2022年苏教版一轮复习双曲线导学案.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案双 曲 线【学问梳理】1双曲线的定义平面内与定点F1、F 2 的距离的差的肯定值等于常数小于 |F 1F 2|的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2双曲线的标准方程和几何性质标准方程2 xa 22 yb 2 1a>0,b>02 ya 22 xb 21a>0,b>0 图形范畴xa 或 x ay a 或 ya性质对称性对称轴： 坐标轴对称中心： 原对称轴：坐标轴对称中心：原点点顶点A1a,0,A2a,0A10, a,A20,a 渐近线y±b axy±a bx离心率ec a,e1, ,其中 ca 2b2线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|2a；线段 B1B2 叫做双曲线实虚轴的虚轴,它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半轴长通径c2a过焦点垂直于实轴的弦叫通径,其长为2 2baa、b、c 的关系2b2c>a>0, c>b>0 【基础自测】1如双曲线方程为 x 22y 21,就它的左焦点的坐标为 _ 2解析：双曲线方程可化为 x 2y11, a 21,b 21 2. c 2 a 2b 23 2, c2 . 62左焦点坐标为2,0 . 622如双曲线 xa 2y 21 的一个焦点为 2,0,就它的离心率为 _ 解析： 依题意得 a 21 4,a 23,故 e 2a 2 232 3 3 . 23设 F1,F2是双曲线 x 2y 241 的两个焦点, P 是双曲线上的一点,且 3|PF 1|4|PF2|,就 PF 1F2的面积等于 _ 解析： 由 P 是双曲线上的一点和3|PF1| 4|PF 2|可知, |PF1|PF 2|2,解得 |PF 1| 8,|PF 2|6.又|F1F2|名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案3x. 2c10,所以PF 1F2 为直角三角形,所以PF1F2 的面积 S1 2× 6× 824. 2 4双曲线x a 2y 21a0的离心率为2,就该双曲线的渐近线方程为_解析： 由题意a 21a1122,得 a3 3,故渐近线方程是3x±y0,即 y±a5已知 F10, 5,F 20,5,一曲线上任意一点M 满意 |MF 1|MF 2|8,如该曲线的一条渐近线的斜率为 k,该曲线的离心率为 e,就 |k| ·e_. 解析： 依据双曲线的定义可知,该曲线为焦点在y 轴上的双曲线的上支,c5,a4,b3,ec a5 4, |k|4 3.|k| ·e3× 5 45 3. a2b2c2,而在双曲线中c2a2 b 2.双曲说明： 1.区分双曲线与椭圆中a、b、c 的关系,在椭圆中线的离心率e1；椭圆的离心率e0,12渐近线与离心率：2 2a x 2yb 21a>0, b>0的一条渐近线的斜率为bb2c 2 a 22ae 21.可以看出,双曲线的渐2aa近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小 留意 当 a>b>0 时,双曲线的离心率满意1<e<2；当 ab>0 时, e2亦称为等轴双曲线；当 b>a>0 时, e>2. 3直线与双曲线交于一点时,不肯定相切,例如：当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切；反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点【考点探究】考点一双曲线的定义及标准方程C 的方程为 _ PF1PF2,就 |PF1| 例 1已知双曲线C：x22 yb 2 1 的焦距为 10,点 P2,1在 C 的渐近线上,就2a2已知双曲线x 2 y 2 1,点 F 1,F2 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,如|PF2|的值为 _2 2 解 1xa 2yb 21 的焦距为 10,c5a 2b 2.b 2b又双曲线渐近线方程为 y±ax,且 P2,1在渐近线上,a1,即 a2b.2 2由解得 a2 5,b5.故 C 的方程为x 20y 51. 2 不妨设点 P 在双曲线的右支上,由于 PF1 PF2,所以 2 2 2|PF 1| 2|PF2| 2,又由于 |PF 1|PF 2|2,所以 |PF 1| |PF2|24,可得 2|PF1| ·|PF 2| 4,就 |PF 1|PF2| 2 |PF 1| 2|PF2| 22|PF 1| ·|PF 2|12,所以 |PF 1|PF2|2 3. 