2022年考研数学重点难点归纳辅导笔记及概率易错知识点总结.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 数学重点、难点归纳辅导第一部分第一章 集合与映射§ 1. 集合§ 2. 映射与函数 本章教学要求：懂得集合的概念与映射的概念,把握实数集合的表示法,函数的表示法与函数的一些基本性质；其次章 数列极限§ 1. 实数系的连续性§ 2. 数列极限§ 3. 无穷大量§ 4. 收敛准就 本章教学要求：把握数列极限的概念与定义,把握并会应用数列的收敛准就,懂得实数系具有连续性的分析意义,并把握实数系的一系列基本定理；第三章 函数极限与连续函数§ 1. 函数极限§ 2. 连续函数§ 3. 无穷小量与无穷大量的阶§ 4. 闭区间上的连续函数 本章教学要求：把握函数极限的概念,函数极限与数列极限的关系,无穷小量与无穷大量阶的估量,闭区间上连续函数的基本性质；第四章微分§ 1. 微分和导数§ 2. 导数的意义和性质§ 3. 导数四就运算和反函数求导法就§ 4. 复合函数求导法就及其应用§ 5. 高阶导数和高阶微分 本章教学要求：懂得微分,导数,高阶微分与高阶导数的概念,性质及相互关系,娴熟把握求导与求微分的方法；第五章 微分中值定理及其应用§ 1. 微分中值定理§ 2.L Hospital 法就§ 3. 插值多项式和 Taylor 公式§ 4. 函数的 Taylor 公式及其应用§ 5. 应用举例§ 6. 函数方程的近似求解名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 本章教学要求：把握微分中值定理与函数的 Taylor 公式,并应用于函数性质的讨论,娴熟运用 LHospital 法就运算极限,娴熟应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题；第六章 不定积分§ 1. 不定积分的概念和运算法就§ 2. 换元积分法和分部积分法§ 3. 有理函数的不定积分及其应用本章教学要求：把握不定积分的概念与运算法就,娴熟应用换元法和分部积分法求解不定积分,把握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法；第七章定积分（§1 § 3）§ 1. 定积分的概念和可积条件§ 2. 定积分的基本性质§ 3. 微积分基本定理第七章定积分（§4 § 6）§ 4. 定积分在几何中的应用§ 5. 微积分实际应用举例§ 6. 定积分的数值运算本章教学要求：懂得定积分的概念,坚固把握微积分基本定理：牛顿莱布尼兹公式,娴熟定积分的运算,娴熟运用微元法解决几何,物理与实际应用中的问题,初步把握定积分的数值运算；第八章 反常积分§ 1. 反常积分的概念和运算§ 2. 反常积分的收敛判别法本章教学要求：把握反常积分的概念,娴熟把握反常积分的收敛判别法与反常积分的运算；第九章 数项级数§ 1. 数项级数的收敛性§ 2. 上级限与下极限§ 3. 正项级数§ 4. 任意项级数§ 5. 无穷乘积本章教学要求：把握数项级数敛散性的概念,懂得数列上级限与下极限的概念,娴熟运用各种判别法判别正项级数,任意项级数与无穷乘积的敛散性；第十章 函数项级数§ 1. 函数项级数的一样收敛性§ 2. 一样收敛级数的判别与性质§ 3. 幂级数§ 4. 函数的幂级数绽开名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - § 5. 用多项式靠近连续函数 本章教学要求：把握函数项级数（函数序列）一样收敛性概念,一样收敛性的判别法与一样收敛级数的性质,把握幂级数的性质,会娴熟绽开函数为幂级数,明白函数的幂级数绽开的重要应用；第十一章 Euclid 空间上的极限和连续§ 1.Euclid 空间上的基本定理§ 2. 多元连续函数§ 3. 连续函数的性质本章教学要求：明白Euclid空间的拓扑性质,把握多元函数的极限与连续性的概念,区分它们与一元函数对应概念之间的区分,把握紧集上连续函数的性 质；第十二章多元函数的微分学（§1§ 5）§ 1. 偏导数与全微分§ 2. 多元复合函数的求导法就§ 3.Taylor§ 4. 隐函数公式§ 5. 偏导数在几何中的应用第十二章多元函数的微分学（§6§ 7）§ 6. 无条件极值§ 7. 条件极值问题与 Lagrange 乘数法 本章教学要求：把握多元函数的偏导数与微分的概念,区分它们与一元函数对 应概念之间的区分,娴熟把握多元函数与隐函数的求导方法,把握偏导数在几何上的应用,把握求多元函数无条件极值与条件极值的方法；第十三章 重积分§ 1. 有界闭区域上的重积分§ 2. 重积分的性质与运算§ 3. 重积分的变量代换§ 4. 反常重积分§ 5. 微分形式本章教学要求：懂得重积分的概念,把握重积分与反常重积分的运算方法,会娴熟应用变量代换法运算重积分,明白微分形式的引入在重积分变量代换的表 示公式上的应用；第十四章 曲线积分与曲面积分§ 1. 