指数函数对数函数幂函数的图像与性质.doc
-/指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1根式（1）根式的概念根式的概念符号表示备注如果,那么叫做的次方根当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数零的次方根是零当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数负数没有偶次方根n为奇数n为偶数（2）两个重要公式 ；（注意必须使有意义）。2有理数指数幂（1）幂的有关概念正数的正分数指数幂:;正数的负分数指数幂: 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（2）有理数指数幂的性质aras=ar+s(a>0,r、sQ);(ar)s=ars(a>0,r、sQ);(ab)r=arbs(a>0,b>0,rQ);.3指数函数的图象与性质 y=axa>10<a<1图象定义域R值域（0，+）性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1;x<0时,0<y<1(2) 当x>0时，0<y<1;x<0时, y>1(3)在（-，+）上是增函数（3）在（-，+）上是减函数注：如图所示，是指数函数（1）y=ax,（2）y=bx,（3）,y=cx（4）,y=dx的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1>d1>1>a1>b1,c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为常用对数底数为10自然对数底数为e 2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（）：，。（2）对数的重要公式：换底公式：；。（3）对数的运算法则：如果，那么；。3、对数函数的图象与性质图象性质（1）定义域：（0,+）（2）值域：R（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）（4）当时，；当时，（4）当时，；当时，（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。0<c<d<1<a<b.4、反函数指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。（三）幂函数1、幂函数的定义形如y=x（aR）的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。2、幂函数的图象注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，y=x-1方法：可画出x=x0；当x0>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2， y=x， y=x-1；当0<x0<1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x-1， ，y=x， y=x2，y=x3 。3、幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=x-1定义域RRR0，）值域R0，）R0，）奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，）时，增；x时，减增增x(0,+)时，减；x(-,0)时，减定点（1，1）三：例题诠释，举一反三知识点1：指数幂的化简与求值例1.(2007育才A) （1）计算：；（2）化简：变式：（2007执信A）化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）（2）(3) 知识点2：指数函数的图象及应用例2.(2009广附A)已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个变式：（2010华附A）若直线与函数且的图象有两个公共点，则a的取值范围是_. 知识点3：指数函数的性质例3.（2010省实B）已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）判断函数的单调性;（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围变式：（2010东莞B）设a0,f(x)=是R上的偶函数.（1）求a的值；（2）求证：f(x)在（0，+）上是增函数.知识点4：对数式的化简与求值例4.（2010云浮A）计算：（1）（2）2(lg)2+lglg5+;（3）lg-lg+lg.变式：（2010惠州A）化简求值.（1）log2+log212-log242-1;（2）(lg2)2+lg2lg50+lg25;（3）(log32+log92)(log43+log83).知识点5：对数函数的性质例5.（2011深圳A）对于，给出下列四个不等式： ； 其中成立的是（ ）（A）与（B）与（C）与（D）与变式：（2011韶关A）已知0a1,b1,ab1，则loga的大小关系是 （ ）A.loga B.C. D.例6.（2010广州B）已知函数f(x)=logax(a0,a1)，如果对于任意x3，+）都有|f(x)|1成立，试求a的取值范围.变式：（2010广雅B）已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-,1-上是单调递减函数.求实数a的取值范围.知识点6：幂函数的图象及应用例7.(2009佛山B)已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上问当x为何值时有：（）；（）；（）变式：（2009揭阳B）已知幂函数f(x)=x（mZ）为偶函数，且在区间（0，+）上是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F（x）=a的奇偶性.四：方向预测、胜利在望1（A）函数的定义域为（ ）A(1，4) B1，4) C(，1)(4，) D(，1(4，)2.（A）以下四个数中的最大者是（ ）(A) (ln2)2(B) ln(ln2)(C) ln(D) ln23（B）设a>1，函数f(x)=logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为则a=( )(A) （B）2 （C）2 （D）44.（A）已知是周期为2的奇函数，当时，设则（ ）（A）（B）（C）（D）5.（B）设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为（ ）(A)（1，2）（3，+） (B)（，+）(C)（1，2） （ ，+） (D)（1，2）6（A）设，则（）7(A)已知，则( )AB C D8（B）下列函数中既是奇函数，又是区间上单调递减的是（ ）（A） (B) (C) (D) 9.（A）函数的定义域是：（ ）A B C D 10.(A)已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则（ ）A B C D11（B）若函数、三、四象限，则一定有（ ）A B C D12(B)若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a=（ ） A. B. C. D. 13.(A)已知0xya1，则有（ ）（A） （B） （C） （D）14.（A）已知，那么等于（ ）（A）（B）8（C）18（D）15（B）函数ylg|x| （ ）A是偶函数，在区间(，0)上单调递增B是偶函数，在区间(，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0，)上单调递增D是奇函数，在区间(0，)上单调递减 16.（A）函数的定义域是 _.17（B）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 18（A）设 则_19（B）若函数f(x) = 的定义域为R，则a的取值范围为_.20(B)若函数是奇函数，则a= 21.(B)已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.参考答案：三：例题诠释，举一反三例1. 解：（1），（2）变式：解：（1）1, （2） (3)110例2. 解：B变式：解：； 例3. 解：（） （）减函数。 （） 变式：解：（1）a=1.（2）略例4. 解：（1）-1.（2）1.（3）.变式：解：(1)（2）2.（3）例5. 解：选D。变式：解： C例6. 解：(1，3，1）变式：解：a|2-2a2例7. 解：（1）当或时，；（2）当时，；（3）当且时，变式：解：（1）f(x)=x-4.（2）F（x）=， F（-x）=+bx3. 当a0，且b0时，F（x）为非奇非偶函数；当a=0,b0时，F（x）为奇函数；当a0,b=0时，F（x）为偶函数；当a=0,b=0时，F（x）既是奇函数，又是偶函数. 四：方向预测、胜利在望15 ADDDC； 610 AADDA； 1115 CADDB.16. (-, 3)(3,4) 17. 4 18. 19.-1,0 20. 21解x须满足所以函数的定义域为（1，0）（0，1）.因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有，所以是奇函数.研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2（0，1），且设x1<x2 ，则得>0，即在（0，1）内单调递减，由于是奇函数，所以在（1，0）内单调递减.