【 由题悟法】 1应用双曲线的定义需留意的问题在双曲线的定义中要留意双曲线上的点动点 具备的几何条件,即“ 到两定点焦点 的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必需小于两定点的距离” 如定义中的“ 肯定值” 去掉,点的轨迹是双曲线的名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案一支2双曲线方程的求法：1如不能明确焦点在哪条坐标轴上,设双曲线方程为 mx 2ny 21mn<0 2 2 2 2x y x y2 与双曲线 a 2b 21 有共同渐近线的双曲线方程可设为 a 2b 2 03 如已知渐近线方程为 mxny0,就双曲线方程可设为 m 2x 2n 2y 2 02 2【 以题试法】 1设 P 是双曲线x 16 y 20 1 上一点, F1,F2 分别是双曲线左右两个焦点,如 |PF 1|9,就|PF2|_ 解析： 由双曲线定义 |PF 1|PF2|8,又 |PF 1|9, |PF2|1 或 17,但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为ca 6421, |PF 2|17. 2 yb 21a,b 0的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线考点二双曲线的几何性质 例 2如图, F 1,F2分别是双曲线2 C：x a 2F 1B 与 C 的两条渐近线分别交于P,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点 M.如 |MF2|F1F2|,就C 的离心率是 _ 解设双曲线的焦点坐标为F 1c,0,F2c,0B0,b,F1B 所在的直线为cy b1.双曲线渐近线为 y ±b ax,yb ax,ac bc yb ax,ac bc由x y 得 Q ca,ca .由 x y 得 Pa c,ac,cb 1,cb 1,PQ 的中点坐标为 c 2 a a 2c 2, bcc 2a 22 . 由 a 2b 2c 2 得, PQ 的中点坐标可化为 ab 2c 2 ,c b . 2直线 F 1B 的斜率为 kb c,PQ 的垂直平分线为 yc b c 2b xab 2c2 . 令 y 0,得 xa b 2c 2 c,Ma b 2c 2 c,0 ,|F 2M|a b 2c 2 . 由 |MF 2|F 1F2|得 ab 2c2 c 2a a 2c22c,即 3a 22c 2,e 2 3 2,e2 . 6【一题多变】如本例条件变为“ 此双曲线的一条渐近线与 x 轴的夹角为 ,且 4 3” ,求双曲线的离心率的取值范畴名师归纳总结 解： 依据题意知1b a3,即 1e 213.所以2e2.即离心率的取值范畴为 2, 2第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案【 由题悟法】1已知渐近线方程ymx,求离心率时,如焦点位置不确定时,mb am0或 m a b,故离心率有两种可能2解决与双曲线几何性质相关的问题时,要留意数形结合思想的应用2 2【 以题试法】 21已知双曲线xa 2y 51 的右焦点为 3,0,就该双曲线的离心率等于 _ 解析： 由题意知 c 3,故 a 259,解得 a2,故该双曲线的离心率 eca32. 2 22 已知双曲线x a 2y b 21a0,b0与抛物线 y 28x 有一个公共的焦点 F,且两曲线的一个交点为P,如 |PF|5,就双曲线的渐近线方程为 _ m 25,解析： 设点 Pm, n,依题意得,点 F2,0,由点 P 在抛物线 y 28x 上,且 |PF|5 得n 28m,由a 2 b2 4,此得 m3,n 2 24.于是有a 9 224 b 2 1,由此得 a 21,b 23,该双曲线的渐近线方程为 y±b ax±3x. 考点三 直线与双曲线的位置关系2 2x y 例 3 已知双曲线 a 2b 21b>a>0,O 为坐标原点,离心率 e2,点 M 5,3在双曲线上1 求双曲线的方程；1 12 如直线 l 与双曲线交于 P,Q 两点,且 OP · OQ 0.求 |OP| 2|OQ| 2的值 解 1e2,c 2a,b 2c 2a 23a 2,2 2双曲线方程为 xa 23a y21,即 3x 2y 23a 2. 2 2点 M 5,3在双曲线上, 1533a 2.a 24. 所求双曲线的方程为 x 4 y 121. 2 22 设直线 OP 的方程为 ykxk 0,联立 x 4 y 121,得x 2122,y 23 k12k 22,|OP| 2x 2y 212 k3k 212 . 就 OQ 的方程为 y1 kx,3 k同理有 |OQ| 21231 11k 2 k 2 12 k3k 21 21,1|OP| 2|OQ| 1 23k12 k 2 3k21 2112 k 22k21 21 6. 【 由题悟法】 1解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程,然后把直线方程和双曲线方程组成方程组,消元后转化成关于x或 y的一元二次方程利用根与系数的关系,整体代入2与中点有关的问题常用点差法名师归纳总结 留意 依据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判定直线与双曲线的位置关系第 4 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案2 2【 以题试法】 3F1,F 2 分别为双曲线x a 2yb 21a0,b0的左,右焦点,过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为 M,满意 |MF1,|3|MF2,|,就此双曲线的渐近线方程为_解析： 由双曲线的性质可得 | MF 2 ,|b,就 | MF 1 ,|3b.在 MF 1O 中, |OM ,|a,| OF ,| c,cos F 1OM ac,由余弦定理可知 a 2c2ac 2 3b 2ac,又 c 2a 2b 2,所以 a 22b 2,即b a2,故此双曲线的渐近线方程为 2y±2 x. 2【巩固练习】 1已知双曲线的渐近线为 y± 3x,焦点坐标为 4,0,4,0 ,就双曲线方程为 _ 解析：由题意可设双曲线方程为a x 22yb 221a0,b0,由已知条件可得 bac4,3,即 baa 2 b2 42,3,解得b a 24,212,故双曲线方程为 x 4 y 2121. 222已知 m 是两个正数 2,8 的等比中项,就圆锥曲线 x 2ym1 的离心率为 _ 解析： m 216, m±4,故该曲线为椭圆或双曲线当 m4 时, ec aa 2ba 22 .当 m34 时, ec aa 2ba 25.故离心率为 2或 3 5 3.如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点如 M,O,N 将椭圆长轴四等分,就双曲线与椭圆的离心率的比值是 _ 解析： 设焦点为 F ±c,0,双曲线的实半轴长为 a,就双曲线的离心率 e1c a,椭圆的离心率 e2c 2a,所以 e1 e22. 2 2x y 54已知 P 是双曲线 a 2b 21a0,b0上的点,F 1,F 2是其焦点,双曲线的离心率是 4,且 PF ,·1 PF 2 ,0,如 PF 1F 2 的面积为 9,就 ab 的值为 _ 名师归纳总结 - - - - - - -解析：由PF ,·1PF , 0 得 2PF ,1PF ,设 | 2PF ,|m,| 1PF ,|n,不妨设 2mn,就 m2n 24c 2,mn2a,1 2mn9,c a 5 4,解得a4,b3, ab 7. c5,5平面内一固定线段AB,|AB|4,动点 P满意 |PA| |PB| 3,O 为 AB 中点,就|OP |的最小值为 _ 解析： 依题意得,动点P 位于以点A,B 为焦点、实轴长为3 的双曲线的一支上,结合图形可知,该曲线上与点O 距离最近的点是该双曲线的一个顶点,因此|OP|的最小值等于3 2. 6已知双曲线2 C1：x a 22 yb 21a>0,b>0与双曲线2 2C2：x 4 y 16 1 有相同的渐近线,且C1 的右焦点为 F5,0,就 a _,b_. 2 2解析： 双曲线x 4 y 161 的渐近线为y±2x,就b a2,即 b2a,又由于 c5,a 2b 2c 2,所以 a第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案1,b2. 名师归纳总结 - - - - - - -7过双曲线2 xa 22 yb 21a 0,b0的左焦点 F 作圆 x2 2y 2a 4的切线,切点为E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,如 E 为 PF 的中点,就双曲线的离心率为_解析： 设双曲线的右焦点为F.由于 E 为 PF 的中点, 坐标原点 O 为 FF的中点, 所以 EO PF,又 EOPF ,所以 PF PF,且 |PF|2×a 2a,故 |PF|3a,依据勾股定理得|FF |10a.所以双曲线的离心率为10a 2a10 2 . 8已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为2,且过点 4,10点 M 3,m在双曲线上 1 求双曲线方程；2求证：MF1·MF20. 解： 1e2,可设双曲线方程为x2y2 0过点4,2 210,1610,即 6.双曲线方程为x 6y 61. 2 证明：由 1可知,双曲线中ab6,c 2 3,F123,0,F 223,0,kMF 1m,kMF 2m,kMF 1·kMF 23m22m 3 . 点3,m在双曲线上,32 3329129m26,m2 3,故 kMF 1·kMF 2 1,MF 1MF 2.MF1·MF2 0. 第 6 页,共 6 页