2022年考前指导高中数学基础知识梳理归类5.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载一. 集合与简易规律高中数学基础学问归类献给 文科 考生1. 留意区分集合中元素的形式.如： | x ylg x 函数的定义域；y ylg x 函数的值域；2. x y | yl g x函数图象上的点集. 2. 集合的性质：任何一个集合A是它本身的子集,记为 AA . 空集是任何集合的子集,记为A . 空集是任何非空集合的真子集；留意:条件为 AB ,在争论的时候不要遗忘了A的情形如：Ax|ax22x10 ,假如 AR,求 a 的取值 .答：a0 C UABC AC B ,C UABC AC B ；（AB）CA（BC）；（AB）CA（B）. ABAABBABC BC AAC BC ABR . AB 元素的个数：card ABcardAcardBcard AB . 含 n 个元素的集合的子集个数为2n；真子集 非空子集 个数为 2n1；非空真子集个数为2n3. 补集思想 常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题；如： 已知函数fx 4x22 p2 x2p2p1在区间1,1 上至少存在一个实数c ,使q . fc0,求实数 p 的取值范畴 .答：3 3, 24. 原命题 : pq ；逆命题 : qp ；否命题 : pq ；逆否命题 : qp ；互为逆否的两个命题是等价的.如：“sinsin” 是“” 的条件 .答：充分非必要条件 5. 如 pq 且 qp ,就 p 是 q 的充分非必要条件或 q 是 p 的必要非充分条件. 6. 留意命题 pq 的否定 与它的 否命题 的区分 : 命题 pq 的否定 是 pq ；否命题 是p命题“ p 或 q ” 的否定是“ p 且q”；“p且q” 的否定是“p或q”. 如：“ 如a 和 b 都是偶数,就ab是偶数” 的否命题是“ 如a 和 b 不都是偶数 ,就ab是奇数”否定是“ 如a 和 b 都是偶数 ,就ab是奇数” . 7. 常见结论的否定形式原结论否定原结论否定B是：“ 一对是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有 n 个至多有n1个小于不小于至多有 n 个至少有n1个对全部 x ,成立存在某 x,不成立p 或 qp 且q二. 函数对任何 x ,不成立存在某 x,成立p且qp或q1. 映 射f : A一或多对一” 的对应；集合A 中的元素必有象且A 中不第 1 页,共 12 页同元素在 B中可以有相同的象；集合B中的元素不肯定有原象即象集B . 一一映射f : AB ： “ 一对一” 的对应；A 中不同元素的象必不同, B 中元素都有原象.2. 函数 f : AB 是特殊的映射 .特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点,但与 y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个.3. 函数的三要素：定义域,值域 ,对应法就 .争论函数的问题肯定要留意定义域优先的原就. 4. 求定义域 :使函数解析式有意义如:分母0 ;偶次根式被开方数非负;对数真数0 ,底数0且1；零指数幂的底数0 ；实际问题有意义；如f x 定义域为 , a b ,复合函数f g x 定义名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载域由 a g x b 解出；如 f g x 定义域为 , a b ,就 f x 定义域相当于 x , a b 时 g x 的值域 . 5. 求值域常用方法 : 配方法 二次函数类 ；逆求法 反函数法 ；换元法 特殊留意新元的范畴 . 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；不等式法单调性法；数形结合：依据函数的几何意义 ,利用数形结合的方法来求值域；判别式法（慎用） ：导数法 一般适用于高次多项式函数 . 6. 求函数解析式的常用方法：待定系数法 已知所求函数的类型 ； 代换 配凑 法；方程的思想 - 对已知等式进行赋值,从而得到关于 f x及另外一个函数的方程组；7. 函数的奇偶性和单调性函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法有定义法、图像法等；如f x 是偶函数 ,那么f x fxf|x|；定义域含零的奇函数必过原点f00；判定函数奇偶性可用定义的等价形式：f x fx 0或fx1 0；f x 复合函数的奇偶性特点是：“ 内偶就偶,内奇同外” . 留意： 如判定较为复杂解析式函数的奇偶性,应先化简再判定；既奇又偶的函数有很多个如f x 0定义域关于原点对称即可. 