反比例函数的神奇.pdf

一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟1. 为何正比例函数的比例系数是比xyk，而反比例函数的比例系数却不是比xyk？2. 为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至多探究一下k的几何意义（面积） ，例如 2016 年台州市中考考查的也是“函数的研究通法”，并非专门深入研究反比例函数.3. 过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴力设元”这一途径，总无法避开多元方程、分式方程、高次方程.4. 个人认为作为老师，不应该只应付中考，而应该研究更纯粹的数学，站在更高的位置来了解数学本质！做到居高临下、解有依据！5. 实际上，反比例函数中也存在很多的“比”，斜比、直比（纵比、横比、纵横比）、面积比，可以说“比比皆是”！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇. 二、一道曾经困惑我多时的中考题某年宁波市中考的填空压轴题: 如图，AOBRt 的顶点B(，)，双曲线xky经过点C、D，当以B、C、D为顶点的三角形与AOB的相似时，则k .1. 常规性解法：通过设元，例如设C(m，m) ，则D(，m) ，再根据条件列方程： (1) 利用CDBC、CDBC、CDBD或CDBD列方程； (2) 利用)(DCCDyyxx列方程； (3)利用“一线三等角”模型、和DDCCyxyx列方程 . 实际上， 在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了， 具体操作方法中也具备了一定的技巧性. 但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！2. 挖掘隐含性质，巧解此题 (1)实际上，此图中含有一些很重要的性质：过点C作yCP轴于P，连接PA，直线CD分别交坐标轴于点M、N. 则有PACD；ANPC，ADPM；DNMC，CNMD.基于以上这些性质，有如下解法. (2)我的第一种解法（整体思想）：由OMON，PMADAN可得，)(PMOMANON，即OPOA，于是OAOP，OPPC， (3)我一个同事的解法（斜边转直比）：由:CNOCMC，DNMC可得，:DNCDMC，转为横比，:)(:)(:DNCDCxxxxx，因此OAxC， (4)我一个学生的解法（斜等转直等）：由CNMD得OAxxCN，则)(CNCxxy， (5)我的第二种解法（平行导角度）：由PACD得，BMNOPAO，于是OAOP， (6)下面我们要着重解决两件事：上述性质是否永远成立？如何证明？解题技巧除上述方法：整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有斜长转直长、面积比与边比互转、纯面积转化等等，后面将一、一介绍.三、探究性质1. 如图，双曲线xky与矩形OABC边交于点M、N，直线MN交坐标轴于点D、E.如图 1，若: ABAM，则CBCN:；如图 2，若: ABAM，则CBCN:；如图 3，若nABAM:，则CBCN:，直线MN与AC的位置关系是，EN与MD的大小关系 .图 1 图 2 图 32. 如图 1，双曲线xky与直线DE交于点M、N，yMA轴于点A，xNC轴于点C，请探究直线MN与AC的位置关系，线段EN与MD的大小关系 .如图 2，双曲线xky与直线EF交于点M、N，yMA轴于A，xMC轴于C，yND轴于D，xNB轴于B，请探究直线MN与AB、CD的位置关系，以及线段ME与FN的大小关系 .图 1 图 2四、最常见思想方法（斜转直）：斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长1. 