2022年经典超级实用的解题方法之平面向量与解析几何.docx
精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载第 18 讲 平面对量与解析几何在高中数学新课程教材中,同学学习平面对量在前,学习解析几何在后,而且教材中二者知识整合的不多,很多同学在学习中就“ 平面对量” 解平面对量题,不会应用平面对量去解决解析几何问题；用向量法解决解析几何问题思路清楚,过程简洁,有意想不到的奇妙成效；闻名训练家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的爱好,简洁的重复将会引起同学大脑疲惫,学习爱好衰退；这充分揭示方法求变的重要性,假如我们能重视向量的教学,必定能引导同学拓展思路,减轻负担；一、学问整合平面对量是高中数学的新增内容,也是新高考的一个亮点；向量学问、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,它具有代数形式和几何形式的“ 双重身份”,能融数形与一体,能与中学数学教学内容的的很多主干学问综合,形成学问交汇点；而在高中数学体系中,解析几何占有着很重要的位置,有些问题用常规方法去解决往往运算比较纷杂,不妨运用向量作形与数的转化,就会大大简化过程；二、例题解析2 2例 1、（ 2000 年全国高考题） 椭圆 x y 1 的焦点为 F , 1F2,点 P 为其上的动点, 当 F1P 9 4F 2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范畴是 _；解： F1（5 ,0 ）F2（5 ,0 ）, 设 P（3cos ,2sin）F 1PF 2 为钝角PF 1 PF 2（5 3cos , 2sin 5 3cos , 2sin 2 2 2 =9cos54sin =5 cos1<0 5 5 3 5 3 5解得：cos点 P 横坐标的取值范畴是（,）5 5 5 5点评：解决与角有关的一类问题,总可以从数量积入手；此题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值,通过坐标运算列出不等式,简洁明白；例 2、已知定点 A-1,0和 B1,0 ,P 是圆 x-32+y-42=4 上的一动点,求PA22 PB 的最大值和最小值；名师归纳总结 分析：由于 O为 AB的中点,所以PAPB2PO 故可利用向量把问题转化为求向量OP 的最值；解：设已知圆的圆心为C,由已知可得：OA 1,0,OB1,0第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - OAOB优秀学习资料欢迎下载POy C x 0,OA OB1又由中点公式得PAPB2所以PA2PB2PAPB22PA PB2PO22OAOP OBOP = =OAOBP 4PO22 OA OB2OP22 OP =2OP22A o B 又由于OC3, 4点 P 在圆 x-32+y-42=4 上, 所以OC5,CP2,且 OPOCCP2100所以 OCCPOPOCCPOCCP7故20PA2PB22OP2即3OP所以PA22 PB 的最大值为100,最小值为20；点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件显现,但假如运用向量学问来解决,也会显得自然、简便,而且易入手；例 3、（ 20XX年天津高考题）O是平面上肯定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点 P满意 OP OA AB AC ,0,就 P 的轨迹肯定通过ABC的（）| AB | | AC |（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心分析：由于 AB、AC 分别是与 AB AC 同向的单位向量,由向量加法的平行四边形就知| AB | | AC |AB AC是 与 ABC 的 角 平 分 线 （ 射 线 ） 同 向 的 一 个 向 量 , 又| AB | | AC |AB ACOP OA AP ,知 P 点的轨迹是 ABC的角平分线,从而点 P 的轨迹肯定通过AB AC ABC的内心；反思：依据此题的结论,我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；名师归纳总结 （1）由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量v v、 ；第 2 页,共 5 页（2）求出角平分线的方向向量vv 1v 2v 1v 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（3）由点斜式或点向式得出角平分线方程； 直线的点向式方程：过 P（x 0 , y ）,其方向向量为 v a b ,其方程为 x x 0 y y 0 a b例 4、（ 20XX年天津）已知常数 a 0,向量 c 0, a ,i 1,0,经过原点 O 以 c i 为方向向量的直线与经过定点 A ,0 a 以 i 2 c 为方向向量的直线相交于点 P,其中 R 试问：是否存在两个定点 E、F,使得 PE PF 为定值, 如存在, 求出 E、F 的坐标； 如不存在, 说明理由（本小题主要考查平面对量的概念和运算, 求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方程判定曲线的性质,曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题才能 . ）解：依据题设条件,第一求出点 P 坐标满意的方程,据此再判定是否存在两定点,使得点 P 到两定点距离的和为定值 . c 0, a ,i 1,0, c i =（ ,a）,i 2 c =（ 1, 2 a）. 