2022年自动控制原理习题全解及MATLAB实验第章习题解答.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 第5章 频率特性法频域分析法是一种图解分析法,可以依据系统的开环频率特性去判定闭环系统的性能,并能较便利地分 析系统参量对系统性能的影响,从而指出改善系统性能的途径,已经进展成为一种有用的工程方法,其主要 内容是：1）频率特性是线性定常系统在正弦函数作用下,稳态输出与输入的复数之比对频率的函数关系；频率 特性是传递函数的一种特殊形式,也是频域中的数学模型；频率特性既可以依据系统的工作原理,应用机理 分析法建立起来,也可以由系统的其它数学模型（传递函数、微分方程等）转换得到,或用试验法来确定；2）在工程分析和设计中,通常把频率特性画成一些曲线；频率特性图形因其采纳的坐标不同而分为幅相特性 Nyquist 图、对数频率特性 Bode 图 和对数幅相特性Nichols 图等形式； 各种形式之间是互通的,每种形式有其特定的适用场合；开环幅相特性在分析闭环系统的稳固性时比较直观,理论分析时常常采纳；波 德图可用渐近线近似地绘制,运算简洁,绘图简洁,在分析典型环节参数变化对系统性能的影响时最便利；由开环频率特性猎取闭环频率指标时,就用对数幅相特性最直接；3）开环对数频率特性曲线 波德图 是掌握系统分析和设计的主要工具；开环对数幅频特性 L低频段 L 的斜率表征了系统的型别 v,其高度就表征了开环传递系数的大小,因而低频段表征系统稳态性能；中频段的斜率、宽度以及幅值穿越频率,表征着系统的动态性能；高频段就表征了系统抗高频干扰的才能；对于最小相位系统,幅频特性和相频特性之间存在着唯独的对应关系,依据对数幅频特性,可以唯独地 确定相应的相频特性和传递函数；4）奈奎斯特稳固性判据是利用系统的开环幅相频率特性GjHj曲线, 又称奈氏曲线, 是否包围GH平面中的 l,j0点来判定闭环系统的稳固性；利用奈奎斯特稳固判据,可依据系统的开环频率特性来判定 闭环系统的稳固性,并可定量地反映系统的相对稳固性,即稳固裕度；稳固裕度通常用相角裕量和幅值裕量 来表示；5）利用开环频率特性或闭环频率特性的某些特点量,均可对系统的时域性能指标作出间接的评估；其中开环频域指标主要是相位裕量、穿越频率c；闭环频域指标就主要是谐振峰值Mr、谐振频率r以及带宽频率b,这些特点量和时域指标、st 之间有亲密的关系；这种关系对于二阶系统是准确的,而对于高阶系统就是近似的,然而在工程设计中精度完全可以满意要求；教材习题同步解析5.1 一放大器的传递函数为：108 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - Gs=K1Ts测得其频率响应,当=1rad/s 时,稳态输出与输入信号的幅值比为12/2 ,稳态输出与输入信号的相位差为 /4；求放大系数K 准时间常数T；解： 系统稳态输出与输入信号的幅值比为A1K2212,即K21T22T272稳态输出与输入信号的相位差当=1rad/s 时,联立以上方程得arctanT45,即T1T=1,K=12 放大器的传递函数为：Gs=12 s 15.2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为G K s51依据频率特性的物理意义,求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出；（1）r（t）=sin（t+30° ）；（2）r（t）=2cos（2t45°）；（3）r（t）= sin（t+15° ） 2cos（2t45°）；解： 该系统的闭环传递函数为 s s56闭环系统的幅频特性为A 5362闭环系统的相频特性为（1）输入信号的频率为1,因此有arctan6109 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 537,9.4637系统的稳态输出（2）输入信号的频率为c ss 5 37sint20.54 372,因此有10 4,18.43A 系统的稳态输出c ss 10cos2t63.43 2（3）由题（ 1）和题（ 2）有对于输入重量 1：sin（ t+15° ）,系统的稳态输出如下5 37c 1 sin t 5.54 37对于输入重量 2： 2cos（2t45°）,系统的稳态输出为10c 2 cos2 t 63.43 2依据线性系统的叠加定理,系统总的稳态输出为csst537sint5. 53710cos 2t63. 