2022年《分析力学》读书报告 .pdf

1 分析力学分析力学研究低速宏观物体机械运动的一般规律。分析力学是理论力学的一个分支，它以普遍原理为基础，利用标量形式的广义坐标来代替矢量力学的矢径，以对能量和功的分析来代替矢量力学中对力和功量的分析，从而有可能利用纯粹数学分析的方法导出基本的运动微分方程，并研究这些方程本身和积分方法。分析力学是独立于牛顿力学的描述力学世界的体系。分析力学的基本原理同牛顿运动三定律之间可以互相推出。分析力学又分为拉格朗日力学和哈密顿力学。前者以拉格朗日量刻划力学系统，运动方程称为拉格朗日方程，后者以哈密顿量刻划力学系统，运动方程为哈密顿正则方程。分析力学是适合于研究宏观现象的力学体系，它的研究对象是质点系。质点系可视为宏观物体组成的力学系统的理想模型，例如刚体、弹性体、流体以及它们的综合体都可看作质点系，质点数可由一到无穷。又如太阳系可看作自由质点系，星体间的相互作用是万有引力，研究太阳系中行星和卫星运动的天体力学，同分析力学密切相关，在方法上互相促进；工程上的力学问题大多数是约束的质点系，由于约束方程类型的不同，就形成了不同的力学系统。例如，完整系统、非完整系统、定常系统、非定常系统等。不同的系统所遵循的运动微分方程不同；研究大量粒子的系统需用统计力学；量子效应不能忽略的过程需用量子力学研究。但分析力学知识在统计力学和量子力学中仍起着重要作用。分析力学对于具有约束的质点系的求解更为优越，因为有了约束方程，系统的自由度就可减少，运动微分方程组的阶数陆之降低，更易于求解。分析力学研究的主要内容是：导出各种力学系统的动力方程，如完整系统的拉格朗日方程、正则方程，非完整系统的阿佩尔方程等；探求力学的普适原理，如汉密尔顿原理、最小作用量原理等；探讨力学系统的特性；研究求解运动微分方程的方法，例如，研究正则变换以求解正则方程；研究相空间代表点的轨迹，以判别系统的稳定性等。分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同。牛顿力学以力、位移、速度、加速度等矢量为基本量。故又称矢量力学。牛顿力学一般取单个质点或刚体为研究对象，以建立坐标、矢量在坐标轴上投影的方法求解。这种求解方法对质点或刚体个数少的不甚复杂的力学系统可以得到满意的结果，且直观性较强。但对于质点或刚体个数较多的复杂系统的力学问题，取单个物体为研究对象就会出现约束力多、方程多、求解困难的问题。分析力学取标量形式的能量和功为基本量。采用广义坐标、广义速度、虚位移等描述系统的运动状态，从能量和功等基本量出发，取整个系统为研究对象，建立系统主动力之间的联系，从而避免了复杂系统中各质点或刚体之间的众多约束力问题，使求解更便捷、更规范。分析力学在处理复杂系统的力学问题，以及过渡到非力学现象方面比牛顿力学更优越。分析力学中也可用变分原理( 如汉密尔顿原理) 导出运动微分方程。它的优点是可以推广到新领域 ( 如电动力学) 和应用变分学中的近似法来解题。从20 世纪 60 年代开始，为了设计复杂的航天器和机器人的需要，发展多刚体系统，并且跳出了使用动力学函数求导的传统方法来建立动力学方程，所建立的方程能方便地应用电子计算机进行计算。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 2 第一章 约束和广义坐标一、约束的概念和分类力学体系中存在的限制质点自由运动的条件称为约束。按不同的标准有不同的分类：按约束是否与时间有关分类：稳定约束、不稳定约束；按质点能否脱离约束分类：可解约束、不可解约束；按约束限制范围分类：几何约束（完整约束）、运动约束（不完整约束）。稳定约束 f(x,y,z)=0 不稳定约束 f(x,y,z，t)=0运动约束（微分约束） f(x,y,z；x，y，z；t)=0f(x,y,z)0 f(x,y,z，t) 0 二、广义坐标 1、自由度描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度。设体系有n 个粒子，一个粒子需要3 个坐标（如x、y、z）描述，而体系受有K个约束条件，则体系的自由度为（3n-K）。 2、广义坐标描述力学体系的独立坐标叫广义坐标。对于 n 个质点的系统，如果有k 个几何约束), 2, 1( ,0);,(111ktzyxzyxfnnn那么独立坐标就减少为 3n-k个。)