2022年线性代数期末考试试题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 线性代数期末考试试题一、（32 分）填空（ 2 分 16）1、设四阶行列式 D a ij 的绽开式中有一项 a a a a ,此项前面应带的符号1 0 2为；又设三阶行列式 D 3 3 4 5,其其次行元素的代数余子式之和0 1 1A 21 A 22 A ；1 3 1 22、当 t 时,矩阵 A 1 3 2 1 的秩 r A 2,此时如令矩阵 A 2 6 2 t1 2 3 4,就 A 的列向量组的一个极大无关组为；1 3 * 1 *3、设 A 为四阶方阵,且 A =2,就 A = ,A A = ,（其中 A2为矩阵 A 的相伴矩阵）；名师归纳总结 - - - - - - -4、设38 6 ,3 2 1 ,就 A T,A200；5、 n 阶矩阵 A 为可逆矩阵的充要条件是A 的列向量组线性关；又 A 为正交矩阵的充要条件是A 的行向量组是向量组；6、0 1 0 1 0 0 0 0 11012 13 14 21 0 2 1,1 0 0 0 1 0 2 0 111；7 、 设 二 阶 矩 阵A1 23 2, 矩 阵BC1AC , 就 矩 阵 B 的 对 角 标 准 形为,B1I = ；8、 A为三阶实对称矩阵,且AI , 2AI 不行逆, A 1,就 A 的三个特点值为； 以 A 为 系 数 矩 阵 的 二 次 型fx 1x 2x 3T X AX 的 规 范 形为；共6 页第 2 页第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、（21 分）运算（要求写出运算过程） （6 分+7 分+8 分）1、运算四阶行列式：D1 1 1 a1 1 a 11 a 1 1a 1 1 1满意2A1XA BX （其中A 为矩阵 A 的2、设矩阵A0 1 13 4 11 1 1与B0 1 2 1 1 0名师归纳总结 相伴矩阵）,化简此矩阵方程并求矩阵X ；第 2 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 共 6 页 第 3 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、设12 1 01T,21 11 0T,31 211T为线性方程组 AXB的三个解,rA20的一个基础解系,使它构成一个标准正交向量组；求：此方程组的导出组AX三、（13 分）设线性方程组x 1 23 x 14 x 1x 2 x 2 42 x 3 x 44 x 3 8 x 4x 2 8 x 443 t,求：当 t 取何值时,方程组有解；有解时求出方程组的通解；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 共6 页第 4 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、（14 分）设二次型fx x 2x 32 5 x 14x242 x 36x x 32名师归纳总结 1、写出此二次型的系数矩阵A ；f52 y 152 y 252 y ,求该正2、正交变换 XTY 下,此二次型化为标准形交变换 XTY ；第 6 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 共6 页第 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五、（10 分）设矩阵A1 0 1a 2 b1 0 1名师归纳总结 - - - - - - -1、如 A 能与对角形矩阵相像,就a ,b应满意什么条件,并说明理由；2、如 A 能正交相像于对角形矩阵,就a ,b应满意什么条件；（只需写出结果）第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 共6 页第 6 页名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 六、（10 分）证明题（ 5 分+5 分）1、已知 A 、 B 均为 5× 3 矩阵,证明：矩阵AB 不是可逆矩阵；名师归纳总结 2、设 A 为 n 阶实对称矩阵,且A3I ,求:矩阵 A并说明理由；第 10 页,共 10 页- - - - - - -