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法 用于小题 等. 复合函数单调性由“ 同增异减” 判定 . （提示：求单调区间时留意定义域）如： 函数ylog 2x22 x 的单调递增区间是_.答： 1,2 x|. 8. 函数图象的几种常见变换平移变换：左右平移- “ 左加右减”（留意是针对x 而言）；上下平移 - “ 上加下减”留意是针对f x 而言 .翻折变换：f x |f x |；f x f|对称变换：证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心轴的对称点仍在图像上. 第 2 页,共 12 页证明图像C 与C 的对称性 ,即证C 上任意点关于对称中心轴的对称点仍在C 上 ,反之亦然 . 函数yf x 与yfx 的图像关于直线x0 y 轴 对称；函数yf x 与函数 y fx 的图像关于直线y0 x 轴对称；如函数yf x 对 xR 时,f axf ax 或f x f2ax 恒成立 ,就yf x 图像关于直线 xa 对称；如yf x 对 xR时,f ax f bx 恒成立 ,就yf x 图像关于直线xa2b对称；函数yf x 与函数yf1 x 的图像关于直线yx 对称；曲线C ：f x y , 0,关于yxa , yxa 的对称曲线C 的方程为f ya xa0或fya,xa0；曲线C ：f x y , 0关于点 , a b 的对称曲线C 方程为：f2ax ,2by 0. 9. 函数的周期性：如yf x 对xR时f xa f xa 恒成立 ,就f x 的周期为2 |a ；10. 对数： logablogn abna0,a1,b0,nR；对数恒等式alogaNN a0,a1,N0； log aMNlogaMlogaN;logaMlogaMlogaN;logaMnnlogaM ；NloganM1logaM ；对数换底公式logaNlogbNa0,a1, b0,b1；nalogb推论：logablogbclogca1loga 1a2loga2a3logan1a nloga 1a . 以上M0,N0,a0,a1, b0,b1,c0,c1,a a 2,an0且a a2,a 均不等于 1 11. 方程kf x 有解kD D 为f x 的值域 ；af x 恒成立af x 最大值 , 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载a f x 恒成立 a f x 最小值. 12. 恒成立问题的处理方法：分别参数法 最值法 ； 转化为一元二次方程根的分布问题；3 变参法 见 18 13. 处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“ 两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；14. 二次函数解析式的三种形式：一般式：f x ax 2bx c a 0；顶点式：2f x a x h k a 0 ； 零点式：f x a x x 1 x x 2 a 0 . 15. 一元二次方程实根分布 :先画图再争论 0 、轴与区间关系、区间端点函数值符号 ; 16. 复合函数：复合函数定义域求法：如 f x 的定义域为 , a b ,其复合函数 f g x 的定义域可由不等式 a g x b解出；如 f g x 的定义域为 , a b ,求 f x 的定义域,相当于 x , a b 时,求g x 的值域；复合函数的单调性由“ 同增异减” 判定 . 17. 对于反函数 ,应把握以下一些结论：定义域上的单调函数必有反函数；奇函数的反函数也是奇函数；定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；周期函数不存在反函数；互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；yff x 与yf1 x 互为反函数 ,设f x 的定义域为 A ,值域为 B ,就有f f1 x xB ,1f x x xA . 18. 依据单调性 ,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范畴问题：f a 0 f a 0f u g x u h x 或 0 a u b 或 ；f b 0 f b 019. 函数 y ax b c 0, ad bc 的图像是双曲线：两渐近线分别直线 x d 由分母为零确定 和cx d c直线 y a 由分子、分母中 x 的系数确定 ；对称中心是点 d , a；反函数为 y b dx；c c c cx a20. 函数 y ax b a 0, b 0：增区间为 , b, b, ,减区间为 , b,0,0 , b . x a a a aax 1 1如：已知函数 f x 在区间 2, 上为增函数 ,就实数a的取值范畴是 _答： , .x 2 2三. 数列S n 11. 