平面向量数量积运算主题材料(附答案解析).doc
平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2014天津)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若1，则的值为_.(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么的最小值为()A.4 B.3C.42 D.32变式训练1(2015湖北)已知向量，|3，则_.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2(1)(2015重庆)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B. C. D.(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|2，|b|3，则2ab与a2b的夹角的余弦值等于()A. B. C. D.变式训练2(2014课标全国)已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_.题型三利用数量积求向量的模例3(1)已知平面向量a和b，|a|1，|b|2，且a与b的夹角为120，则|2ab|等于()A.2 B.4C.2 D.6(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_.变式训练3(2015浙江)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.高考题型精练1.(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a，ABC60，则等于()A.a2 B.a2C.a2 D.a2 2.(2014浙江)记maxx，yminx，y设a，b为平面向量，则()A.min|ab|，|ab|min|a|，|b|B.min|ab|，|ab|min|a|，|b|C.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2D.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|23.(2015湖南)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为()A.6 B.7C.8 D.94.如图，在等腰直角ABO中，OAOB1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设a，b，p，则p(ba)等于()A. B.C. D.5.在平面上，|1，.若|<，则|的取值范围是()A.(0， B.(，C.(， D.(，6.如图所示，ABC中，ACB90且ACBC4，点M满足3，则等于()A.2 B.3C.4 D.67.(2014安徽)设a，b为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A. B. C. D.08.(2014江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_.9.设非零向量a，b的夹角为，记f(a，b)acos bsin .若e1，e2均为单位向量，且e1e2，则向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为_.10.如图，在ABC中，O为BC中点，若AB1，AC3，60，则|_.11.已知向量a(sin x，)，b(cos x，1).当ab时，求cos2xsin 2x的值；12.在ABC中，AC10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD5，且满足.(1)求|；(2)存在实数t1，使得向量xt，yt，令kxy，求k的最小值.平面向量数量积运算题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2014天津)已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若1，则的值为_.(2)已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为切点，那么的最小值为()A.4 B.3C.42 D.32答案(1)2(2)D解析(1)如图，()()()()22cos 120222222cos 1202，又1，1，2.(2)方法一设|x，APB，则tan ，从而cos .|cos x2x21323，当且仅当x21，即x21时取等号，故的最小值为23.方法二设APB，0<<，则|.|cos ()2cos (12sin2).令xsin2，0<x1，则2x323，当且仅当2x，即x时取等号.故的最小值为23.方法三以O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，则圆O的方程为x2y21，设A(x1，y1)，B(x1，y1)，P(x0,0)，则(x1x0，y1)(x1x0，y1)x2x1x0xy.由OAPA(x1，y1)(x1x0，y1)0xx1x0y0，又xy1，所以x1x01.从而x2x1x0xyx2x(1x)2xx323.故的最小值为23.点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a，b的数量积ab与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：ab0时得不到a0或b0，根据平面向量数量积的性质有|a|2a2，但|ab|a|b|.变式训练1(2015湖北)已知向量，|3，则_.答案9解析因为，所以0.所以()2|20329.题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2(1)(2015重庆)若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B.C. D.(2)若平面向量a与平面向量b的夹角等于，|a|2，|b|3，则2ab与a2b的夹角的余弦值等于()A. B.C. D.答案(1)A(2)B解析(1)由(ab)(3a2b)得(ab)(3a2b)0，即3a2ab2b20.又|a|b|，设a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2cos 2|b|20.cos .又0，.(2)记向量2ab与a2b的夹角为，又(2ab)242232423cos 13，(a2b)222432423cos 52，(2ab)(a2b)2a22b23ab81891，故cos ，即2ab与a2b的夹角的余弦值是.点评求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2(2014课标全国)已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_.答案90解析()，点O是ABC中边BC的中点，BC为直径，根据圆的几何性质得与的夹角为90.题型三利用数量积求向量的模例3(1)已知平面向量a和b，|a|1，|b|2，且a与b的夹角为120，则|2ab|等于()A.2 B.4C.2 D.6(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_.