n3;,2, 1(),(),(),(212121snitqqqzztqqqyytqqqxxsiisiisii或)n3;,2, 1)(,(21snitqqqrrsii式中的sqqq,.,21叫做系统的拉格朗日广义坐标。广义坐标是指唯一地确定质点系位置的独立参数。在系统具有几何约束的条件下，系统的自由度数与广义坐标数相等。常用的广义坐标有线量和角量两种。例如，对约束在空间固定曲线上运动的质点，可用自始点计量的路程S作广义坐标；用细杆约束在竖直平面内摆动的质点，可用杆与铅垂线的夹角作广义坐标。广义坐标对时间的导数称广义速度。不可解约束可积不可积可解约束（完整约束）几何约束非完整约束名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 3 例如：作圆周运动的质点只须角度用描述，广义坐标为，自由度为1，球面上运动的质点，由极角和描述，自由度为2。第二章虚功原理一、实位移与虚位移质点由于运动实际上所发生的位移叫实位移；在某一时刻，在约束允许的情况下，质点可能发生的位移叫虚位移。图 1如果约束为固定约束，则实位移是虚位移中一的个；若约束不固定，实位移与虚位移无共同之处。 例如图 1 中的质点在曲面上运动，而曲面也在移动， 显然实位移rd与虚位移r不一致。虚位移仅与约束条件有关，是纯几何量. 即时性：虚位移不需要时间，虚位移是假想的位移，与时间、力以及质点系的运动情况无关 . 虚位移是无限小的位移；实位移可为无限小也可为有限值. 通常，用r表示虚位移矢量，用zyx、表示虚位移在x、y、z 轴上的投影，或者表示 x、y、z 的变分。虚位移的计算主要指求质点系中各质点的虚位移之间的关系。有几何法和解析法两种。几何法直接利用约束条件求各点虚位移之间关系的一种方法。约束条件是指几何关系、运动关系。解 析 法 用 坐 标 变 分 的 方 法 来 求 各 点 虚 位 移 之 间 关 系 的 一 种 方 法 。niqqrrhkhhii,.,2, 1,1。实位移和虚位移的比较 - 虚位移实位移1. 为约束所允许1. 为约束所允许2. 总为无限小2. 刻意为有限值3. 只与约束条件有关，与力、时间、初始条件无关，是一个纯粹的几何概念3. 除与约束条件有关外，尚与力、时间、初始条件有关4. 一个位置下可以有几组虚位移4. 一个位置下，所能实现的实位移只有一组5. 定常约束中，实位移是虚位移中的一组；非定常约束中，实位移可不同于虚位移名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 4 二、理想约束设质点系受主动力F和约束力R的作用，它们在任意虚位移中作的功叫虚功。若 作 用 在 一 力 学 体 系 上 的 约 束 反 力 在 任 意 虚 位 移 中 所 做 的 虚 功 之 和 为 零 ， 即niiiirRW10，则这种约束叫理想约束 . 光滑面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。引入虚位移的目的：消去约束反力 . 三、虚功原理1、文字叙述和数学表示：受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是：作用于力学体系的诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零。即niiirFw00（ 1）适用条件：惯性系、理想不可解约束。 2、 推论设系统的广义坐标为sqqq,.,21，虚位移可写为用广义坐标变分表示的形式qqrrsii1定义：qrFQiii称为相应于广义坐标q的广义力， 则虚功原理表述为：理想约束的力学体系平衡的充要条件为质点系受的广义力为零，即：),.,2, 10(0sQ（2）此即受有理想完整约束的力学体系在广义坐标系中的平衡方程。必要性：质点系平衡= niiirFw00充分性：niiirFw00= 质点系平衡 3、用虚功原理求解平衡问题的方法步骤一般步骤为：（ 1）确定自由度，选取坐标系，分析力（包括主动力、约束力）；（ 2） 选 取 广 义 坐 标 并 将 各 质 点 坐 标ir表 示 成 广 义 坐 标q的 函 数 ：),.,.,(1siiqqqrr；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 5 （ 3）求主动力的虚功并令其为零：niiirFw00，由此求出平衡条件。4. 虚功原理的应用已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的关系或平衡位置；已知质点系处于平衡状态，求其内力或约束反力. 