2022年高三第二轮专题复习系列05 .pdf
第 1 页 共 27 页高三数学第二轮专题复习系列(5)-平面向量一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、 填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题. 2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大， 以解析几何中的常规题为主 . 3.向量在空间中的应用在B 类教材中 .在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质. 在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页第 2 页 共 27 页一类是根据向量的概念、定理、 法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算表达了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力。五、典型例题平面向量【例 1】在以下各命题中为真命题的是( ) 假设a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，则ab=x1y1+x2y2假设 A( x1,y1)、B(x2,y2)，则AB =221221)()(yyxx假设a=(x1,y1)、b=(x2,y2),则ab=0 x1x2+y1y2=0 假设a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，则abx1x2+y1y2=0 A、B、C、D、解： 根据向量数量积的坐标表示；假设a=(x1,y1), b=(x2,y2)，则ab=x1x2+y1y2，对照命题 (1)的结论可知，它是一个假命题、于是对照选择支的结论、可以排除(A) 与(D) ，而在 (B) 与(C)中均含有 (3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就以排除了(C)，应选择 (B) 、说明： 对于命题 (3)而言，由于ab=0a=0或b=0或abx1x2+y1y2=0，故它是一个真命题、而对于命题 (4)来讲，abx1x2+y1y2=0、 但反过来，当 x1x2+y1y2=0 时， 可以是 x1=y1=0，即a=0，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x1x2+y1y2=0ab)，所以命题 (4)是个假命题、【例 2】已知a=(3,1), b=(1, 3)，那么a，b的夹角 =( )A、30B、60C、120D、150精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页第 3 页 共 27 页解：ab=(3,1) (1，3)=23a=22) 1()3(=2 b=22)3(1=2 cos=baba?=2232=23【例 3】已知a=(2,1), b=(1,3),假设存在向量c使得：ac=4, bc=9，试求向量c的坐标、解： 设c=(x,y),则由ac=4 可得：2x+y=4；又由bc=9 可得： x+3y=9 于是有：9342yxyx)2()1 (由(1)+2(2) 得 7y=14, y=2,将它代入 (1)可得： x=3 c=(3,2)、说明： 已知两向量a，b可以求出它们的数量积ab，但是反过来， 假设已知向量a及数量积ab，却不能确定b、【例 4】求向量a=(1,2)在向量b=(2， 2)方向上的投影、解： 设向量a与b的夹角 、有 cos=baba?=2222)2(221)2(221=1010a在b方向上的投影=acos=5 (1010)=22【例 5】已知 ABC 的顶点分别为A(2 ，1)，B(3，2)，C(3，1)，BC 边上的高 AD ，求AD及点 D 的坐标、解： 设点 D 的坐标为 (x,y) AD 是边 BC 上的高，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页第 4 页 共 27 页AD BC，ADBC又 C、B、D 三点共线，BCBD又AD=(x2,y1), BC=(6,3) BD=(x3,y2) 0)3(3)2(60)1(3)2(6xyyx解方程组，得x=59,y=57点 D 的坐标为 (59，57)，AD的坐标为 (51，52) 【例 6】设向量a、b满足：ab=1，且a+b=(1，0)，求a，b、解： ab=1，可设a=(cos,sin ), b=(cos,sin )、a+b=(cos+cos,sin +sin )=(1,0)，)2(0sinsin) 1(1coscos由(1)得： cos=1 cos (3)由(2)得： sin = sin (4)cos=1 cos=21sin =23,sin=2323,2123,21ba或23,2123,21ba【例 7】对于向量的集合A=v=(x,y)x2+y2 1 中的任意两个向量1v、2v与两个非负实数 、 ；求证：向量1v+2v的大小不超过+、证明： 设1v=(x1,y1)，2v=(x2,y2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页第 5 页 共 27 页根据已知条件有：x21+y21 1, x22+y221又因为 1v+2v=221221)()(yyxx=)(2)()(21212222221212yyxxyxyx其中 x1x2+y1y22121yx2222yx1所以 1v+2v222=+= +【例 8】已知梯形 ABCD 中， ABCD， CDA= DAB=90 ,CD=DA=21AB 、求证： AC BC 证明： 以 A 为原点， AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系、如图，设AD=1 则 A(0，0)、 B(2，0)、C(1，1)、D(0，1) BC=(1,1), AC=(1,1) BCAC=1 1+1 1=0 BCAC 、【例 9】已知 A(0 ，a),B(0,b),(0 a b)，在 x 轴的正半轴上求点C，使 ACB 最大，并求出最大值、解，设 C(x,0)(x0) 则CA=(x,a), CB=(x,b) 则CACB=x2+ab、cosACB=CBCACBCA?