第一类曲线积分与第一类曲面积分§ 2. 其次类曲线积分与其次类曲面积分§ 3.Green 公式, Gauss公式和 Stokes 公式§ 4. 微分形式的外微分名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - § 5. 场论初步 本章教学要求：把握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与运算方法,把握Green 公式, Gauss公式和 Stokes 公式的意义与应用,懂得外微分的引入在给 出 Green 公式, Gauss公式和 Stokes 公式统一形式上的意义,对场论学问有一 个初步的明白；第十五章 含参变量积分§ 1. 含参变量的常义积分§ 2. 含参变量的反常积分§ 3.Euler 积分本章教学要求：把握含参变量常义积分的性质与运算,把握含参变量反常 积分一样收敛的概念,一样收敛的判别法,一样收敛反常积分的性质及其在积分运算中的应用,把握Euler 积分的运算；Fourier级数的第十六章 Fourier级数§ 1. 函数的 Fourier级数绽开§ 2. Fourier级数的收敛判别法§ 3. Fourier级数的性质§ 4. Fourier变换和 Fourier积分§ 5. 快速 Fourier变换本章教学要求：把握周期函数的Fourier级数绽开方法,把握收敛判别法与 Fourier级数的性质,对 Fourier变换与 Fourier积分有一个初步的明白；试题一、解答以下各题名师归纳总结 1、求极限lim tan xx 2 sinlntan2.f1a,其中a0第 4 页,共 15 页x1 2、求ex1 3exdx .3、求极限lim xx3100x210x101x20 01x00014、设yx23xsin2tdt,求ya05、设f x x2x21,x11；求f 12xx,x6、求极限x lim1x2x1ln7、 设y3 x1 ln3 x1 ,求y8、求11x32dx2x0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9、 设y x 3 x e2x,求dyx1求由方程x23y2a23常数a0 确定的隐函数.310、yy x 的微分dy设yy x 由x 1s 21 2和y1s 212所确定,11、试求dydxxy12、 设yy x 由方程yex所确定 求y13、 如x0 ,证明x2ln1x 22x14、求164xdxx115、求2xdxx21416、求xdx21 .1 x二、解答以下各题1、要做一个圆锥形漏斗,其母线长20 cm , 要使其体积最大, 问其高应为多少2、 求曲线y2x2与yx所围成的平面图形的面积.3、 求曲线yx2和yx3在01,上所围成的平面图形的面积.三、解答以下各题证明方程x57x4 在区间 1,2 内至少有一个实根四、解答以下各题判定曲线yx3x 在0,上的凹凸性其次部分（1） 课程名称 ：微分几何（2） 基本内容 ：三维空间中经典的曲线和曲面的理论；主要内容有：曲线论 ,内容包括：曲线的切向量与弧长；主法向量与从法向量；曲率与扰率； Frenet标架与 Frenet公式；曲线的局部结构；曲线论的基本定名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 理；平面曲线的一些整体性质,如切线的旋转指标定理,凸曲线的几何性质,等周不等式,四顶点定理与Cauchy-Crofton 公式；空间曲线的一些整体性质,如球面的 Crofton 公式, Fenchel定理与 Fary-Milnor 定理；曲面的局部理论 ,内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的其次基本形式；曲面上的活动标架与基本公式；Weingarten 变换与曲面的渐近线、共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss曲率和平均曲 率；曲面的局部结构； Gauss映射与第三基本形式；全脐曲面、微小曲 面与常 Gauss曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量 的平行移动；基本要求 ：通过本课程的学习,同学应把握曲线论与曲面论中的一些基本几何 概念与讨论微分几何的一些常用方法；以便为以后进一步学习、讨论现代几何 学打好基础；另一方面培育同学理论联系实际和分析问题解决问题的才能；二、讲授纲要 第一章 三维欧氏空间的曲线论§1 曲线 曲线的切向量 弧长 教学要求：懂得曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧 长参数表示曲线；§2 主法向量与从法向量 曲率与扰率 教学要求：懂得曲率与挠率、主法向量与从法向量、亲密平面与从切 平面等基本概 念,会运算曲率与挠率；§3 Frenet 标架 Frenet 公式 教学要求：把握 Frenet公式,能运用 Frenet公式去解决实际问题；§4 曲线在一点邻近的性质 教学要求：能表达曲线在一点领域内的局部规范形式,懂得扰率符号 的集合意义；§5 曲线论基本定理 教学要求：把握曲线论的基本定理,能求已知曲率与扰率的一些简洁 的曲线；§6 平面曲线的一些整体性质 61 关于闭曲线的一些概念 62 切线的旋转指标定理名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 63 凸曲线 * 64 等周不等式 * 65 四顶点定理 * 66 Cauchy-Crofton 公式 * 教学要求：懂得平面曲线的一些基本概念：闭曲线、简洁曲线、切线像、相对全曲 率、旋转指标、凸曲线；掌握平面曲线的一些整体性质：简洁闭曲线切线的旋转指标定理,凸曲线的几何性质,等周不等式,四顶点定理与Cauchy-Crofton 公式；§7 空间曲线的整体性质 71 球面的 Crofton 公式 * 72 Fenchel定理 * 73 Fary-Milnor 定理* 教学要求：懂得全曲率的概念；把握空间曲线的一些整体性质：球面 的 Crofton 公 式, Fenchel定理与 Fary-Milnor 定理；其次章 三维欧氏空间中曲面的局部几何§1 曲面的表示 切向量 法向量 11 曲面的定义 12 切向量 切平面 13 法向量 14 曲面的参数表示 15 例 16 单参数曲面族 平面族的包络面 可展曲面 教学要求：把握曲面的三种局部解析表示；会求曲面的切平面与法线；明白旋转曲面与直纹面的表示；把握可展曲面的特征；§2 曲面的第一、其次基本形式 21 曲面的第一基本形式 22 曲面的正交参数曲线网 23 等距对应 曲面的内蕴几何 24 共形对应 25 曲面的其次基本形式名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 教学要求：把握曲面的第一基本形式及相关量曲面上曲线的弧 长、两相交曲线的交角与面积的运算,并懂得其几何意 义；明白等距对应与共形对应；把握其次基本形式；§3 曲面上的活动标架 曲面的基本公式 31 省略和式记号的商定 32 曲面上的活动标架 曲面的基本公式 33 Weingarten变换 W 34 曲面的共轭方向 渐近方向 渐近线 教学要求：把握曲面上的活动标架与曲面的基本公式,能求正交参数曲线网的联络系数；懂得Weingarten变换与共轭方向、渐近方向,会求一些简洁曲线的渐近曲线；§4 曲面上的曲率 41 曲面上曲线的法曲率 42 主方向 主曲率 43 Dupin 标线 44 曲率线 45 主曲率及曲率线的运算 总曲率 平均曲率 46 曲率线网 47 曲面在一点的邻近处的外形 48 Gauss映射及第三基本形式 49 总曲率、平均曲率满意某些性质的曲面 教学要求：懂得法曲率、主方向与主曲率、曲率线、总曲率和平均曲率概念与几何意义,并会对它们进行运算；把握 Gauss映 照及第三基本形式；能对全脐曲面与总曲率为零的曲面进行分类；把握微小曲面的几何意义并会求一些简洁的微小曲面；§5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理 51 曲面的基本方程 52 曲面论的基本定理 教学要求：把握、懂得曲面的基本方程与曲面论基本定理；§6 测地曲率 测地线 61 测地曲率向量 测地曲率 62 运算测地曲率的 Liouville 公式 63 测地线名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 64 法坐标系 测地极坐标系 测地坐标系 65 应用 66 测地扰率 67 Gauss-Bonnet公式教学要求：懂得与把握测地曲率和测地线、测地扰率、法坐标系、测地极 坐标系与测地坐标系的定义及其几何意义；能用 Liouville 公式运算测地曲率与测地线；能用测地极坐标系对总曲率为常数的曲面进行讨论；懂得（局部）Gauss-Bonnet公 式；§7 曲面上的向量的平行移动 71 向量沿曲面上一条曲线的平行移动 确定微分 72 确定微分的性质 73 自平行曲线74 向量绕闭曲线一周的平行移动总曲率的又一种表示75 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系教学要求：懂得向量沿曲面上一条曲线的平行移动与确定微分；习题 ：1. 证明推论 2.3.1,2. 设 X,Y 为 Banach空间,x t : a , b X 是连续抽象函数 , 对有界线性算子b bT : X Y,证明： Tx 在 a , b 上 R 可积,并且 a Tx t dt T a x t dt；t 2 23. 