5. 静力学问题的一般解题步骤 a.确定自由度，选取一组广义坐标； b.将变换方程)(qrrii代入虚功方程01iniirF，令q的系数为零，求解s 个0Q的方程 . 方法一：按定义求qrFQinii1；方法二：qWQ，),.,2 ,1(sW：是仅当q时，各力所作的总虚功. 第三章 拉格朗日方程一、 基本形式的拉格朗日方程 1 、方程的推导由牛顿第二定律并应用理想约束的条件0iirR，可以得到达朗贝尔拉格朗日方程：0)(iiirrmF (1) 将坐标ir的变分改成用广义坐标sqqq,.,21的变分表示，即：qqrrttrqqrriiiii经数学运算， 令iimrT221（称为体系的动能），qrFQii（称为相应于q的广义力），则（1）式变为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - 6 ),.,3, 2, 1(sQqTqTdtd（2）这就是基本形式的拉格朗日方程，应注意：（2）实际是一组方程。其中，q是广义速度，qT是广义动量，Q是广义力。 2、方程的适用条件：理想约束。二、保守系的拉格朗日方程设作用于体系的力全为保守力，则广义力Q可由VFii（V为势能）求得：qVqrFQii在普遍形式的拉氏方程（2）中，由于V不包含广义速度q，可令：VTL（动能与势能的差）为拉格朗日函数，则（2）式变为：),.,3, 2, 1(0sqTqTdtd（3）应指出（ 3）的适用条件为保守系，理想约束，且（3）应用很普遍。L 是力学体系的一个特性函数，表征着约束、运动状态、相互作用等性质。三、循环积分拉格朗日方程是s 个二阶常微分方程组，在某些特殊情况下，一些第一积分容易求得。这其中有循环积分和能量积分。循环坐标：在拉格朗日函数L 中不出现的坐标（指广义坐标，即拉格朗日函数L 中不显含的广义坐标）称为循环坐标（又称为可遗坐标）。若拉氏函数L 中某一坐标iq不出现， 则该坐标 qi叫循环坐标， 则iibqL（常数） ，iqL叫循环积分。说明：（1）力学体系的循环坐标越多，得到的循环积分就越多，对力学问题的求解就越有利；（2）循环坐标的多少，与广义坐标的选取有关。四、能量积分一完整的、保守的力学体系，有s 个自由度用广义坐标及广义速度表出动能：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 7 aqaqqatrmqtrqrmqqqrqrmtrqqrmrmTssiniiiisniiiisniininiiiniii1111211111121112212121212121即012TTTT若力学体系是稳定的2TT=0,0=0aatri以q乘qVqTqTdtd相加，得qqVqqTqqTdtdsss111qqTqqTdtdqqTdtdsss111qqVqqTqqTdtdqqTdtdsss111qqVqqTqqTdtdqqTdtdsss111由于 T 是广义速度的二次齐次函数，由欧拉齐次函数定理TqqTs21又因 T和 V都不显含t ，有sqqTqqTdtdT1sqqVdtdV1dtdVdtdTdtdVdtdTTdtd=)2(EVT=这就是能量积分五、拉格朗日方程的应用1、拉格朗日方程的优点（1）方程的形式简洁名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - 8 例如， n 个质点，受k 个约束，用牛顿定律需3n+k 个方程，而用拉格朗日方程只有3n-k 个方程。（ 2）拉格朗日方程是从能量角度写方程1、与牛顿方程相比，有两个好处：力是矢量，能量是标量，处理方便；力仅是力学范围内的物理量，而能量则是物理学的一个基本物理量，适用范围广。2、缺点 :a 、拉格朗日方程中各项的物理意义不如牛顿力学方程那样明确； b、不能直接利用该方程求约束力； c、对单个物体或简单系统的动力学问题，又是不如牛顿力学简捷。六、应用拉格朗日方程求解问题的步骤，例一般步骤：画草图，确定自由度s 和广义坐标q；分析主动力iF，若为保守系，则求出势能V；若为非保守力，则计算广义力Q；求动能T=T（q）；对保守系，求出L=T-V，进而代入方程 （3），写出运动方程； 对非保守系， 将 T 和广义力Q代入方程 （2），写出运动方程。解方程，求出)(tq。圆环在光滑圆圈上运动，而圆圈绕垂直圆面的轴作匀角速运动，求圆环运动规律。解：方法一：牛顿力学方法方法二：用拉格朗日方程求解。