2022年递推数列特征方程法.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载递推数列特点方程一、问题的提出递推 迭代 是中学数学中一个特别重要的概念和方法,递推数列问题才能要求高,内在联系亲密,包蕴着不少精妙的数学思想和方法；在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列,又称兔子数列,是同学特别愿意探讨的递推问题,很多同学都会不约而同地向老师提出,这个数列有通项公式吗？如有,怎样求它的通项公式？笔者就曾遇到过一位宠爱钻研的同学,带着参考书上的解法而向我请教：已知斐波那契数列a 1a2,1an1anan1n2 ,3 ,求通项公式a ；参考书上的解法是这样的：解此数列对应特点方程为x2x1即x2x10,解得x125,设此数列的通项公式为anc 1125nc2125n,由初始条件a 1a21可知,c 11c 1c 112 55c 2125211,解之得5 1,122c 21 5c225所以an5125）125n；5这位同学坦率地表示,尽管参考书上介绍了利用特点方程求通项公式的一些结论,用上述方法得到的通项公式也是正确的,但他仍是“ 看不懂”；换句话说,这种解法的 依据是什么？特点方程是怎样来的？我虽然深知这是特点方程惹的祸,但由于现行教材只字未提特点方程,我也从未在课堂上作过补充,假如将有关利用特点方程求递推 数列通项的一些结论直接出现出来,或者以“ 高考不作要求” 为由来搪塞,同学是难以接受的,也是不负责任的；面对一头雾水的数学尖子,我在充分确定其善于摸索、勇于探究的珍贵品质的同时,也在苦苦查找解答这一问题的良策；其后不久,一次偶然的数学探究活动,竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解；二、讨论与探究问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：名师归纳总结 如数列an满意a 1b,an1candc1 ,其通项公式的求法一般采纳如下的第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载参数法,将递推数列转化为等比数列：名师归纳总结 设an1tcant,就an1canc1 t,第 2 页,共 6 页令c1 td,即tcd1,当c1时可得an1cd1c ancd 1,知数列a ncd1是以 c 为公比的等比数列,a ncd1a 1cd c1n1将a1b代入并整理,得anbcndcbcn1d. 1将上述参数法类比到二阶线性递推数列an1panqan1,能得到什么结论？仿上,我们来探求数列a n1tan的特点：不妨设an1tans antan1,就an1stanstan1, 令stqpst（1）如方程组有两组不同的实数解s 1,t1,s 2,t2, 就an1t1 ans 1ant 1an1, an1t2ans2ant2an1, 即an1t1an、an1t2an分别是公比为1s 、s 的等比数列,由等比数列性质可得an1t1a na 2t 1a 1s 1n1, an1t2a na 2t21a 1s 2n1, t1t2,由上两式消去an1可得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ana2t1t1a 1.s 1na2t1t2a 1精品资料欢迎下载.s 2n. s 1t2s2t2（2）如方程组有两组相等的解s 1s 2,易证此时t1s 1n1s 1,就1a1,t 1t2a n1t 1ans 1ant1a n1s 12 an1t1an2a2tan1a na2s 1s 1a1,即an是等差数列,s 1n1s 1n2s 1n由等差数列性质可知a na 1n1.a2s 1s 1a 1,s 1ns 12所以ana1a2s1s 1a1a2s 1s 1a 1. ns 1ns 122（限于同学学问水平,如方程组有一对共轭虚根的情形略）这样,我们通过参数方法,将递推数列转化为等比（差）数列,从而求得二阶线性递推数列的通项, 如将方程组消去t 即得s2psaq10,明显1s 、2 s 就是方程x2pxqpan的两根,我们不妨称此方程为二阶线性递推数列qan1的特点方程,于是我们n就得到了散见于各种数学参考资料的如下结论：设递推公式为an1panqan1,其特点方程为x2pxq即x2pxq0,1、 如方程有两相异根1s 、s ,就anc 1s 1nc 2s 2n；1,就可求得斐波那契数列2、 如方程有两等根s 1s2,就an c 1nc2s 1n. 