=22222bxaxabx令 t=x2+ab 故 cos ACB=11)(1)(1222?tbatbaab当t1=ab21即 t=2ab 时， cosACB 最大值为baab2、当 C 的坐标为 (ab,0)时， ACB 最大值为arccosbaab2、【例 10】 如图，四边形ABCD 是正方形， P 是对角线BD 上的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页第 6 页 共 27 页一点， PECF 是矩形，用向量法证明(1)PA=EF (2)PAEF 证明： 建立如下图坐标系，设正方形边长为1，OP=, 则 A(0，1)，P(22 ，22)，E(1，22)，F(22 ，0) PA=(22 ,1 22 ), EF=(22 1,22)(1)PA2=(22)2+(122)2=22+1EF2=(22 1)2+(22)2=22+1PA2=EF2,故 PA=EF (2) PAEF=(22 )(22 1)+(1 22 )( 22 )=0PAEFPAEF、【例 11】已知).1 ,2(),0, 1(ba求|3|ba；当 k 为何实数时 ,kab与ba3平行 , 平行时它们是同向还是反向？解：ba3= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , |3|ba= 2237=58 . kab= k(1,0)(2,1)=(k2,1). 设 kab=(ba3),即(k2,1)= (7,3), 3172k3131k. 故 k= 31时, 它们反向平行 . 【例 12】 已知, 1| , 2|baa与b的夹角为3,假设向量bka2与ba垂直 , 求 k. 解：3cos|baba=2 121=1. bka2与ba垂直 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页第 7 页 共 27 页(bka2)(ba= 0, 20222bkbakbaak = 5. 【例 13】 如果 ABC的三边 a、 b、c 满足 b2+ c 2 = 5a2,BE 、 CF分别为 AC边与 AB上的中线 , 求证： BE CF. 解：22222222211(),()221()41111()()(4222BEBABC CFCBCABE CFBA BCAB ACBCCB CABABCACABACBCBCCAC22222222)11(5)(5)0,88BBAABACBCbcaBECF, 即 BECF .【例 14】 是否存在4 个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直? 解： 如下图，在正 ABC 中， O 为其内心， P 为圆周上一点，满足PA，PB，PC，PO两两不共线，有(PA+PB) (PC+PO) =(PO+OA+PO+OB) (PO+OC+PO) =(2PO+OA+OB) (2PO+OC) =(2POOC) (2PO+OC) =4PO2OC2=4PO2OC2=0 有(PA+PB)与(PC+PO)垂直、同理证其他情况、从而PA，PB，PC，PO满足题意、故存在这样4 个平面向量、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页第 8 页 共 27 页平面向量的综合应用1利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题【例 15】已知向量321,OPOPOP满足条件0321OPOPOP，1321OPOPOP，求证：321PPP是正三角形解：令 O 为坐标原点，可设333222111sin,cos,sin,cos,sin,cosPPP由321OPOPOP，即332211sincossin,cossin,cos321321sinsinsincoscoscos两式平方和为11cos2121，21cos21，由此可知21的最小正角为0120，即1OP与2OP的夹角为0120，同理可得1OP与3OP的夹角为0120，2OP与3OP的夹角为0120，这说明321,PPP三点均匀分部在一个单位圆上，所以321PPP为等腰三角形. 【例 16】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图， 分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系，设aBaA2, 0,0 ,2，则aCaD,0,0,，从而可求：aaBDaaAC2,2, aaaaaaBDACBDAC552,2cos=545422aa. 54arccos. 2利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题【例 17】已知ABC，AD 为中线，求证2222221BCACABAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页第 9 页 共 27 页证明：以 B 为坐标原点，以BC所在的直线为x轴建立如图2 直角坐标系，设0,cCbaA，0,2cD，则222222402baaccbacAD，222221BCACAB. =442122222222cacbacbacba，从而2AD222221BCACAB，2222221BCACABAD. 