这是光滑圆圈且受的力只有重力和约束力，属于保守体系，可采用保守系的拉氏方程求解。质点自由度为1，转角为广义坐标，广义速度为。任一角度时圆环（视为质点）的动能221mvT，其中绝对速度v 可由速度合成公式求出：rvv这里|v（方向沿切线方向），牵连速度|oprvt，大小为2cos2tv，方向垂直于op。由速度合成公式得到：2cos2222ttvvvvv动能：2cos42cos4212122222222mmvT取圆平面为零势能位置，则V=0，从而 L=T-V=T-0=T 代入拉氏方程（2）中：0LLdtd，得到0sin2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - 9 七、拉格朗日方程概述1、对受完整约束的多自由度质点系的平衡问题，根据虚位移原理，采用广义坐标，得到与自由度相同的一组独立平衡方程，这种用分析方法建立的平衡条件，避开了未知的约束反力，使非自由质点系的平衡问题的求解变得简单。2、对受完整约束的多自由度质点系的动力学问题，可以根据功能原理，采用广义坐标，推导出与自由度相同的一组独立的运动微分方程，这种用广义坐标表示的动力学普遍方程，称为拉格朗日方程。3、拉格朗日方程是着眼于整个系统，避开约束反力，用分析方法给出了系统动力学问题的统一表述，为处理受约束的复杂的系统动力学问题开辟了新的捷径 . 由于拉格朗日方程是用广义坐标且从能量的观点研究系统的动力学问题，而能量是自然界各种不同物理形态的物质运动的统一度量 . 因此，拉格朗日方程的应用就具有较大的普遍性，它不仅适用于机械系统，也适用于电学等其他系统的动力学问题。第四章 哈密顿正则方程一、勒让特变换考虑二元函数),(yxff，其全微分为dyyxvdxyxudf),(),(（4）又考虑乘积ux 关于 u 和 x 的微分公式udxxduuxd)(（5）（5） -（4）得：vduxduuxfd)(（6）这样，我们就由原来关于变量x 和 y 的全微分式（ 4），得出了新的关于变量u 和 y 的全微分公式（ 6）。这种由（ 4）得出（ 5）的变换就称为勒让特变换。与（ 4）对应的是关于独立变量x、 y 的函数),(yxff而与（ 6）对应的是关于独立变量 u、y 的函数),().(yuxufuxfyugg（注意：只要从),(yxuu中解出),(yuxx，再代入uxfg中，就使g 成为 u 和 y 的函数）（又注意：),(),(yyuxfyxf）。拉格朗日方程：一组 s 个广义坐标表示的二阶常微分方程),(tqqLL名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 10 哈密顿方程：一组 2s 个引入广义动量表示的一阶常微分方程),(tpqHH两方程组完全等价。哈密顿方程特点：（1）简单对称；（2）正则变换不变性。二、哈密顿函数设力学体系的广义坐标为q，广义速度为q，则拉格朗日函数),(qqLL, 定义广义动量iqLP，则函数),(PqHqPLH叫哈密顿函数。 它是广义坐标、 广义动量的函数，而广义坐标、广义动量称为正则变量。特例：对保守体系，H=T+V （动能与势能之和）。三、哈密顿正则方程哈密顿函数满足的方程为：tLtHqHPPHqS,.,2, 1（7）由该方程组也可探讨运动规律。方程组（7）叫哈密顿正则方程。“正则”的意思是说形式简单而对称。说明：（ 1）结合初始条件对这2s 个方程求解，即可解得s 个广义坐标和广义动量以时间t为变量的函数，从而完全确定了力学体系的运动状态，由此可见，正则方程即是运动方程；（2）H和 L 一样都是可以确定体系运动的重要特征函数；（3）通常把叫做力学体系的正则变量。由这2s 个正则变量支撑的2s 维抽象空间，构成力学体系的相空间；任一瞬时力学系的广义坐标和广义动量确定了空间中的一个点，称为相点，它标志着力学系的运动状态。四、能量积分与循环积分在一定条件下， 哈密顿正则方程也跟拉格朗日方程一样，可以给出能量积分和循环积分。先讲能量积分。我们知道，哈密顿函数H中的宗量q、p（s,.,2, 1）都是时间的 t 函数，故求H对时间的微商时，应按照数学中复合函数求微商的法则来进行，即tHppHqqHdtdHs1把哈密顿正则方程代入上式中，得tHtHqHpHpHqHdtdHs1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 11 因此若 H中不显含 t ，则因0tH, 故tH也等于 0，因而正则方程这时有一积分 H = h（h 为积分常数） (8) 如果约束为稳定约束，可将动能T 表为广义速度的二次齐次函数，则由哈密顿函数的定义LqpLqpHs1及二次齐次函数的欧拉公式TqqTs21可得VTTVTqqTVTqpLHss2)()(11可见这时 (8) 代表能量积分，在稳定约束时H 就等于力学系统的总能量E=T+V 。