2022年考研必备三角函数公式.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载三角函数诱导公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设 为人意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k ） sin cos （2k ） cos tan （2k ） tan cot （2k ） cot 公式二：设 为任意角, 的关系：+ 的三角函数值与 的三角函数值之间sin （ ）sin cos （ ）cos tan （ ）tan cot （ ）cot 公式三：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载任意角 与 - 的三角函数值之间的关系：sin （ ）sin cos （ ） cos tan （ ）tan cot （ ）cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到的关系：sin （ ）sin cos （ ）cos tan （ ）tan cot （ ）cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到间的关系：sin （2 ）sin cos （2 ） cos- 与 的三角函数值之间2 - 与 的三角函数值之名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - tan （2 ）精品资料欢迎下载tan cot （2 ）cot 公式六： /2 ± 与 的三角函数值之间的关系：sin （ /2 ） cos cos （ /2 ） sin tan （ /2 ） cot cot （ /2 ） tan sin （ /2 ） cos cos （ /2 ） sin tan （ /2 ） cot cot （ /2 ） tan 诱导公式记忆口诀 规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于 k· /2 ± k Z 的个三角函数值,当 k 是偶数时,得到 的同名函数值,即函数名不转变；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载当 k 是奇数时,得到 相应的余函数值,即 sin cos;cossin;tancot,cottan. （奇变偶不变）然后在前面加上把 看成锐角时原函数值的符号；（符号看象限）例如：sin2 sin4 · /2 ,k4 为偶数,所以取sin ；当 是锐角时,2 270 ° , 360° ,sin2 0,符号为“ ” ；所以 sin2 sin 上述的记忆口诀是：奇变偶不变,符号看象限；公式右边的符号为把 视为锐角时,- 、 180° ± , 360° - 角 k· 360° +（kZ）,所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载各种三角函数在四个象限的符号如何判定,也可以记住口诀“ 一全正；二正弦；三为切；四余弦” 这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“ ” ；其次象限内只有正弦是“ ” ,其余全部是“ ” ；第三象限内切函数是“ ” ,弦函数是“ ” ；第四象限内只有余弦是“ ” ,其余全部是“ ” , 一全正 , 二正弦 , 三正切 , 四余弦 上述记忆口诀 其他三角函数学问：同角三角函数基本关系 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 : tan ·cot 1 ·sin csc 1 ·cos sec 1 商的关系：sin /cos tan sec /csc 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载cos /sin cot csc /sec 平方关系：sin2 cos2 1 1 tan2 sec2 1 cot2 csc2 同角三角函数关系六角形记忆法 六角形记忆法：构造以 " 上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1" 的正六边 形为模型；（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相 邻的两个顶点上函数值的乘积；（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）；由此,可得 商数关系式；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方；两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin （ ）sin （ ）cos （ ）cos （ ）sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin tan tan tan （ ）1tan · tan tan tan tan （ ）1tan · tan 倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin2 2sin cos 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载cos2 cos2 sin2 2cos2 1 12sin2 2tantan2 1 tan2 半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） 1cos sin2 /2 2 1 cos cos2 /2 2 1cos 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载tan2 /2 1cos 万能公式万能公式 2tan /2 sin 1 tan2 /2 1 tan2 /2 cos 1 tan2 /2 2tan /2 tan 1 tan2 /2 万能公式推导 附推导：sin2 =2sin cos =2sin cos名师归纳总结 /cos2 +sin2 .*,第 9 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（由于 cos2 +sin2 =1 ）再把 * 分式上下同除 tan2 cos2 ,可得 sin2 2tan /1 然后用 /2 代替 即可；同理可推导余弦的万能公式；正切的万能公式可通过正弦比 余弦得到；三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin3 3sin 4sin3 cos3 4cos3 3cos 3tan tan3 tan3 13tan2 三倍角公式推导附推导：tan3 sin3 /cos3 sin2 cos cos2 sin /cos2 cos -sin2 sin名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载2sin cos2 cos2 sin sin3 /cos3 cos sin2 2sin2 cos 上下同除以 cos3 ,得：tan3 3tan tan3 /1-3tan2 sin3 sin2 sin2 cos cos2 sin 2sin cos2 1 2sin2 sin 2sin 2sin3 sin 2sin2 3sin 4sin3 cos3 cos2 cos2 cos sin2 sin 2cos2 1cos 2cos sin2 2cos3 cos 2cos 2cos3 4cos3 3cos 即sin3 3sin 4sin3 cos3 4cos3 3cos 三倍角公式联想记忆 记忆方法：谐音、联想名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载正弦三倍角：3 元 减 4 元 3 角（欠债了 被减成负数 ,所以要“ 挣钱” 音似“ 正弦” ）余弦三倍角：4 元 3 角 减 3 元（减完之后仍有“ 余” ）留意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示；和差化积公式三角函数的和差化积公式 ·cos - sin sin 2sin -2 2 ·sin - sin sin 2cos -2 2 ·cos - cos cos 2cos -2 2 名师归纳总结 第 12 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载sin - cos cos 2sin -·2 2 积化和差公式 三角函数的积化和差公式sin ·cos 0.5sin（ ）sin （ ） ·cos sin 0.5sin（ ）sin （ ） ·cos cos 0.5cos （ ）cos （ ） ·sin sin 0.5cos（ ）cos（ ） 和差化积公式推导 附推导：第一 , 我们知道 sina+b=sina*cosb+cosa*sinb,sina-b=sina*cosb-cosa*si nb 我们把两式相加就得到sina+b+sina-b=2sina*cosb 所以 ,sina*cosb=sina+b+sina-b/2 同理 , 如把两式相减 , 就得到 cosa*sinb=sina+b-sina-b/2 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载同样的 , 我们仍知道 cosa+b=cosa*cosb-sina*sinb,cosa-b=cosa*cosb+sina*si nb 所以 , 把两式相加 , 我们就可以得到 cosa+b+cosa-b=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=cosa+b+cosa-b/2 同理 , 两式相减我们就得到sina*sinb=-cosa+b-cosa-b/2 这样 , 我们就得到了积化和差的四个公式 : sina*cosb=sina+b+sina-b/2 cosa*sinb=sina+b-sina-b/2 cosa*cosb=cosa+b+cosa-b/2 sina*sinb=-cosa+b-cosa-b/2 好, 有了积化和差的四个公式以后 , 我们只需一个变形 , 就可以得到和差化积的四个公式 . 我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y, 那么a=x+y/2,b=x-y/2 名师归纳总结 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: 第 14 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载sinx+siny=2sinx+y/2*cosx-y/2 sinx-siny=2cosx+y/2*sinx-y/2 cosx+cosy=2cosx+y/2*cosx-y/2 cosx-cosy=-2sinx+y/2*sinx-y/2 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页