3利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量【例 18】已知点O是，内的一点，0090BOC150AOBABC,OAcOCbOBa设且, 3, 1, 2cba试用.,cba表示和解：以 O 为原点， OC ，OB 所在的直线为x轴和y轴建立如图3 所示的坐标系. 由 OA=2，0120AOx，所以,31-A,120sin2,120cos200，即A，易求3,0C1-0B，设12121212OA,-130 -13,0- 3-13.13-3OBOC 即，133abc. 【例 19】如图，001,OB120 OCOA30 , OC5OAOBOA与的夹角为，与的夹角为，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页第 10 页 共 27 页用OA OB，表示.OC解：以 O 为坐标原点， 以 OA 所在的直线为x轴，建立如下图的直角坐标系，则0, 1A，即，所以由25235C,30sin5,5cos30C30COA00023,21B同理可求12125 3 513OC,1 0-,2222OAOB即，.3353310232521-23521221，OBOAOC3353310. 4利用向量的数量积解决两直线垂直问题【例 20】 如图，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD 是菱形，且 C1CB=C1CD=BCD. (1)求证： C1CBD. (2)当1CCCD的值为多少时， 能使 A1C平面 C1BD？请给出证明. (1)证明：设CD=a,CD=b,1CC=c,依题意， |a|=|b|，CD、CB、1CC中两两所成夹角为 ，于是DBCDBD=ab，BDCC1=c(ab)=c a c b=|c| |a|cos |c| |b|cos =0,C1CBD. (2)解：假设使A1C平面 C1BD，只须证A1CBD，A1CDC1，由)()(1111CCCDAACADCCA=(a+b+c) (ac)=|a|2+a bb c|c|2=|a|2 |c|2+|b| |a|cos |b| |c| cos =0,得当|a|=|c|时， A1CDC1，同理可证当 |a|=|c|时， A1CBD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页第 11 页 共 27 页1CCCD=1 时， A1C平面 C1BD. 【例 21】 如图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面 ABC 中，CA=CB=1， BCA=90 ，AA1=2，M、 N 分别是A1B1、A1A的中点 . (1)求BN的长；(2)求 cos的值；(3)求证： A1BC1M. 解： (1)如图，以C 为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 依题意得： B(0，1，0)，N(1，0， 1) |BN|=3)01() 10()01(222. (2)解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，0， 0)， B1(0，1， 2). 1BA=1),2, 1, 1(CB=(0，1， 2) 11CBBA=1 0+(1) 1+2 2=3 |1BA|=6)02() 10()01(2225)02()01()00(|2221CB.1030563|,cos111111CBBCCBBACBBA(3)证明：依题意得：C1(0，0，2)，M(2,21,21) )2, 1 , 1(),0,21,21(11BAMC,00)2(21121)1(1111MCBAMCBAA1BC1M.5利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离. 【例 22】求平面内两点),(),(2211yxByxA间的距离公式解：设点),(),(2211yxByxA，),(1212yyxxAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页第 12 页 共 27 页212212)()(|yyxxAB,而|ABAB点A与点B之间的距离为：212212)()(|yyxxAB6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题. 【例 23】证明 : sinsincoscos)cos(证明： 在单位圆 O 上任取两点BA,，以Ox为始边， 以OBOA,为 终 边 的 角 分 别 为,， 则A点 坐 标 为),sin,(cosB点坐标为)sin,(cos；则向量OA),sin,(cosOB)sin,(cos，它们的夹角为，, 1|OBOAsinsincoscosOBOA,由向量夹角公式得：|)cos(OBOAOBOAsinsincoscos,从而得证 . 注：用同样的方法可证明)cos(sinsincoscos7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.【例 24】证明柯西不等式2212122222121)()()(yyxxyxyx证明：令),(),(2211yxbyxa（1） 当0a或0b时，02121yyxxba，结论显然成立；（2） 当0a且0b时，令为ba,的夹角，则,0cos|2121bayyxxba. 又1|cos|baba当且仅当ba /时等号成立222221212121|yxyxyyxx2212122222121)()()(yyxxyxyx.