2022年质点运动学典型例题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 求解风吹气球时气球的运动情形一气球以速率V 从地面上升,由于风的影响,气球的水平速度按V xby增大,其中 b 是正的常量, y 是从地面算起的高度,1 气球的运动学方程；2 气球水平飘移的距离与高度的 关系；3 气球沿轨道运动的切向加速度 和轨道的曲率与高度的关系；解：x0y,如图1取平面直角坐标系 一,令 t=0 时气球位于坐标原点 地 面,已知V yV0,V xby .yV0t.显然,有1而dxbybV 0t,dxtbV 0tdt,dt对上式积分,x 0dxbV0tdt, 得到0x 轴取水平向右的方向；试运算：xbV0t2.rbV0t22jt. 2故气球的运动学方程为：iV 022由 1和 2式消去 t,得到气球的轨道方程,即气球的水平飘移距离与高度的 关系xby2.2 V 03气球的运动速率VV2V2b2V2t22 V 0b2y2V2xy00气球的切向加速度名师归纳总结 adVb2 V0t1bb2V0y2.第 1 页,共 10 页b2t22y2Vdt0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而由ana2a2和a2a2a2dVx2dVy2b2 V2,可得xydtdt0a nb2bV2V2.0y20由a nV2V2,求得3/2b2y2V 0 2an2 bV 0小船船头恒指向某固定点的过河情形一条笔直的河流宽度为d,河水以恒定速度u 流淌,小船从河岸的A 点动身,为了到达对岸的 O 点,相对于河水以恒定的速率VV>u 运动,不管小船驶向何处,它的运动名师归纳总结 方向总是指向O 点,如图一,已知AOr0,AOP0,试求：,结果又如何？第 2 页,共 10 页小船的运动轨迹；假设O 点刚好在 A 点的对面即AOd- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：选定极坐标系, 原点为 O 点,极轴为 OP ；在任一时刻t,小船的位置为 ,r,小船速度的径向重量和横向重量VrdrVucosVrdusindtdt两式相除,得到rdrdusindt drdrVucosdt 别离变量,drVuucosduVctgd,rsinsin积分后,得到rdr0uVctg d0lnsin0lnsinr0rsinlnrVlntan2lntanr0u2既lntg2V/usin0,sintg0 2/usin0.rtg2Vr0tg0sin2这就是用极坐标表示的小船的轨迹方程；假设 O 点刚好在 A 点的对面,就r0d,02,代入,得rdtg2V/ u.sin求解小环对地的运动情形一细杆绕端点O 在平面内匀角速旋转,角速度为t0时小环位于杆的端点O,求：小环的运动轨迹及小环在任意时刻的速度和加速度；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：此题采纳极坐标系较为便利；取t=0 时细杆的位置为极轴,此时小环位于端点O.任意时刻 t,小环的位置rut,t . 这就是小环在极坐标系中的运动学方 程；消去 t,便得小环的轨迹方程：ru,成正比, 小环的式中u为常量, r 与轨迹为阿基米德螺线,如图一；在任意时刻,小环的径向速度Vrdru,rdt横向速度Vrdru,tdt速度的大小VVr2V2u2r2u12t2.速度的方向指向阿基米德线的切线方向；小环的径向速度的大小不变,横向速度随的增大而增大；任意时刻,小环的加速度adVdur0r0,0t;dtdtr0和0 为径向和横向的单位矢量,就audr0dr0rd0dtdtdtud0dr0rdr2dtdtdtr2r02u0既径向加速度ar2u横向加速度a2u. 加速度的大小为aa2a2u42t2尽管质点的径向速度大小不变,但径向加速度并不为零,这是横向速度方向的变 化引起的；即使 u=0,小环停在半径上某一位置处,这一项仍是有的,这就是向心加速 度；横向加速度一半是径向速度的方向转变引起的,另一半就是由半径增大造成横向 速度增大引起的,由于这里横向加速度是由径向速度和横向速度共同造成的；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求解烟对船的速度当蒸汽船以 15km/h 的速度向正北方向航行时,船上的人观看到船上的烟囱里冒出的烟飘向正东方向；过一会儿,船以24km/h 的速度向正东方向航行,船上的人就观看到烟飘向正西北方向；假设在这两次航行期间,风速的大小和方向都不变,求：风速；烟对地的速度即风对 地的速度；解：设风速为 V,就人观看到 烟的飘向速度为V烟船V 冯地V船地由图一所示,可知Vsin151 2V24sin1350sin450由 2,得到cossin24.,8sin,V将 1代入上式,得到cossin1524/sin55cos5sin8sin得到tg51 . 