如果动能T 不是广义速度的二次齐次函数，即系统所受的约束是不稳定约束，则式（8）将代表广义能量积分。总之，哈密顿函数也是力学体系的特性函数。若为稳定约束，它就是力学体系的动能和势能之和；若为不稳定约束，则它等于VTT12。从上面的计算可以看出：由正则方程得出能量积分，比由拉格朗日方程得出的要简便得多。由于正则方程是q、p 的一阶常微分方程，故这能量积分也就是正则方程的一个积分（即方程的一个最终解）。五、用哈密顿正则方程求解问题的步骤一般步骤为：确定自由度r 和广义坐标q求动能T 和势能V，写出拉格朗日函数),(qqLL。 求广义动量iqLP，将 T 和 V中的q换为P，写出 H=T+V=H（q，P） 、写出正则方程，进而解方程。最后指出：拉格朗日方程和哈密顿正则方程都是分析力学中的基本方程，其作用与牛顿第二定律一样，其中拉氏方程为二阶微分方程，哈密顿正则方程为一阶微分方程，但个数比前者多一倍。六、泊松括号从已求出的初积分中找出新的初积分为泊松方法。设函数是正则变量),.,2, 1(,sqp及时间 t 的函数，即);,.,;,.,(2121tqqqpppss对 t 的微商为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 12 sppqqtdtd1将正则方程pHqqHp代入其中，得HdtdqHppHqtdtdqHppHqtdtdss,11其中，泊松括号sqHppHqH1,泊松括号的性质： 1.0,c，若 c 为常数 . 2.0, 3.若nii1，则nii1, 4.,ccc 5.ttt, 6.0,泊松恒等式 7., 0, 1, pq七、泊松原理如果函数tqp,和函数tqp,是正则方程的两个初积分，则函数,也是正则方程的初积分。泊松定理说明，由正则方程的两个已知初积分可找出第三个初积分；第一第三或第二第三组合又可找出第四个初积分, 可不断求出初积分，这种方法称为泊松方法。证明：因和均为正则方程的初积分，故0,Ht0,HtHt,Ht,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 13 0,0,HtHHHHtHHHHttt,也是正则方程的初积分。备注：新积分有可能为零或只是原有积分的线性组合. 第五章 哈密顿原理一、泛函的概念简单的说，泛函就是定义域是一个函数集，而值域是实数集或者实数集的一个子集，推广开来，泛函就是从任意的向量空间到标量的映射。也就是说，它是从函数空间到数域的映射。设y(x)是给定的函数集，如果对于这个函数集中任一函数y(x) 恒有某个确定的数与之对应，记为n(y(x)，则 n(y(x)是定义于集合 y(x)上的一个泛函。泛函定义域内的函数为可取函数或容许函数，y(x) 称为泛函n 的变量函数。泛函 n(y(x)与可取函数y(x) 有明确的对应关系。泛函的值是由一条可取曲线的整体性质决定的。泛函也是一种“函数” ，它的独立变量一般不是通常函数的“自变量”，而是通常函数本身。泛函是函数的函数。由于函数的值是由自变量的选取而确定的，而泛函的值是由自变量函数确定的，故也可以将其理解为函数的函数。泛函的自变量是函数泛函的自变量称为宗量。二、变分法的概念变分法，是处理泛函的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从 A到 B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。变分法的关键定理是变分法的关键定理是欧拉- 拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个欧拉- 拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。泛函的极值问题就转变为函数的极值问题。泛函的极值条件是泛函的变分等于零。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 14 拉格朗日把变分法用到动力学上。