43633725.3 绘出以下各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性；（1）Gs 0102 1 （2） Gs=100.1s 1 （3）Gs ss421. s1（4Gs s4（5）Gs s s0 .21 ss0 .02（6）Gss10s（7）Gs e0.211 s2s解：110 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）G s 0101. 1 s幅相频率特性开环系统G s 101是一个不稳固的惯性环节,频率特性为1L/ （ dB）2 10 20100/ rad·s 10.1 sG 1j110j0.1200Im 10 0 / rad·s110 Re 00045G 1jG2j90 1351 180a 幅相频率特性 b 对数频率特性图 5.1 题 5.3（ 1）系统频率特性相频特性为1180arctan 0.1 arctan 0.1180相频特性从 180 连续变化至 90 ；可以判定开环奈氏曲线起点为10,j0点,随的增加, A1 逐步减小至0,而1 逐步增加至 90°,绘制出系统开环频率特性G1j的轨迹,如图5.1a虚线所示,是一个直径为10 的半圆；而开环系统G2 101就是一个典型的惯性环节,其幅相频率特性G2j如图 5.1a实线所示；0.1 s对数频率特性开环系统G 1 101与G2 101的对数幅频特性完全相同,仅对数相频特性不同,如图0.1 s0.1 s5.1b所示；（ 2）Gs=100.1s 1 幅相频率特性111 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 开环系统 G1s=100.1s1的频率特性为G 1j10 0.11,其相频特性为相频特性从180 连续变化至1180arctan0.1100/ rad·s 190 ；其开环频率特性G1j的轨迹,如图5.2a虚线所示；Im L/ （dB）200 20Re 0110G 1jG2j /0 010 010 1802 13590451 / rad·s 10而开环系统a 幅相频率特性b 对数频率特性如图 5.2a实线图 5.2 题 5.3（ 2） 系统频率特性G2s=100.1s+1 就是一个典型的一阶微分环节,其幅相频率特性G2j所示；对数频率特性同题（ 1）,二者的对数幅频特性完全相同,仅对数相频特性不同,如图5.2b所示；（3）Gss 42s系统开环传递函数的时间常数表达式为G s 21s 0.5s幅相频率特性1）系统为型系统,A0=, 0=90o,低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处；低频渐近线如下 确定：将频率特性表达式分母有理化为112 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - G jj211j21j0.5 j22 0.5j0.5 1j0.5 1 0.25112j220.251 0.25就低频渐近线为xlim Re G j0lim 0R lim 0112190o 连续变化到0.25同时可知,频率特性实部与虚部均<0,故曲线只在第三象限；2）nm=2,就 =180 ,幅相特性沿负实轴进入坐标原点；3）此系统无开环零点,因此在由 0 增大到过程中,特性的相位单调连续减小,从180 ；奈氏曲线是平滑的曲线,从低频段开头幅值逐步减小,沿顺时针方向连续变化最终最终原点；系统的幅相频率特性Gj见图 5.3a；Re 20L / （dB）1210/ rad·s1Im 0.1201 0 40G j 90 /110/ rad·s1 0135 180a 幅相频率特性 b 对数频率特性图 5.3 题 5.3（ 3） 系统频率特性对数频率特性1）可知系统包含有放大、积分、一阶惯性环节,转折频率为 T =2 rad·s1；低频段斜率为20dB/dec,低频段表达式为 L=20lg2 20lg,并通过点 L2= 0dB ；经过转折频率 T后斜率为 40dB/dec；2）系统的相频特性为积分环节（90o）与惯性环节（0o 90o）相频特性的叠加,为 90 arctan0.5转折频率处相位为 2=135° ,对数相频特性曲线对应于该点斜对称；绘制开环伯德图 L 、 ,如图 5.3（b）所示；113 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4）Gss4s21 系统开环传递函数的时间常数表达式为G s s2s110.5幅相频率特性1）系统为 0 型系统, A0= 2, 0= 0o,开环奈氏曲线起点为 2,j0点； nm=2,就 = 180 ；随的增加, A 逐步单调连续减小至 0,而 滞后逐步增加至180°,幅相特性沿负实轴进入坐标原点；2）将频率特性表达式分母有理化为G jj2j0.521j1j0.5 2见图 