2022年计算第一型曲线积分.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 1.运算第一型曲线积分: 1Lxy ds,其中 L 是以O0 ,0 ,A 0,1,B01,为顶点的三角形分析： 先将 L 分段表示,在利用第一型曲线积分的性质；解：LL=OA+AB+BO,又x11x1y ds+BOx.y dsOA ：xx0y0AB ：xxx0xy1BO：x00y1AByyy ds+xy ds=OAx=1xdx1 02dxy dy12001名师归纳总结 2Lx2y22ds,其中 L 是以原点为中心, R 为半径的右半圆周; 第 1 页,共 4 页分析： 是以原点为中心, R为半径的右半圆周的参数方程为：xRcos,yRsin.221解：Lx2y22ds=2R2d2 R.2.3Lxyds, 其中 L 为椭圆x2y21在第一象限中的部分; a2b2分析： 先将椭圆x2y21在第一象限中的部分表示为: a2b2yba2x2 ,0xaa解： 由于yba2x2,ya2bx2,从而axLxyds=abxa2x21y2dx0a=abxa2x21a2b2x2x2dx0aa2=baa2x22 bx2dx22 a0a2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =b2aa4 a22 b2 xdx22 a0=aba2aabb2. ta2的一段 ; 3b此题也可将椭圆x2y21在第一象限中的部分表示为参数方程：a2b2xacos02ybsin4 Lyds,其中 L 为单位圆周x2y21; 解： 由于单位圆的参数方程为:xcos ,ysin02 ,从而Lyds=0sind2sind4. 5 Lx2y2z2 ds,其中 L 为螺旋线xacost,yasint,zbt0解：Lx2y22 z ds=2a2b2t2a2b2dt23 a242b22b2. 036 Lxyzds,其中 L 是曲线xt,y22 t3,z1t20t1的一段 ; 32解：Lxyzds=1t22 t31t212 tt2dt032=21t9/2 1tdt162.301437L2y2z2ds,其中 L 是x2y2z2a2与xy相交的圆 . 分析：x2y2z2a2与xy相交的圆xy2y2 za2的2其参数方程为xyasint,zacost,0t22解：L2y2z2ds=2aa2sin2ta2cos2tdt2 a2.0留意：运算第一型曲线积分的关键是将L 的表达式正确的给出来；名师归纳总结 2.求曲线xa,yat,z1at20t,1a0的质量 ,设其线密度为2z. 第 2 页,共 4 页2a分析：依据 第一型曲线积分的物理意义MLds- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 曲线质量为 : ML2zds=1ta2a2t2dt=a11t2dt21 a221 .a02033.求摆线xa t. sin t ,cos t 0t的重心 ,设其质量分布是匀称的ya 1分析：设 摆线的密度为0,先求出摆线的质量,再求出它的重心解： 由于名师归纳总结 dsa2 1cos t2a2sin2tdt2 asintdt.y ds的公式 ,并用此公第 3 页,共 4 页2所以质量M02 a00sint dt2t4 a0.故重心坐标为y1 M0a tdtsin 2 sin2=a0tsintdta0sintsintdt2222=atcost|0a0cost dt2a0cos3 tcost dt4a .24223x100a tcos 2 sintdtM2=a0sint dt2a0sin3 tsint dt4a .242234.如曲线以极坐标12表示 ,试给出运算Lfx ,式运算以下曲线积分: 1L e2 xy2ds,其中 L 为曲线a 04的一段 ; 2 Lx ds,其中 L 为对数螺线aekk0在圆ra内的部分 . 分析： 先将 L 的极坐标12表示为直角坐标：L：x cos12y sin,从而解 ：因 L 的参数方程为xcos,ysin12dsdx2dy2d22'd.dd故Lfx ,y ds- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =12fcos,sin22d. 1 L ex2y 2ds=4eaa20daa e.0dxta21k202 ekcosd. 042 Lx ds=0aekcosa2e2ka2x2e2k记I02 ek cosd,就I2 eksin02ksind2k4 k2I于是I42k1,故Lxds42 a k12k2. k214k,yyt,t,上 连 续 , 就 存 在 点5.证 明 :如 函 数fx,y在 光 滑 曲 线L:xx0,y0L,使得Lfx ,ydsfx0,yL,其中L 为 L 的弧长 . 分析： 先将第一型曲线积分转化为定积分即：Lfx,y ds=fxt,y tx2ty2tdt.再利用推广的定积分第一中值定理证： 由于 f 在光滑曲线,L 上连续 ,从而曲线积分dtLfx ,y ds存在 ,且Lfx,y ds=fxty tx2ty2t. 又因 f 在 L 上连续 ,L 为光滑曲线 ,所以名师归纳总结 fxt,yt与x2 ty2t在,上连续且t0x2 t. y2 t非负（不变号） ,由推第 4 页,共 4 页广的定积分第一中值定理:0t,使Lf x t ,y t x2 y2 t dtfx t0,y=fx t0,y t0x2ty2tdt令x 0xt0,y0yt0,明显x0,y0L,且Lfx ,y dsfx 0,y0L. - - - - - - -