由 S 求 a , a n * 留意验证 1a是否包含在后面 a 的公式中 ,如不符合要S n S n 1 n 2, n N 单独列出 .如：数列 a n 满意 a 1 4, S n S n 1 53 a n 1,求 a 答：a n 3 4 4 nn 1 1 n 2 . 2. 等差数列 a n a n a n 1 d d 为常数 2 a n a n 1 a n 1 n 2, n N *2 d da n an b a d b a 1 d S n An Bn A , B a 1 ；2 23. 等差数列的性质： a n a m n m d , d a m a n；m n m n l k a m a n a l a 反之不肯定成立 ；特殊地 ,当 m n 2 p 时 ,有 a m a n 2 a ；如 a n 、 b n 是等差数列 ,就 ka n tb n k 、t是非零常数 是等差数列；等差数列的“ 间隔相等的连续等长片断和序列” 即 S m , S 2 m S m , S 3 m S 2 m , 仍是等差数列；等差数列 a n ,当项数为 2n 时, S 偶 S 奇 nd , S 奇 a n；项数为 2 n 1 时, S 偶 a n 1S 偶 S 奇 a 中 a n n N * , S 2 n 1 2 n 1 a ,且 S 奇 n；A nf n a nf 2 n 1 . S 偶 n 1 B n b n首项为正 或为负 的递减 或递增 的等差数列前n 项和的最大 或最小 问题 ,转化为解不等式a n100或a n00.也可用S nAn2Bn 的二次函数关系来分析. mn ；第 3 页,共 12 页a na n1如anm a mn mn ,就am n0；如S nm S mn mn ,就S m n名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如S mS m学习好资料S mnS m欢迎下载n ,就 S m+n =0 ； S3m =3S 2m S m；S nmnd . 4. 等比数列anan1q q0a2an1 an1n2,nN*a na qn1. a nn5. 等比数列的性质 a n a q n m, q n m a n；如 a n 、 b n 是等比数列,就 ka n 、 a b n 等也是等比数列；a mna 1 q 1 na 1 q 1 S n a 1 1 qn a 1 a n q q 1 a 1 q n a 1 q 1； m n l k a a n a a 反之不肯定成1 q 1 q 1 q 1 qm n立；S m n S m q S n S n q S . 等比数列中 S m , S 2 m S m , S 3 m S 2 m , 注：各项均不为 0 S 偶 S 奇 a 1仍是等比数列 . 等比数列 a n 当项数为 2n 时, q；项数为 2 n 1 时, q . S 奇 S 偶6. 假如数列 a n 是等差数列 ,就数列 A a n A a n总有意义 是等比数列；假如数列 a n 是等比数列 , 就数列 log a | a n | a 0, a 1 是等差数列；如 a n 既是等差数列又是等比数列 ,就 a n 是非零常数数列；假如两个等差数列有公共项 ,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列,且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数；假如一个等差数列和一个等比数列有公共项 ,那么由他们的公共项顺次组成的数列是等比数列 ,由特殊到一般的方法探求其通项；三个数成等差的设法：a d a a d ；四个数成等差的设法：a 3 , d a d a d a 3 d ；a a a 3三个数成等比的设法：, , a aq；四个数成等比的设法：3, , aq aqq q q7. 数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式 . S 1 , n 1已知 S 即 a 1 a 2 a n f n 求 a 用作差法：a n . S n S n 1 , n 2f 1, n 1已知 a 1 a 2 a n f n 求 a 用作商法：a n f n , n 2 .f n 1如 a n 1 a n f n 求 a 用迭加法 . 已知 a n 1f n ,求 a 用迭乘法 . a nn已知数列递推式求 a ,用构造法 构造等差、等比数列 ： 形如 a n ka n 1 b, a n ka n 1 b ,a n ka n 1 a n b k b 为常数 的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后 , 再求 a .形如 a n a n 1的递推数列都可以用“ 取倒数法” 求通项. ka n 1 b8. 数列求和的方法：公式法：等差数列,等比数列求和公式；分组求和法；倒序相加；错位相减；分裂通项法.