5.4a；111210.2521210.522j1230.25210.251频率特性虚部均<0,故曲线在第三、第四象限；Gj3）相位有=90 ,因此与虚轴的交点为ReG j121 0.5220210.252 rad/ ,ImG j20.94此系统无开环零点,因此在由 0 增大到过程中,奈氏曲线是平滑的曲线,对数频率特性L /（dB）20Im 60.10 20210/ rads1 01 40j0.94 02 0Re 0 /b 对数频率特性/ rad·s1 G j90a 幅相频率特性180图 5.4 题 5.3（ 4） 系统频率特性114 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1）可知系统包含有放大、两个一阶惯性环节,转折频率分别为 1 =1 rads1、· 2 =2 rads1；·系统为 0 型,低频段斜率为0dB/dec,低频段表达式为L=20lg2=6dB ；经过转折频率1、 2后斜率分别为 20、 40dB/dec；2）系统的相频特性是两个惯性环节相频特性的叠加,为arctanarctan 0.5两个转折频率处相位分别为1=72°,2=109°；绘制开环伯德图L、 ,如图 5.4（b）所示；（5）Gss s0.2s0. 02系统开环传递函数的时间常数表达式为G s 0.25ss1105s10.02 501s 50s1幅相频率特性 1）系统为型系统,A0=, 0=90o,低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处；低频渐近线如下 确定：G j10 51j10 511j5014502jj1025021j 5011j501j502500125002Im Re L/ （dB）0.02400.2 20s160204020450 0/ rad·0.002G j0.020.2/ rad·s1 / 900135180a 幅相频率特性 b 对数频率特性 图 5.5 题 5.3（5） 系统频率特性 115 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 低频渐近线为450x lim Re 0 G j lim0 R lim0 1 2500 2 450同时可知,频率特性实部、虚部均 <0,故曲线只在第三象限；2）nm=1,就 =90 ,幅相特性沿负虚轴进入坐标原点；3）此系统有开环零点,因此在 由 0 增大到 过程中,特性曲线有凹凸,最终最终原点；系统的幅相频率特性 Gj 见图 5.5a；对数频率特性1）系统转折频率分别为 1 =0.02 rad s1、· 2=0.2 rad s1；·系统为 I 型,低频段斜率为20dB/dec ,低频段表达式为 L=20lg1020lg,因此 L0.02=54dB ；经过转折频率 1、 2后斜率分别为40 dB/dec、 60dB/dec；2）系统的相频特性为两个惯性环节相频特性的叠加,为arctan590arctan50两个转折频率处相位分别为,0.02=0.2= 129°；系统的对数频率特性L、 见图 5.5b；（6）Gss1 10s1 s2幅相频率特性1）系统为 0 型系统, A0= 10,0= 0o,开环奈氏曲线起点为10,j0点； nm=3,就 = 270 ,幅相特性沿正虚轴进入坐标原点；2）同上,频率特性表达式分母有理化为Gkjj102j11012222j12211212210.2523）相位有=90 ,因此与虚轴的交点为Gj见图 5.6a；Re G j00.71 rad/ ,ImG j0.719.43相位有 =180 ,因此与实轴的交点为ImG j02 rad/ ,ReG j23.3此系统无开环零点,因此在由 0 增大到过程中,奈氏曲线是平滑的曲线,对数频率特性116 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1）系统惯性环节、二阶振荡环节的转折频率均为 T =1 rads1；·系统为 0 型,低频段斜率为0dB/dec,低频段表达式为L=20lg10=20dB ,经过转折频率T后斜率为60 dB/dec ；渐近线上各点坐标可以通过坐标系直接读出,也可依据简洁的运算求出；例如,点 L2与 L1=20dB 位于同一条斜线,斜率为60dB/dec,就 L2的纵坐标值满意L1L260lg1lg 2求出 L2=2dB ；2）系统的相频特性为惯性环节与二阶振荡环节相频特性的叠加,为Im arctanarctan 121210/ rad·s1L/ （dB）20000.1 60 3.3 010 Re 0 / rad·s 1090j9.43 G j180 270转折频率处相位为a 幅相频率特性b 对数频率特性图 5.6 