67,5903即风来自西偏南590运用速度的相对性求解飞机来回一次的飞行时间一架飞机由A 处向北飞往B 处,然后又向南飞回A 处；已知 A、 B 相距为 L,飞机相对于空气的速度为V,而空气相对于地面的速度即风速 为 u,其方向为北偏西角,求：飞机来回一次的飞行时间；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由分析可知,偏东V机对地V机对气V气对地,V 必需北为了使飞机相对于地面的速度V的方向指向正北；飞机相对于空气的速度角,如图一所示；由上面的矢量式,得到VxVsinusin0V yVcosucos.消去,得到VyV2u2sin2ucos所以往程所需时间为t1LVy当飞机由 B 返回 A 时,V、u、V三者的关系如图二所示；同样可得,VxVsinusin0,V yVcosucos消去,得到VyV2u2sin2ucos.所以返程所需时间为t2LVy就所求时间可求；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 运用假设法判定静摩擦力和滑动摩擦力在桌上有质量为m =1kg 的板,板与桌面之间的摩擦因数u1m =2kg 的物体,板与物体之间的摩擦因数20 .25,如图一； 今以水平力F=19.6N 将板从物体下抽出；问：板与物体的加速度各为多少？解：当用力 F 拉动木板时,板上物体的运动有两种可能性,一是物体相对于板为静止,另一是物体的加速度小于板的加速度,即物体的运动滞后于板的运动,板将从物体下抽出；现分两种情形分别争论；（1）物体的运动滞后于板的运动的情形物体和板的受力情形如图二所示；留意桌面赐予板的摩擦力以及板与物体间的摩擦力均为滑动摩擦力；设板的加速度为a ,物体的加速度为a ；列出板和物体的运动方程：对板：F2f1gf2m 1a 1,N1N2m 10,f2m2a,N2m 2g0.又由于f11N1,f22N2联立方程组,得F 2 m 2 g 1 m 1 m 2 ga 1 , a 2 2 g .m 12代入数值,得 a 1 0 , a 2 0 . 25 g 2 . 45 m / S在此题的条件下,a 2 a 1 , 这明显是不合理的；（2）物体与板相对静止,物体与板一起运动的情形物体与板的受力图如图三所示；这里桌面赐予板的摩擦力为滑动摩擦力,而物体与板间的摩擦力为静摩擦力；板与物体的加速度相同,设为 a,列出板与物体的运动方程：名师归纳总结 Ff12f2m 1a,0 ,第 7 页,共 10 页N1Nm 1g0 ,f2m2a ,N2m2g- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又由于f11N1.联立解方程,得到a2F21m 1m 2g,2g,m 1m2fmF1m 1mm 1m2代入数值,得到a1.63m/S2,f23. 26N.f mzx2N24.9N,所以是可能实现所求得的静摩擦力2f 小于最大静摩擦力的；由第一种情形的争论可知,只有a 1a2才能将板从物体下抽出,依据以上运算结果,可得FF2m 2gm 11m 1m 2gg.2g,或者12m 1m2代入数值,得到F2.25g22.5N.飞车走壁一杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁；设演员和摩托车的总质量为 M ,直壁半径为 R,演员骑摩托车在直壁上以速率V 做匀速圆周螺旋运动,每绕一周上升的距离为h,如图一所示,求：直壁对演员和摩托车的作用力；名师归纳总结 N 和指向圆周运动中心的N ,如图二所示；同样,第 8 页,共 10 页把演员的速度V 分解为竖直向上的V 和绕筒壁做圆周运动的水平速度V ,于是N1Mg,N2ManM2 V 2.R绽开螺旋面成斜面,如图三所示,V 沿斜面对上；且- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 有V 2VcosV22Rh2,R 2代入,得到N2MV2442Rh22R2故圆筒壁对杂技演员的作用力大小为NN2N2442RV2g.12方向与壁成角2,arctgN Narctg12R22 h求解小船转向的情形一质量为 M 的机动船, 在进入河道弯道前Q 点处关闭发动机,以速度V 在静水中行驶,设水的阻力与船速成正比；1假设 Q 点至弯道处P 点的距离为L ,求船行至P 点时的速度； 2假设船行至P 点时开动发动机,给船以F 的转向力,0F 与速度方向的夹 0角为,如图一所示,求：船在该点的切向加速度以及航道的曲率半径；解： 1在 PQ 的河流直道行驶中,船仅受水的阻力,fkV,k 为比例系数,负号表示与速度的方向相反；有牛顿运动定律,得到名师归纳总结 fkVmdV,mVdV,第 9 页,共 10 页dtkVmdVdsdsdtds别离变量,积分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - L 0kdsVP dV0mV 0得到,船行至P 点的速度大小VPV 0kL0. P 点的加m方向沿弯道P 点的切线方向；kV 外, 仍受到转向力的作用,这样船在2在 P 点,船除了受到阻力速度aPk VPF0,mm此时其切向加速度名师归纳总结 akVpF0cos.F0coskkV02.k2L0.第 10 页,共 10 页mmmmm法向加速度anF0sinm V 0L0mP 点的曲率半径V2manFsin- - - - - - -