当且仅当2211yxyx时等号成立【例 25】求xxxxy22cos3cossin2sin的最值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页第 13 页 共 27 页解：原函数可变为xxy2cos2sin2，所以只须求xxy2cos2sin的最值即可，构造1 , 1,2cos,2sinbxxa，那么22cos2sinbabaxx. 故22,22minmaxyy. 【例 26】三角形 ABC 中， A(5， 1)、B(1，7)、C(1，2)，求： (1)BC 边上的中线AM 的长； (2)CAB的平分线AD 的长； (3)cosABC的值 . 解： (1)点 M 的坐标为xM=)29,0(,29227;0211MyM.2221)291()05(|22AM5)21() 15(| ,10)71()15(|)2(2222ACABD 点分BC的比为 2. xD=31121227,3121121Dy.2314)3111()315(|22AD(3)ABC 是BA与BC的夹角，而BA=(6，8 ，BC=(2， 5. 1452629291052)5(2)8(6)5()8(26|cos2222BCBABCBAABC解斜三角形【例 1】已知 ABC 的三个内角A、B、C 满足A+C=2B.BCAcos2cos1cos1，求cos2CA的值 . 解法一：由题设条件知B=60 ，A+C=120 . 设 =2CA，则 AC=2 ，可得 A=60 + ，C=60 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页第 14 页 共 27 页,43coscossin43cos41cossin23cos211sin23cos211)60cos(1)60cos(1cos1cos1222CA所以依题设条件有,cos243coscos2B.2243coscos,21cos2B整理得 42cos2 +2cos 32=0(M) (2cos 2)(22cos +3)=0， 22cos +30 ，2cos 2222CA. 解法二：由题设条件知B=60 ，A+C=12022cos1cos1,2260cos2CA，把式化为cosA+cosC=22cosAcosC，利用和差化积及积化和差公式，式可化为)cos()cos(22cos2cos2CACACACA，将 cos2CA=cos60 =21，cos(A+C)=21代入式得：)cos(2222cosCACA将 cos(AC)=2cos2(2CA)1 代入：42cos2(2CA)+2cos2CA32=0， (*) ，.222cos:, 022cos2, 032cos22,0)32cos22)(222cos2(CACACACACA从而得【例 2】在海岛 A 上有一座海拔1 千米的山，山顶设有一个观察站 P，上午 11 时，测得一轮船在岛北30 东，俯角为 60精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页第 15 页 共 27 页的 B 处，到 11 时 10 分又测得该船在岛北60 西、俯角为30 的 C 处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？解： (1)在 RtPAB 中， APB=60PA=1， AB=3(千米 ) 在 RtPAC 中， APC=30 ， AC=33(千米 ) 在ACB 中， CAB=30 +60 =90)/(30261330330)3()33(2222时千米ABACBC(2)DAC=90 60 =30sinDCA=sin(180 ACB)=sinACB=101033303BCABsinCDA=sin(ACB30 )=sinACB cos30 cosACB sin30 10103. 2010)133()10103(121232在ACD 中，据正弦定理得CDAACDCAADsinsin，13392010)133(1010333sinsinCDADCAACAD答：此时船距岛A 为1339千米 . 【 例3 】 已 知 ABC的 三 内 角A 、 B 、 C 满 足A+C=2B ， 设x=cos2CA，f(x)=cosB(CAcos1cos1). (1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；(2)判断其单调性，并加以证明；(3)求这个函数的值域. 解： (1)A+C=2B， B=60 ，A+C=120精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页第 16 页 共 27 页,3421221)cos()cos(2cos2cos2coscoscoscos21)(22xxxxCACACACACACAxf0|2CA|60 ， x=cos2CA (21，1又 4x2 30 ， x23，定义域为 (21，23)(23，1 . (2)设 x1x2， f(x2)f(x1)=342342211222xxxx=)34)(34()34)(222212121xxxxxx，假设x1，x2(23,21)，则4x1230， 4x22 30，4x1x2+30，x1x20， f(x2)f(x1)0 即 f(x2)f(x1)，假设 x1，x2(23，1 ，则 4x1230. 4x22 30，4x1x2+30，x1 x2 0， f(x2) f(x1) 0. 即 f(x2)f(x1)， f(x)在(21,23)和 (23，1上都是减函数 . (3)由(2)知， f(x)f(21)=21或 f(x) f(1)=2. 故 f(x)的值域为 ( ，21) 2，+). 