公式：12331n11n n1；2 122321n21n n112n1；263 1233 3n3n n 212 ；15n2 n ；常见裂项公式1111；n nnn11k1 k1n1 n n n1n2；nn1.1；n n1n nnk1n121n. n1.常见放缩公式：2n1nn2n1n2n12nn1 .1n9. “ 分期付款”、“ 森林木材” 型应用问题这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“ 卡手指” ,细心运算“ 年限”.对于“ 森林木材” 既增长又砍伐的问题 ,就常选用“ 统一法” 统一到“ 最终” 解决.利率问题：单利问题：如零存整取储蓄单利 本利和运算模型：如每期存入本金p元,每期利第 4 页,共 12 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 率为 r ,就 n 期后本利和为：S n学习好资料2 p1nr欢迎下载1r 等差数列问p1rp1p nn n 2题）；复利问题：按揭贷款的分期等额仍款复利 模型：如贷款 向银行借款 p 元,采纳分期等额仍款方式 ,从借款日算起 ,一期 如一年 后为第一次仍款日 ,如此下去 ,分 n 期仍清 .假如每期利率为 r （按复利）,那么每期等额仍款 x 元应满意：n n 1 n 2p 1 r x 1 r x 1 r x 1 r x 等比数列问题 . 四. 三角函数1.终边与终边相同2 kkZ；终边与终边共线kkZ ；1终边sin11cos01与终边关于 x 轴对称kkZ ；终边与终边关于 y 轴对称Z；2kkZ ；终边与终边关于原点对称2kk终边与终边关于角终边对称22kkZ. 2. 弧长公式：l|r ；扇形面积公式：S 扇形1lr1|r2； 1弧度 1rad 57.3 . 22123. 三角函数符号 “ 正号”规律记忆口诀： “一全二正弦 ,三切四余弦” .02留意：tan15cot 7523；tan75cot1523；10124. 三角函数同角关系中八块图 ：留意“ 正、余弦三兄妹2sin0s i n xc o s x 、 sinxcosx” 的关系. 1cos如sinxcos 212sinxcosx等. 5. 对于诱导公式 ,可用“ 奇变偶不变,符号看象限” 概括；留意：公式中始终视 为锐角6. 角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、两角与其和差角等变换. 222；如：； 2 ； 2 ；222等；“1” 的变换：1sin2xcos2xtanxcotx2sin30tan 45；7. 重要结论：asinxbcosxa22 bsinx其中 tanb）；重要公式sin21cos 2；2 cosa21c o s 2；2tan21cos1sin1cos；1sincos2sin2|cos2sin2| . 1coscossintan2；tan 212 tan. 万能公式：sin 212 tan2；cos21tan12 tan2 tan,0kZ；k2 kZ ；对称中心 k8. 正弦型曲线yAsinx的对称轴x余弦型曲线yAcosx的对称轴x,0kZ；kkZ；对称中心k29. 熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正、余弦定理,处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于 180 ,一般用正、余弦定理实施边角互化；正弦定理：aAbBcC2R ；第 5 页,共 12 页sinsinsin余弦定理：a2b2c22bccosA,cosA2 bc2a2bc22 a1；2 bc2bcr2SABCc；正弦平方差公式：sin2Asin2BsinABsinAB ；三角形的内切圆半径ab面积公式：S1absinCabc；射影定理：abcosCccosB . 24RAtanBC . 10.ABC 中,易得： ABC, sinAsinBC , cosAcos BC, tan名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 ；直线sinAcosB2C,cosAsinB2C,tanAcotB2C. abABsinAsinB222锐角ABC中,AB2,sinA>cosB, cosA<sinB ,a2b22 c ,类比得钝角ABC 结论 . tanAtanBtanCtanAtanBtanC . 0,2 ；二面角和两向量的夹角0,11.角的范畴：异面直线所成角0,2 ；直线与平面所成角的倾斜角 0, ；留意术语 :坡度、仰角、俯角、方位角等.五. 平面对量1. 设 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 . 1 a / b x y 2 x y 1 0；2 a b a b 0 x x 2 y y 2 0 .2. 