2022年高等数学下册知识点 .pdf
名师精编优秀资料高等数学下册知识点第七章空间解析几何与向量代数一、填空与选择1、已知点A( , ,)321和点B( , )72 3，取点M使MBAM2，则向量OM=。2 已知点A( , , )012和点B( , )1 10，则0AB=。3、设向量a与三个坐标面的夹角分别为, ,，则coscoscos222= 。4、设向量a的方向角3,为锐角，且4a，则a= 。5、向量)5, 2,7(a在向量) 1 ,2, 2(b上的投影等于。6、过点121，P且与直线1432tztytx，垂直的平面方程为_ 7、已知两直线方程是130211:1zyxL，11122:2zyxL，则过1L且平行2L的平面方程为_8、设直线182511:1zyxL,03206:2zyyxL，则1L与2L的夹角为（）（A） 6（B） 4（C） 3（D）29、平面AxByCzD0过x轴，则（）（A）AD0（B）BC00,（C）BC00,（D）BC010、平面3510 xz（ ）（A）平行于zox平面 （B）平行于y轴（ C）垂直于y轴（D）垂直于x轴11、点M( , , )121到平面xyz22100的距离为（）（A）1 （B）1（C） 1 （D）1312、与xoy坐标平面垂直的平面的一般方程为。13、过点( , , )121与向量kjSkjiS21,32平行的平面方程为。14、平面0218419zyx和0428419zyx之间的距离等于。15、过点( , , )0 2 4且与平面xz21及yz32都平行的直线方程为。16、过点( , ,)2 03并与xyzxyz247035210垂直的平面的方程为。二、完成下列各题1、设)(,82,13baOCbaOBbaOC与b是不平行的非零向量，求的值，使CBA、三点在同一直线上。2、已知不平行的两向量a和b，求它们的夹角平分线上的单位向量。3、设点)1,0, 1(A为矢量AB的起点，ABAB,10与x轴、y轴的夹角分别为45,60，试求：（1）AB与z轴的夹角v； （2）点B的坐标。4、求与向量kjia22共线且满足18xa的向量x。5、若平面过x轴，且与xoy平面成30的角，求它的方程。第八章空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页名师精编优秀资料4、利用坐标做向量的运算：设),(zyxaaaa，),(zyxbbbb，则),(zzyyxxbabababa, ),(zyxaaaa；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：222zyxr；2）两点间的距离公式：212212212)()()(zzyyxxBA3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,4）方向余弦：rzryrxcos,cos,cos1coscoscos2225）投影：cosPraaju，其中为向量a与u的夹角。（二） 数量积，向量积1、数量积：cosbaba1）2aaa2）ba0bazzyyxxbabababa2、向量积：bac大小：sinba，方向：cba,符合右手规则1）0aa2）ba/0ba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页名师精编优秀资料zyxzyxbbbaaakjiba运算律：反交换律baab（三） 曲面及其方程1、曲面方程的概念：0),(:zyxfS2、旋转曲面：yoz面上曲线0),(:zyfC，绕y轴旋转一周：0),(22zxyf绕z轴旋转一周：0),(22zyxf3、柱面：0),(yxF表示母线平行于z轴，准线为00),(zyxF的柱面4、二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax2）椭球面：1222222czbyax旋转椭球面：1222222czayax3）单叶双曲面：1222222czbyax4）双叶双曲面：1222222czbyax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页名师精编优秀资料5）椭圆抛物面：zbyax22226）双曲抛物面（马鞍面） ：zbyax22227）椭圆柱面：12222byax8）双曲柱面：12222byax9）抛物柱面：ayx2（四） 空间曲线及其方程1、一般方程：0),(0),(zyxGzyxF2、参数方程：)()()(tzztyytxx，如螺旋线：btztaytaxsincos3、空间曲线在坐标面上的投影0),(0),(zyxGzyxF，消去z，得到曲线在面xoy上的投影00),(zyxH（五） 平面及其方程1、点法式方程：0)()()(000zzCyyBxxA法向量：),(CBAn，过点),(000zyx2、一般式方程：0DCzByAx截距式方程：1czbyax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页名师精编优秀资料3、两平面的夹角：),(1111CBAn，),(2222CBAn，222222212121212121cosCBACBACCBBAA210212121CCBBAA21/212121CCBBAA4、点),(0000zyxP到平面0DCzByAx的距离：222000CBADCzByAxd（六） 空间直线及其方程1、一般式方程：0022221111DzCyBxADzCyBxA2、对称式（点向式）方程：pzznyymxx000方向向量：),(pnms，过点),(000zyx3、参数式方程：ptzzntyymtxx0004、两直线的夹角：),(1111pnms，),(2222pnms，222222212121212121cospnmpnmppnnmm21LL0212121ppnnmm21/ LL212121ppnnmm5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页名师精编优秀资料222222sinpnmCBACpBnAm/L0CpBnAmLpCnBmA第九章多元函数微分法及其应用（一） 基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：),(yxfz，图形：3、极限：Ayxfyxyx),(lim),(),(004、连续：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx5、偏导数：xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(00000006、方向导数：coscosyfxflf其中,为l的方向角。