【例 4】在ABC中，角CBA、所对的边分别为cba、假设Cacb60cos2，求角A解：由正弦定理，将已知等式中的边转化为角可得CACB60cossin2sinsin. 因为CBA，故有CACACCAsinsin3cossinsinsin，CACCAsinsin3sinsincos. 又0sinC, 1sin3cosAA, 即216sin A，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页第 17 页 共 27 页由A0，可解得32A【例 5】在ABC中，已知CBACy2coscoscos2. 1假设任意交换CBA,的位置，y的值是否会发生变化?试证明你的结论；2求y的最大值 . 解： 1CBACy2coscoscos2CBABA2coscoscos2CBA2cos2cos2cos212CBA222cos1cos21cos2212CBA222coscoscos3CBA222sinsinsin， 任意交换CBA,的位置，y的值不会发生变化2解法 1：将y看作是关于Ccos的二次函数 . CBACy2coscoscos22cos41cos21cos22BABAC. 所以， 当BACcos21cos，且BA2cos取到最大值1 时，也即3CBA时，y取得最大值49解法 2：用调整的方法, 也即对于每个固定的C的值，去调整BA,，求出y取得最大值时BA,所满足的条件对于CBACy2coscoscos2，如果固定C，则可将y看作是关于BAcos的一次或常数函数为了讨论其最大值，显然应该考虑Ccos的符号，并由此展开讨论假设0cosC，则2BA，所以，0cosBA，所以，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页第 18 页 共 27 页CCCyCCCCCCCCCBACCBAy,2,2cos22coscos2coscos2cos2cos2coscoscos2,22222所以，只需考虑0cosC的情形此时y是关于BAcos的常数函数或单调递增的一次函数，因此，最大值必可在1cosBA即2 CBA时取得所以，CBACy2coscoscos2494921coscoscos222CCC，等号当且仅当3CBA时取得六、专题练习【平面向量练习】一、选择题：1、以下各式中正确的选项是C 1( a) b= (a b)=a (b), 2 | ab|=| a| | b|, 3(a b) c=a (b c), 4(a+b) c= ac+bcA 1 3B 2 4C 1 4D以上都不对. 2、在 ABC中,假设 ( CA+CB )( CA CB )=0,则 ABC为C A正三角形B直角三角形C等腰三角形D无法确定3、假设 | a|=| b|=| ab|,则 b 与 a+b 的夹角为AA30B60C150D1204、已知 | a|=1,| b|=2,且(ab)和 a 垂直 ,则 a 与 b 的夹角为D A60B30C135D45精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页第 19 页 共 27 页5、假设AB BC+ 2AB = 0,则 ABC为AA直角三角形B钝角三角形C锐角三角形D等腰直角三角形6、设 | a|= 4,| b|= 3, 夹角为 60, 则 | a+b| 等于C A37 B13 C37D137、己知 | a|=1,| b|=2, a 与 b 的夹角为600,c =3a+b, d =ab ,假设 cd,则实数的值为 C A74B75C47D578、设a,b,c是平面内任意的非零向量且相互不共线,则D (ab)c(ca)b=0 | a| | b| | ab| (bc)a(ca)b 不与 c 垂直(3a+2b)(3a 2b)= 9| a|24| b|2其中真命题是ABCD二、填空题：9、已知 e 是单位向量 ,求满足 ae 且 a e=18 的向量 a=_.18e10、设 a=(m+1)i3j, b=i+(m1)j, (a+b) (ab), 则 m=_.2 11、| a|=5, | b|=3,| ab|=7, 则 a、b 的夹角为 _. 12012、 a 与 d=b2|)(abaa关系为 _. ab三、解答题：13、已知 | a|=4,| b|=5,| a+b|=21,求：ab ； (2ab) (a+3b) 解： | a+b|2=a+b2=a2+2ab+b2=| a|2+2ab+| b|2，222|2ababa b=102251621. 2ab a+3b =2a2+5ab3b2=2| a|2+5ab3| b|2=242+5 10 352=93. 14、四边形 ABCD中,AB= a, BC = b,CD = c, DA= d,且 ab=bc=cd=d a，判断四边形 ABCD是什么图形？分析：在四边形ABCD中， a+b+c+d=0，这是一个隐含条件，对 a+b= c+d ，两边平方后，用a b=bc=dc 代入，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页第 20 页 共 27 页从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状. 解： a+b+c+d=0， a+b=c+d ， a+b2=c+d2，即 | a|2+2ab+| b|2=| c|2+2c d+| d|2，ab=cd， | a|2+| b|2=| c|2+| d|2同理： | a|2+| d|2=| b|2+| c|2，两式相减得：| b|2=| d|2，| a|2=| c|2，即 | b|=| d| ，| a|=| c|. ABCD为平行四边形. 又 ab=bc，即 b ac=0，而 a=c，b 2a=0 ab，四边形ABCD为矩形 . 15、已知： | a|=5,| b| =4,且 a 与 b 的夹角为60 ,问当且仅当k 为何值时 ,向量 ka b 与a+2b 垂直？