其中c 、c 可由初始条件确定；pq这正是特点方程法求递推数列通项公式的根源所在,令的通项,真是“ 踏破铁蹄无觅处,得来全不费工夫”！（a,b,c,dR ,c0）,看aanb将上述方法连续类比到分式线性递推数列an 1cand看又会有什么发觉？名师归纳总结 仿照前面方法,等式两边同加参数t,第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就an1taanbt精品资料anab欢迎下载dtactactcandcnd令tbdt,即ct2adtb01,ct 1,1求得；act记此方程的两根为t1,t2,（1）如t1t2,将t1,t2分别代入式可得an1t1act 1cannt1adan1t2act2cannt2ad以上两式相除得an1t1act1antan1t22ant, act2于是得到ant 1为等比数列,其公比为aant2act2n数列a n的通项a 可由ant1a 1t1a act1ata 1tct2n22ant11（2）如t1t2,将t1t代入式可得an1t1actcand考虑到上式结构特点,两边取倒数得名师归纳总结 11cant11dnct1acd,act1d第 4 页,共 6 页an1t1act 1ant1由于t1t2时方程的两根满意2 t11ct1于是式可变形为an1t1acct1at1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - an1t1精品资料ac1欢迎下载为等差数列,其公差为,ct数列a n的通项a 可由a n1t1a 11t1n1 acct1求得这样,利用上述方法,我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列,从而求得其通项；假如我们引入分式线性递推数列xan 1aanb（a,b,c,dR,c0）cand的特点方程为xaxb,即cx2dab0,此特点方程的两根恰好是方程两cxd根的相反数,于是我们又有如下结论：即分式线性递推数列an 1aanb（da,b ,c,dR,c0）,其特点方程为xaxb,cancxdcx2daxb0,s ,就a ns 1成等比数列,其公比为acs 1；1s 、1、如方程有两相异根a ns 2acs 22、如方程有两等根s 1s 2,就1成等差数列,其公差为ac. ans 1cs 1值得指出的是,上述结论在求相应数列通项公式时当然有用,但将递推数列转化为等 比（等差）数列的思想方法更为重要；如对于其它形式的递推数列,我们也可借鉴前面的 参数法,求得通项公式,其结论与特点方程法完全一样,有爱好的读者不妨一试；三、应用举例名师归纳总结 例1、已知数列a1,1a2n5,且an1a4an4an1n2 ,求通项公式2a ；32n1,n1解设an1tans antan1,stanstan1令st42 a可得s212a n22n1a 2a 1st4t22 an1于是an12an22an第 5 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - an1a n3,即an精品资料1欢迎下载3 为公差的等差数列,4是以a 112为首项、2n12n2n42an1n1 3,从而a n3n1 2n2.a7t74,2n24例 2、设数列an满意a 12,an15an4,求an. 2an7解：对等式两端同加参数t 得anan1t5an4t2 t5an7 t42t52 t522an72a n7n令t7t4,解之得t1, 2 ,代入上式2t52 7,得an113an1,an129an2 an72an两式相除得an111an1,1的等比数列,an23an2即a n1是首项为a 111,公比为1an2a 1243a n111 3n,从而a n4n 312an2443n11四、收成与反思随着一般高中课程改革的逐步深化,要求广大老师在新课标理念指导下,大胆实 施课堂教学改革；如何制造性地处理教学内容,无疑是一项特别现实的课题；由于数 学学问出现方式的多样性、解决问题策略的多挑选性和数学思维的开放性,老师既要 加强学习,不断充实自己的学问结构,做到高屋建瓴而游刃有余,仍要不断提高驾驭 教材的才能,“ 用好教材”、“ 超越教材” 而不拘泥于教材,依据同学的实际情形,因材 施教,使同学知其然,更知其所以然,帮忙同学查找适合自己的学习方式,“ 授人以鱼 不如授之以渔”,在培育同学学习爱好的同时激发同学的思维,时时品味“ 蓦然回首,那人却在灯火阑珊处” 的精妙意境；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页
