2022年线性规划目标函数及基本不等式常见类型梳理.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载授课提纲一、线性规划问题中目标函数常见类型梳理1、基本类型直线的截距型（或截距的相反数）2、直线的斜率型 3、平面内两点间的距离型（或距离的平方型）4、点到直线的距离型 5、变换问题讨论目标函数 二、基本不等式1、（ 1）基本不等式如a,b2R,就a2b2,2ab 2如a,bR,就aba22b2（当且仅当ab时取“=” ） 2 如a,bR*,就a2bab 2如abR*,就ab2ab（当且仅当ab时取“=” ）b2 当且仅当ab时取“=” ）3 如a,b* R,就aba2、利用基本不等式求值技巧 授课主要内容：一 基本类型直线的截距型（或截距的相反数）名师归纳总结 例 1.已知实数 x、y 满意约束条件xy00,就z2x4y 的最小值为（）第 1 页,共 6 页xy5A5 B -6 x3C10 D-10 xy20变式练习一：如 x,y 满意约束条件x2y10,就 z=3x+y 的最大值为2xy20变式练习二：设x,y 满意约束条件x1x3,0,就 z2xy 的最大值为 _1xy二 直线的斜率型2 6 ,5 32y24,求函数zy3的值域 . 例 2.已知实数 x、y 满意不等式组x0x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式练习一：如x,y 满意约束条件学习必备欢迎下载的最大值为 . x100,就y xxy0xy4变式练习二： 11.如实数x,y满意x2y40z2y2的取值范畴为（）x0,就x1y0A .,42,B.,22 3,C .,2D.4,2333三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）x y 1 02 2例 3. 已知实数 x、y 满意 x y 1 0,就 w x y 4 x 4 y 8 的最值为 _. y 12 2 2 2解析：目标函数 w x y 4 x 4 y 8 x 2 y 2,点 2,2到点 B 的距离为其2 2到可行域内点的最大值,w max 2 2 1 2 25；点 2,2到直线 x+y-1=0 的距离为其到可行域内点的最小值,w min |2 2 1| 3 2；2 2x y 1 0,变式练习一：设实数 x , y 满意约束条件 x y 1 0, 就 x 2y 2 2的取值范畴是x 1,（A）1 ,17（B）1,17（C） 1, 17（D）2 , 172 2变式练习二：四 点到直线的距离型名师归纳总结 例 4.已知实数 x、y 满意2xy1,求ux2y24x2y的最小值；第 2 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析：目标函数ux2y24x2学习必备欢迎下载2 15,其含义是点 -2,1与可行域yx22y内的点的最小距离的平方减5；由实数x、y 所满意的不等式组作可行域如下列图（直线右上方）：y -2,1 1 O 1x 22x+y=1 点-2,1 到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1 的距离,由点到直线的距离公式可求得d|2 21 1|4 5,故d251659zx22 y 的最大值是 _；55552x2y20同步训练：已知实数x、 y 满意xy40,就目标函数3 xy30五 变换问题讨论目标函数例 5.已知yx2 ,且z2xy的最大值是最小值的3 倍,就 a 等于（D）xyAC2 或 2 52xa1B1 或 3 335解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题,名师归纳总结 精确画图找到可行域是关键.如下列图,z2xy在A第 3 页,共 6 页点和 B 点分别取得最小值和最大值. 由xa 得xA a. .a,由xy2得yxyB1,1. zmax3. .zmin3a. 由题意 B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式练习一：假如实数a b 满意条件：学习必备b欢迎下载,就a2b的最大值是a20ba102 aba1基本不等式考点一：求最值例 1：求以下函数的值域（1） y3x 21 2x 2（2） yx1 x技巧一：凑项例 1：已知x5,求函数y4x2415的最大值；4x技巧二：凑系数例 1. 当时,求yx82 x 的最大值；技巧三 ： 分别例 3. 求yx27x10 x1的值域；x1技巧四：换元解析二：此题看似无法运用基本不等式,可先换元,令yt2 17t1 +10=t25 t4t45tttt=x1,化简原式在分别求最值；名师归纳总结 当, 即 t=时,y2t459（当 t=2 即 x1 时取“ ” 号）；xa第 4 页,共 6 页t技巧五：留意：在应用最值定理求最值时,如遇等号取不到的情形,应结合函数f x x的单调性； 例：求函数y2 x25的值域；x4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：令x24t t2,就y学习必备欢迎下载x14t1t2x25x24x242t因t0, t11,但t1解得t1不在区间2,故等号不成立,考虑单调性；y5；tt由于yt1在区间 1,单调递增,所以在其子区间2,为单调递增函数, 故t2所以,所求函数的值域为5 , 2；考点二：条件求最值1. 如实数满意ab2,就3a3b的最小值是 . 2：已知x0,y0,且1 x91,求 xy 的最小值；y变式：（1）如x,yR且2xy1,求11的最小值xy技巧七 、已知 x,y 为正实数,且 2 x 2y 21,求 x1y2 的最大值 . 分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采纳公式aba 2 b 2；2同时仍应化简1y2 中 y2 前面的系数为1 2,x1y2 x2·1y 22 2x· 2 2y 2技巧八：已知a,b 为正实数, 2baba30,求函数 y1 ab的最小值 . 法一： a302b b1,ab302b b1·b2 b2 30bb1由 a0 得, 0b1 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 令 tb+1,1t16, ab2t学习必备欢迎下载16） 34t162t·168 2 34t31 2（ttttt1 ab18 y18当且仅当 t4,即 b3, a6 时,等号成立；法二： 由已知得： 30aba2b a2b2 2 ab 30ab2 2 ab令 uab 就 u 22 2 u300, 5 2 u3 2 1ab3 2 , ab18, y18变式： 1.已知 a>0,b>0,abab1,求 ab 的最小值；作业：名师归纳总结 1、yx1 x x0求函数最小值 . （）第 6 页,共 6 页2、y1x2x0求函数最小值 . 23x3、如x1,就函数fxxx41最小值为 . 4、已知x0,y0,且xy1,求11的最小值 . xy5、已知x0,y0,且2xy3,求11的最小值 . xy6、设a0,b0.如3 是a 3与3b的等比中项,就11的最小值为abA 8 B 4 C 1 D 1 4- - - - - - -