题 5.3（ 6）系统频率特性1=136° ,并有2=209°；系统的对数频率特性L、 见图 5.6b；（7）Gse02.s1幅相频率特性1）推迟环节与其他典型环节相结合不影响幅频特性,但使相频特性的最大滞后为无穷大；系统频率特性为A Gjej0.2111jG j2117 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 180arctan11.4arctan3.142）随的增大,此系统幅频特性156.4 ,10 198 从 0°始终变化到A单调减小,而相位滞后单调增加,相频特性负无穷大；故该系统的奈氏图是螺旋状曲线,绕原点顺时针旋转 数个交点,如图 5.7（a）所示；3）与虚轴的第一个交点为次,最终终止于原点,与实轴、虚轴有无2.24 radRe G j00.42/ ,ImG j4）与实轴的第一个交点为8.77 radImG j00.12/ ,Re G j2L/ （dB）000.11 2010/ rad·s120Im 0.12 01 0Re 0 /110/ rad·s 1 90j0.42 G j180270a 幅相频率特性 b 对数频率特性 图 5.7 题 5.3（7） 系统频率特性对数频率特性 系统的对数幅频特性与典型惯性环节的对数幅频特性完全一样,但相频特性滞后无限增加；系统的对数 频率特性 L 、 见图 5.7b；5.4 求图 5.8 所示的电网络的频率特性表达式,以及幅频特性与相频特性表达式,并绘制出对数频率特 性曲线；118 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图 5.8 题 5.4 图解：（ a）电网络的传递函数为0L /dB1G s R 2R 2R 2R 2R Cs 1120lg1/ rad·s1R 11R 2R 1R R CsR 1R 2sC 1R sC1R 2R 1Ts11sCR Cs1R 1R 2R R Cs1Ts1R 1R 2L /dB 11TT/ rad·s 1 0TT+20-2020lg /601m/ rad /1T/ rad·s10m300s 1 90 （b）T（a）频率特性为图 5.9 题 5.4 伯德图R 1R 2R 21, TR CG jjjT1T1幅频特性A T221T1相频特性119 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - arctanTarctanT伯德图见图5.9（a）,此电网络是系统校正中常用的超前校正装置（见第六章）,出现以下特点：1） 转折频率1 与 T1 之间渐近线斜率为 T20dB/dec ,起微分作用；2） 在整个频率范畴内都 3） 有超前最大值 m；（b）电网络的传递函数为>0,具有相位超前作用,故名超前校正装置；G s R 1R 2R 21R 1R Cs11sC1R CssCR 1R 2R 21, TR C 2频率特性为G jjjR C 211R 1R C幅频特性A T22211T相频特性arctanTarctanT,出现以下特点：伯德图见图5.9（a）,此电网络是系统校正中常用的滞后校正装置（见第六章）1） 转折频率1与1 之间渐近线斜率为20dB/dec,起积分作用；TT2） 在整个频率范畴内都<0,具有相位滞后作用,故名滞后校正装置；3） 有滞后最大值m；5.5 由试验测得某最小相位系统幅频特性如下,试确定系统的传递函数 表 5.1 最小相位系统的试验数据/rad ·s 1 0.3 0.5 1.25 2 2.5 5 6.25 10 12.5 20 25 50 100 A9.978 9.79 9.64 9 8.78 6.3 5.3 3.24 2.3 0.9 0.6 0.1 0.01 解：1）依据表 5.1,求出与每个频率对应的稳态输出与输入幅值比的分贝值 120 20lgA,见表 5.2；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 表 5.2 最小相位系统的试验数据/rad ·s 1 0.3 0.5 1.25 2 2.5 5 6.25 10 12.5 20 25 50 100 A9.978 9.79 9.64 9 8.78 6.3 5.3 3.24 2.3 0.9 0.6 0.1 0.01 20lgA 19.98 19.82 19.68 19.08 18.87 15.99 14.49 10.21 7.23 0.92 4.43 20 40 2）已知该系统为最小相位系统,可直接由幅频特性曲线求出传递函数,依据表5.12 绘出系统的对数幅频性曲线 L ,如图 5.10 虚线所示；3）依据求得的 L ,由 0、±20、±40、±0dB/dec 斜率的线段近似,求出其渐近线,如图 