设 C a , b 到 C a , b 中的算子 T 由 Tx t a 1 s x s ds 给出, T 在任一元素 x 处是否 F 可导？如答案确定,求导算子 T x ；4. 设 f 是 R 到 R 中的一个 C 映射；证明：1f 在 x0 R n 处沿方向 h R n 的 G微分 df x 0h 等于 grad f x0 h T, 这里 grad f =（f , f , f , f）, h h 1 , h 2 , h n ;x 1 x 2 x 3 x n在 f x 1 ; , x 3 x 1 x 2 x e x 3 x n 1 x n 和 h ,1 ,2 ,3 0 , ,0 , 0 1, ,nx 0 n , n ,1 , 2,3 1, 的情形下运算 df x 0h ,又问： f 在 x R 处的 F 导数是什么？当 f x x 1 x 2 2x 3 3nx n时求 f x ；2 3 2 2 25. 设 T : R R 由 T x , y x y , xy 3 y , 4 x 5 y 定义,求 T 在（ 1,2）处沿方向（ 1, 1）的 G 微分；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：写Txx2y2,知Tx2x22y3,故所求 G 微分为xy23yy2xyyy4x5y45y0T2111241121；415456. 设 X 、 Y 是赋范线性空间, T ：XY由TxAxy0,xX定义,其Y, ABX, Y ,证明 T 在xX处 F 可微,且求其 F 导算子；解：xX,hX,Txh TxA x,h1y oAxhy oAxAhy oAxyoAh,由于 ABX, Y ,且h0,00,T在 x 处是 F 可微的,且Tx A；y22xz R2,x,y ,z R3确定,求 T7. 设T:R3R2由Tx ,y ,z 3x22y在（ 1,2,1）处的 F 导数；解：采纳列向量表示,T 将 xyz 变换成 3y x2 22 2xz y,故 T 在 xz y 处的 F 导数6 x 2 0应是变换 T 的 Jacobi矩阵,在 x , y , z ,1 ,2 1 处,此矩阵为2 z 2 y 2 x6 2 0,在列向量表示下,T 在（1,2, 1）处的 F 导数作为线性算2 4 2h 1 h 1 h 16 2 0 3子就是此常数矩阵打算的变换：h 2 h 2 , h 2 R , 右端即2 4 2h 3 h 3 h 36 h2 1h 1 2 h4 2h 2 2 h 3 R 2故 T 在（ 1,2, 1）处的 F 导数就是将 h 1 , h 2 , h 3 变换为 6 h 1 2 h 2 , 2 h 1 4 h 2 2 h 3 的线性变换；备注 1：这一答案保持了原题用行向量表达的方式；名师归纳总结 T 在备注 2：当T:R3R2表示为Tx y zh 1h 2h 33 x2y262y2R2,x y z,3 R,我们可得第 10 页,共 15 页2xzx yz处的 F 导数是：x y z0h 1h 2h 33 R,xh 1h 2h 3Tx y z6x220,即T故T2zy2xh 1h 2h 3R32z2y2x1 21h h h16h 12h 12h 24h 22h3,23- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 或T1 21620,算子对向量的作用以相应的矩阵对向量的左乘表242示；第三部分1. 高等代数基本定理设 K 为数域；以 K x 表示系数在 K 上的以 x 为变元的一元多项式的全体；假如 f x a 0 x na 1 x n 1 . a n K x , a 0 0 ,就称 n 为 f x 的次数,记为 deg f x ；定理 （高等代数基本定理）C x 的任一元素在 C 中必有零点；命题 设 f x a 0 x na 1 x n 1 . a n , a 0 0,n 1 是 C 上一个 n 次多项式, a 是一个复数；就存在 C 上首项系数为 a 的 n 1 次多项式 q x ,使得f x q x x a f a 证明 对 n 作数学归纳法；推论 x 为 f x 的零点,当且仅当 x x 0 为 f x 的因式（其中deg f x 1）；命题 （高等代数基本定理的等价命题）设 f x a 0 x na 1 x n 1. a n a 0 0,n 1 为 C 上的 n 次多项式,就它可以分解成为一次因式的乘积,即存在 n 个复数 a 1 , a 2 ,., a n,使f x a 0 x 1 x 2 . x n 证明 利用高等代数基本定理和命题1.3,对 n 作数学归纳法；2高等代数基本定理的另一种表述方式定义 设 K 是一个数域, x 是一个未知量,就等式n n 1a 0 x a 1 x . a n 1 x a n 0（1）（其中 