如图，直线xy反比例函数xky(x) 图象交直线AB于点C、D，且CDAB， 则k的值为 . (1)常规方法（斜长转直长）：ABCD，则CDxxCD，可设C(m，m) ，则D(m，m) ，列方程解决； (2)口算巧解（斜边转直比）：由DBAC，CDAB得，:DBCDAC，转为横比得，:)( :)(:DBCDCxxxxx，则Cx，Cy，2. 同类变式题：如图，直线xy交坐标轴于点A、B，双曲线xky交直线AB于点C、D.若ABCD，则k的值为；3. 难题展示（中国数学教育名师讲堂4，每日一题第8 题， 2017/3/29 ）如图，点A(，) ，B，C在双曲线上，oBAC，AB分别交x，y轴于D，F，AC分别交x，y轴于D，E. (1)求DOE的面积； (2)求证：DBCEADESS四边形.4. 原创清新小题和近年的中考题： (1)如图 1，BCAB，AOB的面积为，则k的值为 . (2)如图 2，点A，B在双曲线xky上运动，xAB轴，BCAC.在运动过程中，ABC的面积是不是定值？答：；若k，且ABC是正三角形，则点A的坐标为 . (3)如图 3，OABC中，oB，OA，双曲线经过点C和AB中点D，则该双曲线的解析式为 . (4)如图 4，直线xy与xy分别与双曲线xky交于点A、B，BCOA，则k的值为 .图 1 图 2 图 3 图 4(5)( 十堰 ) 如图 5，正AOB的边长为，双曲线xky经过点C、D，且OBCD，则k的值为 . (6)如图 6，双曲线xky与直线bmxy交于点C、D.( 原创、铺垫 ) 若m、b，且CDAB，则k；( 常州模拟改编) 若b，且CDAB，则mk；( 杭州模拟改编) 若m，且ADAC，则k . (7)(据上题改编 )如图 7，P为双曲线xy上的动点，过点P作矩形PAOB，直线CD的解析式为bxy，交矩形边于M，N，则DNCM .图 5 图 6 图 7五、面积比、边比互转1. ( 原创、铺垫 ) 如图 1，直线xy与双曲线xy交于点A，C为双曲线上一点，射线CA交y轴于点D，若COD的面积为，则点C坐标为； ( 成都 ) 如图 1，直线xy与双曲线xy交于点A、B，C为双曲线上一点，射线CA交y轴于点D，若BCD的面积为，则点C坐标为 .2.( 无锡 ) 如图 2，xAB轴，BCx轴，双曲线过点C、D，且: DBOD，已知OBC的面积为，则k的值为 .图 1图 1图 33.( 宁波 ) 如图 3，正AOB的顶点A在双曲线xy上，双曲线xy与边OA交于点C，连接BC，则ABC的面积为 .4.( 丽水 ) 如图 4，双曲线xy与直线bxy交于点A、B，AEx轴，设点A的横坐标为m.用含m的式子表示b；若AOF与四边形BCEF的面积和为，则m .5. 如图 5，双曲线xky与直线bmxy交于点C、D. ( 常州模拟 ) 若b，且CODAOBSS，则mk； ( 改编自 ) 若k、m，且CDAB，则CODS .图 3 图 4 图 56. 如图 6，ABx轴，C为AB中点，延长OC到E，延长OA到D，若双曲线xky恰好经过点D，E，且CEOC，则ODOA: .7. 如图 7，双曲线xky过点A，B，xky过点C，D，若AC，BD均与x轴平行，AC，BD，且它们之间的距离EF长为，则kk .8. 如图 8，直线AB交双曲线xy于点C，D，若AOBS，则BOCS .图 6 图 7 图 89. 如图，点A在双曲线xky上，xAB轴，CDAD，DB延长线交y轴于E，若BCE的面积为，则k的值为 .10. 如图，点A、B在双曲线xky上，xAC轴，xBD轴，垂足C、D分别在x轴的正半轴和负半轴上，kCD，ACAB，E是AB的中点，若BCE面积是ADE的倍，则k的值为 .六、反比例函数图象中的“一线三等角”构造，初探黄金比例1. 如图 1，ABC中，BAOB，oOBA，双曲线xky经过点A、B，且点B的纵坐标为，则k的值为 . (1)剖析：对于坐标系中的一个直角，若两条边均“倾斜”，我们经常构造“K”形全等或相似，即“一线三等角”模型，或叫“矩形大法”，见图 2，得m.