答案(1)A(2)5解析(1)因为平面向量a和b，|a|1，|b|2，且a与b的夹角为120，所以|2ab| 2.(2)方法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值为5.方法二设x(0<x<1)，(1x)，x，(1x)，3(34x)，|3|222(34x)(34x)2225(34x)2225，|3|的最小值为5.点评(1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a(x，y)，求向量a的模只需利用公式|a|即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a的模进行如下转化：|a|.变式训练3(2015浙江)已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2.若平面向量b满足be1be21，则|b|_.答案解析因为|e1|e2|1且e1e2.所以e1与e2的夹角为60.又因为be1be21，所以be1be20，即b(e1e2)0，所以b(e1e2).所以b与e1的夹角为30，所以be1|b|e1|cos 301.所以|b|.高考题型精练1.(2015山东)已知菱形ABCD 的边长为a，ABC60，则等于()A.a2 B.a2C.a2 D.a2 答案D解析如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120.BD2BC2CD22BCCDcos 120a2a22aa3a2，BDa.|cos 30a2a2.2.(2014浙江)记maxx，yminx，y设a，b为平面向量，则()A.min|ab|，|ab|min|a|，|b|B.min|ab|，|ab|min|a|，|b|C.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2D.max|ab|2，|ab|2|a|2|b|2答案D解析由于|ab|，|ab|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故A，B错.当a，b夹角为锐角时，|ab|>|ab|，此时，|ab|2>|a|2|b|2；当a，b夹角为钝角时，|ab|<|ab|，此时，|ab|2>|a|2|b|2；当ab时，|ab|2|ab|2|a|2|b|2，故选D.3.(2015湖南)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为()A.6 B.7C.8 D.9答案B解析A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，AC为圆直径，故2(4,0)，设B(x，y)，则x2y21且x1,1，(x2，y)，(x6，y).故|，x1时有最大值7，故选B.4.如图，在等腰直角ABO中，OAOB1，C为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线l，P为垂线上任一点，设a，b，p，则p(ba)等于()A. B.C. D.答案A解析以OA，OB所在直线分别作为x轴，y轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(0,1)，C(，)，直线l的方程为yx，即xy0.设P(x，x)，则p(x，x)，而ba(1,1)，所以p(ba)x(x).5.在平面上，|1，.若|<，则|的取值范围是()A.(0， B.(，C.(， D.(，答案D解析由题意，知B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心，为半径的圆的内部.又，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O点重合时，|取得最大值，当P在半径为的圆周上时，|取得最小值，故选D.6.如图所示，ABC中，ACB90且ACBC4，点M满足3，则等于()A.2 B.3C.4 D.6答案C解析在ABC中，因为ACB90且ACBC4，所以AB4，且BA45.因为3，所以.所以()221644cos 1354.7.(2014安徽)设a，b为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()A. B. C. D.0答案B解析设a与b的夹角为，由于xi，yi(i1,2,3,4)均由2个a和2个b排列而成，记S(xiyi)，则S有以下三种情况：S2a22b2；S4ab；S|a|22ab|b|2.|b|2|a|，中S10|a|2，中S8|a|2cos ，中S5|a|24|a|2cos .易知最小，即8|a|2cos 4|a|2，cos ，可求，故选B.8.(2014江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_.答案22解析由3，得，.因为2，所以()()2，即222.又因为225，264，所以22.9.设非零向量a，b的夹角为，记f(a，b)acos bsin .若e1，e2均为单位向量，且e1e2，则向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为_.答案解析由e1e2，可得cose1，e2，故e1，e2，e2，e1e2，e1.f(e1，e2)e1cos e2sin e1e2，f(e2，e1)e2cos (e1)sin e1e2.f(e1，e2)f(e2，e1)(e1e2)(e1e2)e1e20，所以f(e1，e2)f(e2，e1).故向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为.10.如图，在ABC中，O为BC中点，若AB1，AC3，60，则|_.答案解析因为，60，所以|cos 6013，又()，所以2()2(222)，即2(139)，所以|.11.已知向量a(sin x，)，b(cos x，1).(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b2，sin B，求f(x)4cos(2A)(x0，)的取值范围.解(1)因为ab，所以cos xsin x0.所以tan x.故cos2xsin 2x.(2)f(x)2(ab)b2(sin xcos x，)(cos x，1)sin 2xcos 2xsin(2x).由正弦定理，得，所以sin A.所以A或A.因为b>a，所以A.所以f(x)4cos(2A)sin(2x).因为x0，所以2x，.所以1f(x)4cos(2A).所以f(x)4cos(2A)的取值范围为1，.12.在ABC中，AC10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD5，且满足.(1)求|；(2)存在实数t1，使得向量xt，yt，令kxy，求k的最小值.解(1)由，且A，B，D三点共线，可知|.又AD5，所以DB11.在RtADC中，CD2AC2AD275，在RtBDC中，BC2DB2CD2196，所以BC14.所以|14.(2)由(1)，知|16，|10，|14.由余弦定理，得cos A.由xt，yt，知kxy(t)(t)t|2(t21)t|2256t(t21)1610100t80t2356t80.由二次函数的图象，可知该函数在1，)上单调递增，所以当t1时，k取得最小值516.