平面对量基本定理：假如 1e 和 e 是同一平面内的两个不共线的向量 2 ,那么对该平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 1、2,使 a 1 e 1 2 e . 23. 设 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ,就 a b | a | | cos x x 2 y y ；其几何意义是 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积；a 在 b 的方向上的投影 | a | cos a b| b | x xx 22 2 y yy 2 2 2 . 4. 三点 A 、 B 、 C 共线 AB 与 AC 共线；与 AB 共线的单位向量 AB.| AB |5. 平面对量数量积性质：设 a x y 1 , b x 2 , y 2 ,就 cos| a a b| b | x 1 2 x xy 21 2 y yx 2 2 2y 2 2； 留意 :,a b 为锐角 a b 0 , a b 不同向；,a b 为直角 a b 0；,a b 为钝角 a b 0 , a b 不反向 . 6. a b 同向或有 0 | a b | | a | | b | | a | | b | | a b ； a b 反向或有 0| a b | | a | | b | a | b | a |； a b 不共线 | a | | b | | a b | | a | | b .7. 平面对量数量积的坐标表示：如 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ,就 a b x x 2 y y ；2 2 2 2 2| AB | x 1 x 2 y 1 y 2 ；如 a , x y ,就 a a a x y .8. 熟记平移公式和定比分点公式 . 当点 P 在线段 P 1P 2 上时 , 0 ；当点 P 在线段 P 1P 2 或 P 2P 1 延长线上时 , 1 或 1 0 .分点坐标公式：如 PP PP ；且 P x y 1 , P x y , P x 2 , y 2 ；x x 1 x 2 x x 1 x 2就y y 1 1y 2 1 , 中点坐标公式：y y 1 2y 2 1 .1 2 1P , P , P 三点共线 存在实数、使得 OP OP 1 OP 且 1. 9. 三角形中向量性质： ABAC 过 BC 边的中点：|AB|AC |AB|AC|；0所在直线过ABC 内心 . 第 6 页,共 12 页ABACABACPG1PAPBPCGAGBGC0G 为ABC 的重心；3 PA PBPB PCPA PCP 为ABC 的垂心； |BC PA|CA PB|AB PC0P 为ABC 的内心；|AB|AC|ABAC设A x y 1,B x 2,y2, .ykf xh.SAOB1x y ABx y BA. SABC1 | 2AB|AC|sinA1|AB2 | |AC2 |AB AC22210.P x y , 按a , 平移P x y,有xxh PPa ；yf x 按a , h k 平移yyk名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载六. 不等式1. 把握课本上的几个不等式性质,留意使用条件,另外需要特殊留意：如ab0, ba ,就1 a1.即不等式两边同号时,不等式两边取倒数,不等号方向要转变. 第 7 页,共 12 页b假如对不等式两边同时乘以一个代数式,要留意它的正负号,假如正负号未定,要留意分类争论. 2. 把握几类不等式一元一次、二次、肯定值不等式、简洁的指数、对数不等式的解法 ,特殊留意用分类争论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法,零点分区间法 . 3. 把握重要不等式,1 均值不等式：如a ,b0,就a22b2a2bab121当且仅当ab时ab取等号 使用条件：“ 一正二定三相等” 常用的方法为：拆、凑、平方等；2a b cR ,a2b22 ca bb c当且仅当 abc 时,取等号 ；3公式留意变形如：a22b2a2b2, aba2b2；4如ab0,m0,就bbm真分数的性质；aam4. 含肯定值不等式：a b 同号或有 0|ab| |a|b|a|b|ab ；a b 异号或有 0|ab| |a| b|a|b|a|. b|5. 证明不等式常用方法：比较法：作差比较：AB0AB .留意：如两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小；综合法：由因导果；分析法：执果索因.基本步骤：要证需证 ,只需证 ；反证法：正难就反；放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：添加或舍去一些项,如：a21 |a ；n n1n .将