5.10 实线所示；4）由低频段确定系统积分环节的个数 v 与开环传递系数 K低频渐近线的表达式为 L =20lg K=20dB,系统为 0 型, K=10；5）由渐近线的每个转折点确定各典型环节的转折频率；并由渐近线在转折点斜率的变化量确定串联的各典型环节；在转折频率13 处,斜率减小20dB/dec,就必有惯性环节G s 11；3 sL /（dB）60 40 60 0 20 20 40 12 20 30 0.01 1 3 10 100 20 / rad·s1 20 60 40 60 图 5.10 题 5.5 掌握系统的开环伯德图Ts1,阻尼比 可由谐在转折频率230 处,斜率减去40dB/dec,就有振荡环节Gs T2s212振峰值的大小查表求取；由图5.10,230 处 L 的误差约为 6dB,查教材表5.7（振荡环节对数幅频特性最大误差修正表）可得, 1；因此,G 2 12 s11s1；90015121 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6）综上,系统的传递函数为G s 3 s1101s11 9002 s155.6 各系统开环传递函数如下,用奈氏稳固判据判定以下反馈系统的稳固性500（1 G K 2s s s 100（2）G K 1000.01 s 1s s 1解：（1 G K 2 500s s s 100令 s=j,得开环系统频率特性500G K j 2j j 100 1）系统为型系统,A0=, 0=90o,低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处；低频渐近线如下确定：将频率特性表达式分母有理化为GKjj5002j5001002j2j222j10021002j100500j5001002500j500100100221002221002就低频渐近线为xlim Re 0G jlim 0R lim 010050020.0590o 连续变化到22同时可知,频率特性实部0,故曲线只在其次与第三象限；2）nm=3,就 =270 ,幅相特性沿正虚轴进入坐标原点；3）此系统无开环零点,因此在由 0 增大到过程中,特性的相位单调连续减小,从270 ；奈氏曲线是平滑的曲线,从低频段开头幅值逐步减小,沿顺时针方向连续变化最终最终原点；4） 有 180 相位角,故曲线与负实轴有交点,交点坐标可以由下式确定0Im Gj= I=5001002221002122 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解之得交点处频率=10,代入实部I ,即可得曲线与负实轴交点的坐标为1005002105由 0 变到 +时,开环频率特性曲22该系统开环奈氏曲线见图5.111；5）曲线始于虚轴的无穷远处,与负实轴的交点为（5,j0）；故当线顺时针包围（1,j0）点的次数为1/2,N=1/2；由于开环右极点数为P=0,故Z = 2N + P=2 闭环系统有两个右极点,闭环不稳固；5 1 Im Re 0 1 Im Re 0.05 0 101 0 0 （1）（ 2）图 5.11 题 5.6 系统幅相频率特性解：（2）G K 1000.01 s 1s s 1令 s=j,得系统开环频率特性100 0.01 1G K j j j 1该系统为非最小相位系统,P=1,开环系统的相频特性为 arctan 0.01 90 180 arctan 270 arctan0.01 arctan1）系统为型系统,A0=,0=270o,低频特性始于平行于正虚轴的无穷远处；低频渐近线如下确定：将频率特性表达式分母有理化为123 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - GKj100 0.0111j1001j0.01 1jjj1j1jj10010.0122j1.01 1012j10010.0121112就低频渐近线为101x lim Re G j lim R lim 2 1010 0 0 1 同时可知,频率特性实部0,故曲线只在其次与第三象限；2） =90 ,幅相特性沿负虚轴进入坐标原点；3）此系统有开环零点 0.01 s 1,因此在 =100 邻近曲线有凹凸；4） 有 180 相位角,故曲线与负实轴有交点,交点坐标可以由下式确定21001 0.01 Im Gj =I = 2 01 解之得交点处频率 =10,代入实部 I ,即可得曲线与负实轴交点的坐标为1012 11 105）该系统开环奈氏曲线见图 5.112,与负实轴的交点为（1,j0）,说明闭环系统临界稳固,有位于虚轴上的共轭虚根；如直接采纳劳斯判据,系统的闭环特点方程为A s 2 sss100s21000闭环极点