2022年胡海岩机械振动基础第三章课件.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 胡海岩机械振动基础第三章课件 DETeC/QC/LN-V&S DETeC/QC/LN-V&S 第 3 章 无限自由度系统的振动 * * 多自由度大自由度无限自由度 * 实际振动系统的惯性、弹性和阻尼都是连续分布的,因而称为连续系统或分布参数系统；确定连续系统中很多个质点的运动形状需要无限多个广义坐标,因此连续系统又称为无限自由度系统；讨论对象 : 限于由匀称的、 各向同性线弹性材料制成的弦、杆、轴、梁、膜以及板,简称为弹性体； * 3.1 弹性杆的纵向振动 圆轴的扭转振动 弦的横向振动 EI, l, M 杆的纵向振动 同类型的振动：圆轴的扭转振动 弦的横向振动 * 振动微分方程、 解法、特性相同 * * 式相同,可用相同的方法分析；详细的步骤是：弹性杆、 轴和弦的振动微分方程形（1）分别变量将偏微分方程转化为常微分方程组 ; （2）由边界条件得出固有振动 ; （3）利用固有振型的正交性将系统解耦 ; （4）用振型叠加法得到系统的自由振动或受迫振动； * 3.1.1 振动微分方程直杆的纵向振动微分方程设有长度为 l 的直杆,取杆的轴线作为 x 轴；记杆在坐标 x 的横截面积为A x 、材料弹性模量为 E x 、密度为 . x ,用 u x, t 表示坐标为 x 的截面在时名师归纳总结 刻 t 的纵向位移, f x, t 是单位长度杆上分布的纵向作用力；取长为dx 的第 1 页,共 4 页杆微段为分别体,其受力分析如图； * 杆的纵向应变和轴向力分别为依据Newton 其次定律 * 对于匀称材料的等截面直杆, E x A x 为常数是杆内弹性纵波沿杆纵向的传播速度直杆纵向受迫振动微分方程其中 * 杆的自- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由振动 分别变量法 : 两端必同时等于一常数； 可以证明,该常数不会为正数 . （1）固有振动的形式 * （2）固有振动的确定 描述了杆纵向振动幅值沿杆长的分布 杆的边界条件是杆两端对变形和轴向力的约束条件,又称作几何边界 条 件 和 动 力 边 界 条 件；* a. 在 固 定端： ; b. 在自由端：；简单边界条件 例 ：试求 端固定 , 端自由的等截面直杆纵向固有振动；解：写出边界条件 * 这一函数给出了杆各截面的振幅,即杆的振动形状,故称为第 r 阶固有振型函数；像多自由度系统的固有振型一样,固 有 振 型 函 数 的 值 具 有 相 对 性 , 即可 以 是 任 意 常 数 ； 不 妨 取 式中,就有 求出无穷多个固有频率 : 由 杆的固有振动解 : * 上式在 时恰好对应自由杆零固有频率和刚体运动振型；此时,杆的运动有别于 而两端自由杆的固有频率和固有振型函数为 对于两端固定杆,类似地可求出其固有频率和固有振型函数为 杆的运动为 * 三种边界条件下杆的前 3 阶固有振型 固有振型曲线与坐标轴的交点为节点,系统固有振动幅值在节点处为零； 对于简洁边界条件的杆, 第 r 阶固有振型有 r-1 个节点； * 复杂边界条件 a. 一端装有刚度系数为 k 的拉压弹簧时 N N -反映了杆端的轴力与弹性力（或惯性力）间平稳关系 * b. 一端装有集中质量 m时 N N * 例4.1.2 匀称材料等截面直杆的 端固定、端具有集中质量 m,求其固有频率； EI, l m 固有频率方程 解：问题的边界条件为 * a. 假如杆的质量相对于集中质量很小,即 . 是杆的质量与杆端集中质量的比值；名师归纳总结 其中与将弹性杆视为无质量弹簧得到的单自由度系统固有频率一样；是整根第 2 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 杆的静拉压刚度； * b. 如杆质量小于集中质量,但比值不是特别小,可取 Taylor 绽开,将频率方程写作 解出 并 Taylor 绽开至二次项 STOP 相当于将弹性杆视为有质量的弹簧, 并用 Rayleigh 法计入弹簧质量后的单自由度系统固有频率； * 3.1.2 固有振型函数的正交性固定边界 : 自由边界 : a * a - b 同理可得 b a 杆的固有频率互异 * 杆的固有振型函数正交关系,它们分别反映了不同阶次固有振动间既无动能交换又无势能交换. 当时,定义杆的第 r 阶模态质量和模态刚度为它们的大小取决于如何对固有振型函数归一化,但其比值总满意 : * 更一般地,如杆在端有弹簧和集中质量、在端有弹簧、集中质量,按能量互不交换原就可写出固有振型正交关系 变截面直杆, 其固有振型的加权正交关系式为对于端点固定或自由的非匀称 正交性的物理意义： 在第 r 阶振型上的弹性力和惯性力不会在第 s 阶振型上作功,反之亦然； * 3.2 圆轴扭转振动微分方程 材料剪切模量 : 截面极惯性矩 : 密度 : 外扭矩分布 圆轴的扭转角应变和扭矩分别为 * 是轴内剪切弹性波沿轴纵向的传播速度；依据动量矩定理 : 对于匀称材料的等截面圆轴 : 其中 圆轴扭转振动微分方程 * （3）弦的横向振动微分方程设有长为 l 、横截面积为 A、材料密度为 . 的弦,两端所受张力为；用 w x, t 表示坐标为 x 的截面在时刻 t 的横向位移, p x, t 是单位长度弦上分布的横向作用力；由于只考虑微振动,可认为张力保持不变； 取微段后运用 Newton其次定律, 可得到 是弦内弹性名师归纳总结 横波沿纵向传播速度 . 弦横向振动微分方程 : 其中 y w x * 直杆纵向振动微第 3 页,共 4 页分方程圆轴扭转振动微分方程弦横向振动微分方程振动微分方程完全相- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 同 , 都 是 二 阶 线 性 双 曲 型 偏 微 分 方 程 , 可 以 用 相 同 的 方 法 分 析 ；DETeC/QC/LN-V&S DETeC/QC/LN-V&S 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页