(2) 后感：我们可以发现，矩形ODCE恰好是一个“黄金矩形”，这到底是一种偶然的巧合，还是一种必然的存在呢？这有待于我们进一步探究 (3)探究 (2016 临沭模拟 ) ：如图 3，双曲线xky与矩形ODCE的边交于点A，B，若设点B的坐标为 (a，b) ，且有ABOB，ABOB，则ba: .图 1 图 2 图 32. 类似题： (2015 临海模拟填空压轴题)如图，ABOA，oOAB，双曲线xky经过点A，双曲线xky经过点B，已知点A的纵坐标为，则k，点B的坐标为 . ( 个人原创 ) 如图 2，ABC中，BAOB，oOBA，双曲线xky经过点B，双曲线xky经过点A，且点B的纵坐标为，则k的值为 . 3. 难题展示（常州于新华老师原创题） (1)如图 1，点A(，) ，B均在双曲线xky上，过点A作y轴垂线，过点B作x轴垂线，两垂线交于点P，垂足分别为E，F，将PAB沿AB翻折，点P恰好落在x轴上的点Q处. 求点B的坐标 . (2)如图 2，点A(，) ，B均在双曲线xky上，过点A作y轴垂线，过点B作x轴垂线，两垂线交于点P，垂足分别为E，F，将PAB沿AB翻折，点P恰好落在x轴上的点Q处. 求点B的坐标 .图 1 图 24. 如图，矩形ABCD的边AB的解析式为kxy，顶点C，D在双曲线xmy上.若ADBtan，则点D的坐标为；连接OC，OD，若COD是等边三角形，则ADBtan .后感：若能发现OBOA，本题将更简单！拓展：如图，正方形ABCD的顶点A、B在双曲线xy上，C、D在双曲线xy上，则正方形ABCD的面积为 .5.(2013湖州模拟 ) 如图 1，矩形OABC的顶点A、B在双曲线xky上，若点A(，) ，则点B的坐标为 .6. 如图 2，矩形ABCD中，ADAB，点A(，) ，点C，D在双曲线xky上，若E为AB中点，则k的值为 .图 1 图 27. 如图 1，点A，B在双曲线xy上运动，以AB为底边作等腰直角ABC，则点C也在一条双曲线上运动，则该双曲线的解析式为；如图 2，点A，B在双曲线xy上运动，以AB为底边作等腰ABC，则点C也在一条双曲线上运动，若CABtan，则该双曲线解析式为；如图 3，点A，B在双曲线xky上运动，以AB为底作等腰ABC，点C在另一双曲线xky上运动，若mCABtan，请用m，k表示 k .图 1 图 2 图 3七、平行导角度，角度导比例1. 如图，点A，B在双曲线xky上，AB经过原点O，过点A作ACx轴，连接BC并延长，交双曲线于点D.求证：CDAD；求BDAD:的值 .根据本题的发现，改编了一个清新小题：如图，点A，B在双曲线xky上，AB经过原点O，过点A的直线bxy交该双曲线于点C，分别交x轴，y轴于点D，E，若BC，AC. 求k的值 .2. 如图，直线xy交在双曲线xky于点A、B，AB经过原点O，过A作ABAC交y轴于点C，连接BC并延长，交双曲线于点D.求BDAD:的值 .3. 如图，双曲线xky与过原点的直线l交于点A、B，点M在双曲线上，直线AM、BM分别交y轴于点P、Q. 若设PMmAM，QMnBM，则nm .4. 如图，ABOA，双曲线经过点C、D、E，求证：AEACAD. 八、纯面积推导1. 如图，点A(，) ，B，C在双曲线上，oBAC，AB分别交x，y轴于D，F，AC分别交x，y轴于D，E.求证：DBCEADESS四边形. ( 此方法感谢江苏于新华老师的指导！)2.(2016菏泽 ) 如图，AOC，ABD均是等腰直角三角形，双曲线xy经过点B，交线段OA与点E，求AOC与ABD的面积之差 .后感：题中条件“AOC，ABD均是等腰直角三角形”可如何改变？写出OA，OE，AB的关系： .3.( 十堰 ) 如图 5，正AOB的边长为，双曲线xky经过点C、D，且OBCD，则k的值为 . 4.( 常州 ) 如图 1，ABOA，双曲线经过点C、D，且abOCBD，求ADAC的值；5. 如图 2，ABOA，双曲线经过点C、D、E，求证：AEACAD. 图 1 图 2