解：)2()(babka04260cos45) 12(5, 02)12(,0)2()(2222kkbabkkababka即1514k. 【平面向量的综合应用练习】一、选择题A、B、C、D 四点坐标依次是(1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为 ( ) C.菱形2.已知 ABC 中，AB=a，AC=b， a b0， SABC=415,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b 的夹角是 ( ) A.30 B.150C.150 D.30 或 150二、填空题y=x2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y=2x5 的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a=_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 27 页第 21 页 共 27 页4.等腰 ABC 和等腰 RtABD 有公共的底边AB， 它们所在的平面成60 角， 假设 AB=16 cm,AC=17 cm,则 CD=_. 三、解答题5.如图，在 ABC 中，设AB=a，AC=b，AP=c,AD= a,(0 1),AE= b(0 1),试用向量a，b 表示 c. ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a. (1)建立适当的坐标系，并写出A、B、A1、C1的坐标；(2)求 AC1与侧面 ABB1A1所成的角 . M(1，0)，N(1，0)，且点 P 使NPNMPNPMMNMP,成公差小于零的等差数列. (1)点 P 的轨迹是什么曲线？(2)假设点 P 坐标为 (x0,y0),Q 为PM与PN的夹角，求tan . E、F、G、H 分别是空间四边形ABCD 的边 AB、BC、CD、 DA 的中点 .(1)用向量法证明E、F、G、H 四点共面；(2)用向量法证明：BD平面 EFGH ；(3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空间任一点O， 有)(41ODOCOBOAOM.参考答案一、 1.解析：AB=(1，2 ，DC=(1，2 ，AB=DC，ABDC，又线段AB 与线段 DC 无公共点， ABDC 且 |AB|=|DC|， ABCD 是平行四边形， 又|AB|=5，AC=(5，3 ，|AC|=34， |AB| |AC,ABCD 不是菱形，更不是正方形；又BC=(4，1 ，14+21=60,AB不垂直于BC， ABCD 也不是矩形，故选D. 答案： D 2.解析：21415 3 5sin得 sin =21,则 =30 或 =150 . 又 a b0, =150 . 答案： C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页第 22 页 共 27 页二、 3.(2,0) 4.13 cm 三、 5.解：BP与BE共线，BP=mBE=m(AEAB)=m( ba), AP=AB+BP=a+m( ba)=(1m)a+m b又CP与CD共线，CP=nCD=n(ADAC)=n( ab), AP=AC+CP=b+n( ab)=n a+(1n)b 由，得 (1ma+m b=na+(1 n)b. a 与 b 不共线，010111mnmnnmam即解方程组得： m=11,11n代入式得c=(1m)a+m b=11 (1 )a+ (1 )b. 6.解： (1)以点 A 为坐标原点O，以 AB 所在直线为Oy 轴，以 AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系. 由已知，得A(0，0，0 ，B(0，a,0,A1(0,0,2a),C1(,2,23aa2a). (2)取 A1B1的中点 M，于是有M(0，2,2aa ，连 AM， MC1，有1MC=(23a,0,0, 且AB=(0，a,0,1AA=(0,02a) 由于1MCAB=0，1MC1AA=0，所以 MC1面 ABB1A1， AC1与 AM 所成的角就是AC1与侧面 ABB1A1所成的角 . 1AC=),2,2,0(),2,2,23(aaAMaaaaaaAMAC49240221aaaAMaaaaAC2324| ,324143|22221而2323349,cos21aaaAMAC所以AMAC 与1所成的角，即AC1与侧面 ABB1A1所成的角为30. 7.解：(1)设 P(x,y,由 M(1，0 ，N(1，0 得，PM=MP=( 1x,y,NPPN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页第 23 页 共 27 页=(1 x, y),MN=NM=(2,0),MPMN=2(1+x), PMPN=x2+y21,NPNM=2(1x).于是，NPNMPNPMMNMP,是公差小于零的等差数列，等价于030)1(2)1(2)1(2)1(2211222xyxxxxxyx即所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. (2)点 P 的坐标为 (x0,y0) ,30, 1cos21,3041|cos42)24)(24()1()1(| , 21020200020202022020 xxPNPMPNPMxxxyxyxPNPMyxPNPM|3cossintan,411cos1sin020202yxx8.证明：(1 连结 BG， 则EHEFEHBFEBBDBCEBBGEBEG)(21由共面向量定理的推论知：E、F、G
