,P ,使AP P 2P ；9.、矩阵行等价：Ar BPAB （左乘, P 可逆）Ax0与Bx0同解、矩阵列等价：Ac BAQB （右乘,Q可逆）；、矩阵等价：ABPAQB （ P 、 Q 可逆）；对于矩阵A m n与Bln：、如 A 与 B 行等价,就A 与 B 的行秩相等；、如 A与 B 行等价,就Ax0与Bx0同解,且A与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不转变矩阵的秩；、矩阵 A 的行秩等于列秩；10.如A msBs nCmn,就：而无需证11.、 C 的列向量组能由A的列向量组线性表示,B 为系数矩阵；、 C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,AT为系数矩阵；（转置）齐次方程组Bx0的解肯定是ABx0的解, 考试中可以直接作为定理使用,明；名师归纳总结 、ABx0只有零解Bx0只有零解；第 6 页,共 7 页、Bx0有非零解ABx0肯定存在非零解；12.设向量组Bn r:b b 2,b 可由向量组 rA n s:a a2,a 线性表示为：sb b 2,b ra a2,asK （ BAK ）其中 K 为 s r ,且 A 线性无关,就B 组线性无关r Kr ；（ B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：rr Br AKr K, r Kr,r Kr ；充分性：反证法）注：当 rs时, K 为方阵,可当作定理使用；13.、对矩阵A m n,存在Qn m,AQEmr Am 、 Q 的列向量线性无关；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 、对矩阵A m n,存在P nm,名师精编优秀资料n 、 P 的行向量线性无关；PAEnr A14.1,2,s线性相关0 的数k 1,k2,k ,使得k 11k22kss0成立；（定义）存在一组不全为x 1 1 , 2 , , s x 20 有非零解,即 Ax 0 有非零解；x sr 1 , 2 , , s s,系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设 m n 的 矩 阵 A 的 秩 为 r , 就 n 元 齐 次 线 性 方 程 组 Ax 0 的 解 集 S 的 秩 为 ：r S n r ；16. 如 * 为 Ax b 的一个解,1 , 2 , , n r为 Ax 0 的一个基础解系,就 *, 1 , 2 , , n r线性无关；5、 相 似 矩 阵1.正交矩阵T A AE 或A1T A （定义）,性质：T a a ij1；ij , i j1,2,n；、 A的列向量都是单位向量,且两两正交,即0ij、如 A 为正交矩阵,就A1T A 也为正交阵,且A1、如 A 、 B 正交阵,就AB 也是正交阵；2.留意：求解正交阵,千万不要遗忘施密特正交化 和单位化 ；brar, b ,1r ; 施密特正交化：a1,a2,ararb a 1r1 b 1 b 2ar,bb 1a ；b 2a2b a 12b 1b r,2 b rb r1b b 1b bb b23. 对于一般方阵,不同特点值对应的特点向量线性无关；对于 实对称阵 ,不同特点值对应的特点向量正交；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页