他引进广义坐标sqqq,.,21，动能 T。他又假定力有位势 V，V是 q 的函数 , 又假定 T+V是常量 , 即系统无耗散,令 L=T-V，称为作用量， 拉格朗日的最小作用原理是说真实的运动使作用量取极小值。通过欧拉方程，拉格朗日建立他的运动方程，据此推出了力学的主要定律，并解决了一些新的问题。三、哈密顿原理保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一位形转移到另一位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定值。即对于真实运动来讲，主函数的变分为零。由拉氏方程可得0211dtqqLqLdtdtts但21121212121121100=0=00|ttsttttttttssttLdtSqqLqqLLqqSLdtLdtdtqqLqqLqqLqqLqqLdtdqdtdqLqqLdtdqqLdtd为作用函数或主函数称因为210ttLdt是在保守力系作用下的哈密顿原理的数学表达式。哈密顿原理适用于受理想约束的完整保守系统的重要积分变分原理。210ttLdt式中 LTV 为拉格朗日函数，T 为系统的动能，V 为它的势函数。哈密顿原理可叙述为：拉格朗日函数从时刻t1到 t2的时间积分的变分等于零。它指出，受理想约束的保守力学系统从时刻t1的某一位形转移到时刻t2的另一位形的一切可能的运动中，实际发生的运动使系统的拉格朗日函数在该时间区间上的定积分取驻值，大多取极小值。由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程。哈密顿原理不但数学形式紧凑，且适用范围广泛。如替换L 的内容，就可扩充用于电动力学和相对论力学。此外，也可通过变分的近似算法，用哈密顿原理直接求解力学问题。说明：（ 1）哈密顿原理就是用变分法中求稳定值得办法来挑选真实轨道；是力学变分原理的积分形式；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - 15 （ 2）哈密顿原理和牛顿运动定律等价，是动力学规律的一种表述方式；（ 3）可以从哈密顿原理推出拉格朗日方程和哈密顿正则方程，所以哈密顿原理被称为力学中的第一性原理；（ 4）哈密顿原理比较的是那些始末位置相同、约束所许可得、等时的一切可能运动，且真实运动的作用量S取极小值。四、正则变换1. 正则变换的目的和条件qHppHq,由正则方程知，H不含某个pq 、对应一个积分。而 H中有没有循环坐标，与所选坐标系有关。如果通过坐标和动量的某种变换，使新的H*中出现一些循环坐标，而正则方程的形式不变，为正则变换。设变换后QPqp、则有),.,2, 1( ,),.,2, 1( ,stqpQQstqpPP2. 定理设HQP,显含时间t ，则正则变换的条件是dUdtHHdQPdqpst*1式中 dU为恰当微分，而H*为用新变量pq 、表示的新哈密顿函数。五、几种不同形式的正则变换由于母函数规定得不同，正则变换还可以有下列三种不同的形式，兹分述于下：(1) 式（ 9）dUdtHHdQPdqps)(*1（9）中，变换sdqp1项，即sssdqpqpddqp111代入式（ 9）中，得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 16 tQpdUqptQqUddtHHdQPdqpss,)(11*1（10）此时母函数U1是 p,Q,t的函数，且tUHHsQUPPUq1*1),.,2, 1(,(2) 若在式 (9) 中变换sdqp1项，则用同样方法，可得tPqdUQPtQqUddtHHdQPdqpss,)(21*1（11）且tUHHsPUQqUp2*22);,.,2, 1(,（3）若在式（ 9）中同时变换sdqp1和sdQp1两项，则得tpPdUqpQPtQqUddtHHdpqdPQsss,)(311*1（12）且tUHHspUqPUQ3*33);,.,2, 1(,实际上，这几种不同的变换，是由于母函数中的独立变量规定得不同所致。亦即后三种变换可以看作是从式（9）经过一个勒让特变换得出来的。因为在式（9）两侧同减去sqpd1，即得式 （10）。同理， 如在式 （9）两侧同时加上sQPd1，即得式（11）。如在两侧同时上sqpQPd1，即得式（ 12）。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -