2022年高中数学圆锥曲线知识点小结 .pdf

学习必备欢迎下载圆锥曲线知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义： 平面内与两个定点21,FF的距离的和等于常数（大于|21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：|221FFa表示椭圆；|221FFa表示线段21FF；|221FFa没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0( 12222babyax)0(12222babxay图形顶点), 0(), 0()0,(),0 ,(2121bBbBaAaA),0(), 0()0,(),0 ,(2121aBaBbAbA对称轴x轴，y轴；短轴为b2，长轴为a2焦点)0,(),0 ,(21cFcF),0(),0(21cFcF焦距)0(2|21ccFF222bac离心率)10(eace（离心率越大，椭圆越扁）通径22ba（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3常用结论：（1）椭圆)0( 12222babyax的两个焦点为21,FF，过1F的直线交椭圆于BA,两点，则2ABF的周长 = （2）设椭圆)0(12222babyax左、右两个焦点为21,FF，过1F且垂直于对称轴的直线交椭圆于QP,两点，则QP,的坐标分别是| PQx O F1 F2 Py A2 B2 B1 x O F1 F2 Py A2 A1 B1 B2 A1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,FF的距离的差的绝对值等于常数（小于|21FF）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：aPFPF2|21与aPFPF2|12（|221FFa）表示双曲线的一支。|221FFa表示两条射线；|221FFa没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程)0,0( 12222babyax)0,0(12222babxay图形顶点)0 ,(),0,(21aAaA),0(),0(21aBaB对称轴x轴，y轴；虚轴为b2，实轴为a2焦点)0,(),0,(21cFcF),0(),0(21cFcF焦距)0(2|21ccFF222bac离心率) 1(eace（离心率越大，开口越大）渐近线xabyxbay通径22ba（3）双曲线的渐近线：求双曲线12222byax的渐近线，可令其右边的1 为 0，即得02222byax，因式分解得到0 xyab。与双曲线12222byax共渐近线的双曲线系方程是2222byax；（4）等轴双曲线为222tyx，其离心率为2x O F1 PB2 B1 F2 x O F1 F2 Py A2 A1 y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载（4）常用结论：（ 1）双曲线)0,0(12222babyax的两个焦点为21, FF，过1F的直线交双曲线的同一支于BA,两点，则2ABF的周长 = （2）设双曲线)0,0(12222babyax左、右两个焦点为21, FF，过1F且垂直于对称轴的直线交双曲线于QP,两点，则QP,的坐标分别是| PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：0p焦点在x轴上，开口向右焦点在x轴上，开口向左焦点在y轴上，开口向上焦点在y轴上，开口向下标准方程pxy22pxy22pyx22pyx22图形顶点)0,0(O对称轴x轴y轴焦点)0,2(pF)0,2(pF)2, 0(pF)2,0(pF离心率1e准线2px2px2py2py通径p2焦半径2|0pxPF2|0pyPF焦点弦焦准距p四、弦长公式：|14)(1|1|2212212212AkxxxxkxxkABO FPy lx O FPy lx O FPy lx x O FPy l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载其中 ,A分别是联立直线方程和圆锥曲线方程, 消去 y 后所得关于x 的一元二次方程的判别式和2x的系数求弦长步骤：（ 1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y, 得关于 x 的一元二次 方 程,02CBxAx设),(11yxA，),(22yxB， 由 韦 达 定 理 求 出ABxx21，ACxx21；（ 3）代入弦长公式计算。法（二） 若是联立两方程， 消去 x, 得关于 y 的一元二次方程,02CByAy则相应的弦长公式是：|)1(14)()1(1|)1(1|2212212212AkyyyykyykAB注意（ 1）上面用到了关系式|4)(|2122121Axxxxxx和|4)(2122121Ayyyyyy注意（ 2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（ 1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y, 得关于 x 的一元二次方程,02CBxAx设),(11yxA，),(22yxB，由韦达定理求出ABxx21；（3）设中点),(00yxM，由中点坐标公式得2210 xxx；再把0 xx代入直线方程求出0yy。法（二）：用点差法，设),(11yxA，),(22yxB，中点),(00yxM，由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5 个方程，通过相减，代入等变形，求出00, yx。六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c ，再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系，消去b, 再化为关于e 的方程，最后解方程求e ( 求 e 时，要注意椭圆离心率取值范围是0e1，而双曲线 离心率取值范围是e1) 例 1：设点 P 是圆224xy上的任一点，定点D 的坐标为（ 8，0），若点M 满足2PMMD当点 P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载解设点 M 的坐标为, x y，点 P 的坐标为00,xy，由2PMMD，得00,2 8,xxyyxy，即0316xx，03yy因为点 P00,xy在圆224xy上，所以22004xy 即2231634xy，即2216439xy，这就是动点M 的轨迹方程例 2：已知椭圆的两个焦点为（-2， 0），（ 2,0）且过点53(,)22，求椭圆的标准方程解法 1 因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为22221(0)xyabab，由椭圆的定义可知：222253532(20(202 102222a） （） （）10a又2222,6cbac所以所求的标准方程为221106xy解法 2 22222,4cbaca，所以可设所求的方程为222214xyaa，将点53(,)22代人解得：10a所以所求的标准方程为221106xy例 3.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载例 4.习题：1已知椭圆长半轴与短半轴之比是5：3，焦距是8，焦点在x 轴上，则此椭圆的标准方程是（）（A）5x23y21（ B）25x29y21 （ C）3x25y21 （D）9x225y21 2以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）（A）21（B）22（C）23（D）333. 已知椭圆x22y2 m，则下列与m 无关的是（）（A）焦点坐标（B）准线方程（C）焦距（ D）离心率4.椭圆 mx2y21 的离心率是23，则它的长半轴的长是（）（ A）1 （B）1 或 2 （ C）2 （D）21或 1 5椭圆的中心为O，左焦点为F1，P 是椭圆上一点，已知PF1O 为正三角形，则P 点到右准线的距离与长半轴的长之比是（）（ A）31 （B）33（C）3（D）1 6.若椭圆my12m3x22=1 的准线平行于y 轴，则 m 的取值范围是。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载7椭圆的长半轴是短半轴的3 倍，过左焦点倾斜角为30的弦长为2 则此椭圆的标准方程是。8. 椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上， 若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距， 又已知直线2xy4=0 被此椭圆所截得的弦长为354，求此椭圆的方程。9.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率e=32，长轴长为6，那么椭圆的方程是（）。（ A）36x2+20y2=1 （B）36x2+20y2=1 或20 x2+36y2=1 （ C）9x2+5y2=1 （D）9x2+5y2=1 或5x2+9y2=1 10 椭圆 25x216y2=1 的焦点坐标是（）。（ A）(3, 0) （B）(31, 0) （C）(203, 0) （D）(0, 203) 11.曲线25x29y2=1 与曲线k25x2k9y2=1 (k4) （D）9x216y2 1 (x3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载19双曲线36x249y21 的渐近线方程是( )（A）36x49y 0 （B）36y49x0 （C）6x7y0 （D）7x6y0 20.双曲线 x2ay2 1的焦点坐标是（）（ A）(a1, 0) , (a1, 0) （B）(a1, 0), (a1, 0) （ C）（aa1, 0）,（aa1, 0）（D）(aa1, 0), (aa1, 0) 21.设双曲线1byax2222(ba0)的半焦距为c，直线 l 过(a, 0)、 (0, b)两点，已知原点到直线 l 的距离是43c，则双曲线的离心率是（）（ A）2 （B）3（ C）2（D）33222.双曲线9x27y21 的离心率是。23, 已知方程k3x2+k2y2=1 表示双曲线，则k 的取值范围是。24.双曲线 4x29y2=1 的渐近线方程是（）。（ A）y=32x（B）y=61x（C）y=23x（D）y=6x25.若双曲线与椭圆x2 4y2=64 共焦点， 它的一条渐近线方程是x3y=0， 则此双曲线的标准方程只能是（）。（A）36x212y2=1（B）36y212x2=1 （C）36x212y2=1 （ D）36y212x2=1 26和椭圆25x29y2=1 有共同焦点，且离心率为2 的双曲线方程是（）。（ A）4x214y2=1 （B）4x212y2=1 （C）6x214y2=1（D）6x212y2=1 27.双曲线的两准线间的距离是它的焦距的31，则它的离心率为。28. 双曲线的两个顶点三等分两个焦点间的线段，则离心率e= 。29. 中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(1, 3)的等轴双曲线的方程是。30.渐近线是3x4y=0，且经过P(62, 8)的双曲线方程是。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载31. 和椭圆9x24y2=1 有公共的焦点，离心率e=25的双曲线方程是。32. 59. 实系数一元二次方程ax2bxc=0 的系数 a、b、c 恰为一双曲线的半实轴、半虚轴、半焦距，且此二次方程无实根，求双曲线离心率e 的范围。33. 过双曲线9x216y2=1 的左焦点F1， 作倾斜角为 4的直线与双曲线交于两点A、 B，求|AB|的长。34.抛物线 y2=8x 的准线方程是（）。（ A）x=2 （B）x=2 （C）x= 4 （D）y=2 35.AB 是过抛物线y24x 焦点 F 的弦，已知A，B 两点的横坐标分别是x1和 x2，且 x1x26 则|AB|等于（）（ A）10 （B） 8 （C）7 （D）6 36.经过（ 1，2）点的抛物线的标准方程是（）（A）y24x（B）x221y(C) y24x 或 x221y(D) y24x 或 x24y37.顶点在原点，焦点是F(6, 0)的抛物线的方程是。38. 抛物线 x24y 的焦点为F， A 是抛物线上一点，已知|AF|422，则 AF 所在直线方程是。39,抛物线 y=8x2的准线方程是（）。（ A）y=321（ B）y=2 （C）y=41（D）y=4 40.已 知 点 ( 2, 3)与抛 物 线y2=2px (p0) 的焦 点 的 距 离是5， 则 抛物 线 的 方 程是。41.抛物线 x2=4y 上有一点 Q 到焦点的距离为3，那么 Q 点的纵坐标是（）。（ A） 2 （B）2 （C）4 （D）1 42. 如果抛物线y2=px (p0)和圆 (x2)2y2=3 在 x 轴上方相交于A、B 两点， 且弦 AB 的中点 M 在直线 y=x 上，求抛物线的方程。43. 抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且点(5, 25)在抛物线上，则抛物线的方程为（）。（A）y2=4x（B）x2=5y（C）y2=4x 或 x2=255y （D）x2=4y44.抛物线 y=4x2的准线方程是（）。（ A）x=1 （B）y=1 （ C）x=161（D）y=161精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页