2022年讲义工程问题、单位“”的分数应用题、浓度、折扣利率、比例.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 讲义 工程问题、浓度、折扣利率、比例一、基本公式：工作总量 =工作效率× 工作时间工作效率 =工作总量÷ 工作时间工作时间 =工作总量÷ 工作效率基本思路：假设工作总量为“1” （和总工作量无关）；假设一个便利的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数）,利用上述三个基本关系,可以简洁地表示出工作效率及工作时间 . 关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系；举一个简洁例子：一件工作,甲做 10 天可完成,乙做 15 天可完成 . 问两人合作几天可以完成？一件工作看成 1 个整体,因此可以把工作量算作 1. 所谓工作效率,就是单位时间内完成的工作量,我们用的时间单位是“ 天” ,1 天就是一个单位,再依据基本数量关系式,得到所需时间 =工作量÷ 工作效率=6（天）两人合作需要 6 天. 这是工程问题中最基本的问题,这一讲介绍的很多例子都是从这一问题进展产生的 . 一、两个人的问题标题上说的“ 两个人” ,也可以是两个组、两个队等等的两个集体 . 例 1 一件工作,甲做 9 天可以完成,乙做 6 天可以完成 . 现在甲先做了 3 天,余下的工作由乙连续完成 . 乙需要做几天可以完成全部工作？答：乙需要做 4 天可完成全部工作 . 例 2 一件工作,甲、乙两人合作30 天可以完成,共同做了6 天后,甲离开了,由乙连续做了 40 天才完成 . 假如这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 共做了 6 天后,原先,甲做 24 天,乙做 24 天,现在,甲做 0 天,乙做 40=（24+16）天 . 这说明原先甲 24 天做的工作,可由乙做 16 天来代替 . 因此甲的工作效率假如乙独做,所需时间是假如甲独做,所需时间是答：甲或乙独做所需时间分别是 75 天和 50 天. 例 3 某工程先由甲独做63 天,再由乙单独做28 天即可完成；假如由甲、乙两人合作,需48 天完成 . 现在甲先单独做 解： 先对比如下：42 天,然后再由乙来单独完成,那么乙仍需要做多少天？甲做 63 天,乙做 28 天；甲做 48 天,乙做 48 天. 就知道甲少做 63-48=15 （天）,乙要多做 48-28=20 （天）,由此得出甲的甲先单独做 42 天,比 63 天少做了 63-42=21 （天）,相当于乙要做因此,乙仍要做 28+28= 56 （天） . 答：乙仍需要做 56 天. 例 4 一件工程,甲队单独做 10 天完成,乙队单独做 30 天完成 . 现在两队合作,其间甲队休息了 2 天,乙队休息了 8 天（不存在两队同一天休息）. 问开头到完工共用了多少天时间？解一： 甲队单独做8 天,乙队单独做2 天,共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的,需要的天数是2+8+ 1= 11 （天） . 答：从开头到完工共用了 11 天. 二、多人的工程问题我们说的多人,至少有 3 个人,当然多人问题要比 2 人问题复杂一些,但是解题的基本思路仍是差不多 . 例 5 一件工作,甲、乙两人合作 36 天完成,乙、丙两人合作 45 天完成,甲、丙两人合作要 60 天完成 . 问甲一人独做需要多少天完成？名师归纳总结 解：设这件工作的工作量是1. 第 2 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 甲、乙、丙三人合作每天完成减去乙、丙两人每天完成的工作量,甲每天完成答：甲一人独做需要 90 天完成 . 例 6 一件工作,甲独做要12 天,乙独做要18 天,丙独做要24 天. 这件工作由甲先做了如干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3 倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的 2 倍,最终做完了这件工作 . 问总共用了多少天？解： 甲做 1 天,乙就做 3 天,丙就做 3× 2=6（天） . 说明甲做了 2 天,乙做了 2× 3=6（天）,丙做 2× 6=12 天）,三人一共做了2+6+12=20（天） . 答：完成这项工作用了20 天. 6 天就能完成 .例 7 制作一批零件,甲车间要10 天完成,假如甲车间与乙车间一起做只要乙车间与丙车间一起做,需要8 天才能完成 . 现在三个车间一起做,完成后发觉甲车间比乙车间多制作零件 2400 个. 问丙车间制作了多少个零件？解一： 仍设总工作量为 1. 甲每天比乙多完成因此这批零件的总数是名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 丙车间制作的零件数目是答：丙车间制作了 4200 个零件 . 三、水管问题从数学的内容来看,水管问题与工程问题是一样的. 水池的注水或排水相当于一项工程,注水量或排水量就是工作量. 单位时间里的注水量或排水量就是工作效率. 至于又有注入又有排出的问题,不过是工作量有加有减罢了 本相同 . . 因此,水管问题与工程问题的解题思路基例 8 甲、乙两管同时打开,9 分钟能注满水池 . 现在,先打开甲管,10 分钟后打开乙管,经过 3 分钟就注满了水池 . 已知甲管比乙管每分钟多注入 0.6 立方 M水,这个水池的容积是多少立方 M？甲每分钟注入水量是乙每分钟注入水量是因此水池容积是答：水池容积是 27 立方 M. 例 9 一个蓄水池,每分钟流入 4 立方 M水. 假如打开 5 个水龙头, 2 小时半就把水池水放空,假如打开 8 个水龙头, 1 小时半就把水池水放空 . 现在打开 13 个水龙头,问要多少时间才能把水放空？解： 先运算 1 个水龙头每分钟放出水量 . 2 小时半比 1 小时半多 60 分钟,多流入水4 × 60= 240 （立方 M）. 时间都用分钟作单位,1 个水龙头每分钟放水量是240 ÷（ 5 × 150- 8 × 90 ）= 8 （立方 M）,8 个水龙头 1 个半小时放出的水量是8 × 8 × 90 ,其中 90分钟内流入水量是 4 × 90 ,因此原先水池中存有水 8 × 8 × 90-4 ×90= 5400 （立方 M）. 打开 13 个水龙头每分钟可以放出水 8× 13,除去每分钟流入 4,其余将放出原存的水,放空原存的 5400,需要5400 ÷ （ 8 × 13- 4）=54（分钟） . 答：打开 13 个龙头,放空水池要 54 分钟 . 水池中的水,有两部分,原存有水与新流入的水,就需要分开考虑,解此题的关键是先名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求出池中原存有的水. 这在题目中却是隐含着的. 例 19 一个水池,地下水从四壁渗入池中,每小时渗入水量是固定的 . 打开 A 管, 8 小时可将满池水排空,打开 C 管, 12 小时可将满池水排空 . 假如打开 A,B 两管, 4 小时可将水排空 . 问打开 B,C两管,要几小时才能将满池水排空？解： 设满水池的水量为 1. A管每小时排出A管 4 小时排出因此, B,C两管齐开,每小时排水量是B,C两管齐开,排光满水池的水,所需时间是答： B, C 两管齐开要 4 小时 48 分才将满池水排完 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页