因此,直线 OP和 AP的方程分别为 y ax 和 y a 2 ax . 消去参数 ,得点 P x , y 的坐标满意方程 y y a 2 a 2x 2. a 2整理得 x1 2 ya 22 1 . 由于 a 0 , 所以得： 8 22（i ）当 a 时,方程是圆方程,故不存在合乎题意的定点 E 和 F；2（ ii ）当 0 a 2 时,方程表示椭圆,焦点 E 1 1a 2 a , 和 F 1 1a 2a, 为合乎题意2 2 2 2 2 2 2的两个定点；（ iii）当a2时,方程也表示椭圆,焦点E 0,1aa21和F0 ,1aa21为合22222乎题意的两个定点. 点评：此题以平面对量为载体,考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题才能；去掉平面对量的背景,我们不难看到,此题即为下题：在 OAP中,O（0,0）、A（0,a）为两个定点, 另两边 OP与 AP的斜率分别是a0, 2a ,求 P 的轨迹；名师归纳总结 - - - - - - -而课本上有一道习题（数学其次册（上）第96 页练习题 4）：三角形 ABC的两个顶点A、B 的坐标分别是（-6 , 0）、（6,0）,边 AC、BC所在直线的斜率之积等于4,求顶点 C的轨迹方程；通过本例可见高考题目与课本的亲密关系；9例 5（ 20XX年天津卷理22）椭圆的中心是原点O,它的短轴长为22,相应于焦点F（c,0）第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - （c0）的准线 l 与 x 轴相交于点优秀学习资料欢迎下载P、Q两点 . A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭圆相交于（1）求椭圆的方程及离心率；（2）如OPOQ0,求直线 PQ的方程；P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点M,证明（3）设APAQ（1）,过点FMFQ. 分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,平面对量的运算,曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题才能. . 2. （1）解：由题意,可设椭圆的方程为x2y21 aa22a2c2,22由已知得c2 a2c.解得a6,cc6所以椭圆的方程为x2y21,离心率e623（2）解：由（ 1）可得 A（3,0） . 名师归纳总结 设直线 PQ的方程为ykx3 . 由方程组027k26. 第 4 页,共 5 页x2y2,1得3k21 x218k2x27k2662ykx3 依题意1223k20,得6k6. 33x 1x2设Px 1,y 1,Qx2,y2,就x 1x218k21,3 k23 k21由直线 PQ的方程得y1kx 13 ,y2kx23 . 于是y1y2k2x 13x23 k2x1x23 x 1x29. OPOQ0,x1x2y 1y20. 由得5k21,从而k56,6. 533- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以直线 PQ的方程为x5y优秀学习资料欢迎下载21,y2. 30或x5y30（2）证明：APx 1,3y 1,AQx2,3y 2. 由已知得方程组x 13x23 ,留意1,解得x251y 1y2,x 1 2y 1 2,1622x2 22 y 21 .62y1,故3 ,1y 112,y 1因F,20,Mx1,FMx 12 ,y 1x 2而FQx22,y221,y2,所以FMFQ. 三、总结提炼由于向量具有几何形式和代数形式的“ 双重身份”新课程高考就突出了对向量与解析几何结合考查,使向量与解析几何之间有着亲密联系,而 这就要求我们在平常的解析几何教学与复习中,应抓住时机,有效地渗透向量有关学问,树立应用向量的意识；应充分挖掘课本素材,在教学中 从推导有关公式、定理,例题讲解入手,让同学去品位、去领会,在公式、定理的探究、形成中逐步体会向量的工具性,逐步形成应用向量的意识,在教学中仍应留意引导同学善于运用一些问 题的结论,加以引申,使之成为解题方法,体会向量解题的优越性,在教学中仍应留意引导同学 善于运用向量方法解题,逐步树立运用向量学问解题的意识；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页