a 0 , a 1 ,., a n K , a 0 0）称为数域 K 上的一个 n 次代数方程 ；假如以x K 带入（ 1）式后使它变成等式,就称 为方程（ 1）在 K 中的一个 根；定理 （高等代数基本定理的另一种表述形式）数域 K 上的 n 1 次代数方程在复数域 C 内必有一个根；命题 n 次代数方程在复数域 C 内有且恰有 n 个根（可以重复）；命题 （高等代数基本定理的另一种表述形式）给定 C 上两个 n 次、 m 次多项式假如存在整整数 l ,lfx na0a 1x.anxnlan0 ,l,l1,使得gxb 0b 1x.b mxm bm0 ,m ,l,及l1个不同的复数1,2,.,就fxgx；figii2,1 ,.,1,1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设f x a xna xn1a ,其中iaK a 00；设f 0的复根为1,2,n（可能有重复）,就1i2x1xn12x1nn.1f x inxa 01nx2x n所以a 11 1 10i 122ni 1i2n；a 0a212；ia0an1 n12n.a0我们记101,2,n1；K a 00；设1,2,n12n；r1,2,n0i1i2iri1ni2ir；（1,2,n称为1,2,n1,2,n12n,n的初等对称多项式 ）；于是有定理 2.5 韦达定理 设f x n a xa xn1a ,其中iaf x 0的复根为1,2,n；就a 11111,2,n；a 0a21221,2,n；a0an1 nn1,2,n.a0命题 给定 R 上 n次方程名师归纳总结 a 0xna 1xn1.an1xan0,a00,第 12 页,共 15 页假如abi 是方程的一个根,就共轭复数1abi 也是方程的根；证明 由已知,a n0. a 0na 1n1.a n两边取复共轭,又由于a 0,a 1,.,anR,所以1a n0. a 0na 1n1.a n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 高等代数试题设L V,V,并且, ,k1都不等于零,但k0,证明：, ,k线性无关1答案：按线性无关的定义证明名师归纳总结 2、令Fn x 表示一切次数不大于 n 的多项式连同零多项式所成的向量空间,f ' x ,求 关于以下两个基的矩阵：第 13 页,共 15 页:fx （1）1, x ,2 x , ,n x ,（2）1,xc,xc2, ,xcn,cF.2n .0100010000200010答：（ 1）（2）000n0001000000003、4 F 表示数域 F 上四元列空间取1151A1123对于4 F ,令A31811397求dimker,dimIm解：R A 2,取4 F 的一个基（如标准基）,按列排成矩阵B,矩阵 AB的列向量恰是这个基的象；又B0,所以RABR（A）2所以dimIm2dimker解空间的秩4R A 24、设 F 上三维向量空间的线性变换关于基1,2,3的矩阵是1511512132320158,求关于基231423的矩阵8763122231231BT1AT2T34231125、令是数域 F 上向量空间 V 的一个线性变换,并且满意条件2,证明：（ 1）kerV（2）VkerIm证明：（ 1）V,就20,Ker反之,Ker,0,V- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于是kerV设V,即VkerIm）又ker,kerIm由Im,有V ,使得,2, 因2,所以（）（所以名师归纳总结 （）0,于是（）0,即0所以kerIm0第 14 页,共 15 页4602,）T,3（1,）T6、设A350,求10 A361解：特点值121,32特点向量1（0,）T2（P（1,2,3）就P1AP,A10P10P1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 概率易错学问点总结（原创）1、“ 非等可能” 与“ 等可能” 的区分假如一次随机试验中可能显现的结果有N 个,而且全部结果显现的可能性都相等,那么每一个基本领件的概率都是1/N；假如其中某个大事A 包含的结果有M 个,就大事 A 的概率为 M/N ；2、互斥与对立 对立肯定互斥,但是互斥不肯定对立；不行能同时发生的两个大事叫做互斥事 件,假如 A,B 互斥就 P（A+B）=P（A）+P（B）,必有一个发生的互斥大事 叫做对立大事,假如 A,B 对立就满意两个条件（ 1）P（AB ）=空集；（ 2）P（A+B）=1；3、互斥与独立 不行能同时发生的两个大事叫做互斥大事,假如A,B 互斥就 P（A+B）=P（A）+P（B）,大事 A（或者 B）是否发生不影响大事 B（或者 A）发生的概率,就 A 和 B 独立；此时 P（AB ）=P（A） p（B）；概率