7、梯度：),(yxfz，则jyxfiyxfyxgradfyx),(),(),(000000。8、全微分：设),(yxfz，则dddzzzxyxy（二） 性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页名师精编优秀资料2、闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）3、微分法1）定义：ux2）复合函数求导：链式法则z若( , ),( , ),( , )zf u v uu x y vv x y，则vyzzuzvxuxvx，zzuzvyuyvy3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三） 应用1、极值1）无条件极值：求函数),(yxfz的极值解方程组00yxff求出所有驻点，对于每一个驻点),(00yx，令),(00yxfAxx，),(00yxfBxy，),(00yxfCyy，若02BAC，0A，函数有极小值，若02BAC，0A，函数有极大值；若02BAC，函数没有极值；若02BAC，不定。2）条件极值：求函数),(yxfz在条件0),(yx下的极值偏导数存在函数可微函数连续偏导数连续充分条件必要条件定义1 2 2 3 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页名师精编优秀资料令：),(),(),(yxyxfyxL Lagrange函数解方程组0),(00yxLLyx2、几何应用1）曲线的切线与法平面曲线)()()(:tzztyytxx，则上一点),(000zyxM（对应参数为0t）处的切线方程为：)()()(000000tzzztyyytxxx法平面方程为：0)()()(000000zztzyytyxxtx2）曲面的切平面与法线曲面0),(:zyxF，则上一点),(000zyxM处的切平面方程为：0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为：),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx第十章重积分（一） 二重积分1、定义：nkkkkDfyxf10),(limd),(2、性质：（6 条）3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1）直角坐标bxaxyxyxD)()(),(21，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页名师精编优秀资料21()( )( , )d dd( , )dbxaxDf x yx yxf x yydycyxyyxD)()(),(21，21()()( , )d dd( , )ddycyDf x yx yyf x yx2）极坐标)()(),(21D21()()( , )d d(cos , sin)dDf x yx ydf（二） 三重积分1、定义：nkkkkkvfvzyxf10),(limd),(2、性质：3、计算：1）直角坐标Dyxzyxzzzyxfyxvzyxf),(),(21d),(ddd),( -“先一后二 ”ZDbayxzyxfzvzyxfdd),(dd),( -“先二后一 ”2）柱面坐标zzyxsincos，( , , )d(cos ,sin , ) d d df x y zvfzz3）球面坐标cossinsincossinrzryrx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页名师精编优秀资料2( , , )d( sincos , sinsin , cos )sin d d df x y zvf rrrrr（三） 应用曲面DyxyxfzS),(,),(:的面积：yxyzxzADdd)()(122第十一章曲线积分与曲面积分（一） 对弧长的曲线积分1、定义：01( , )dlim(,)niiiLif x ysfs2、性质：1）( , )( , )d( , )d( , )d .LLLf x yx ysf x ysg x ys2）12( , )d( ,)d( ,)d .LLLf x ysf x ysf x ys).(21LLL3）在L上，若),(),(yxgyxf，则( , )d( , )d .LLf x ysg x ys4）lsLd ( l 为曲线弧L的长度 ) 3、计算：设),(yxf在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为)(),(),(ttytx，其中)(),(tt在,上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则22( ,)d ( ),( )( )( )d ,()Lfx ysfttttt（二） 对坐标的曲线积分1、定义：设 L为xoy面内从A 到B 的一条有向光滑弧，函数),(yxP，),(yxQ在L 上有界，定义nkkkkLxPxyxP10),(limd),(，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页名师精编优秀资料nkkkkLyQyyxQ10),(limd),(. 向量形式：LLyyxQxyxPrFd),(d),(d2、性质：用L表示L的反向弧 , 则LLryxFryxFd),(d),(3、计算：设),(, ),(yxQyxP在有向光滑弧L上有定义且连续,L的参数方程为):(),(),(ttytx，其中)(),(tt在,上具有一阶连续导数，且0)()(22tt，则( ,)d( ,)d ( ),( )( ) ( ),( )( )dLP x yxQ x yyPtttQtttt4、两类曲线积分之间的关系：设 平 面 有 向 曲 线 弧 为)()(tytxL：，L上 点),(yx处 的 切 向 量 的 方 向 角 为 ：,，)()()(cos22ttt，)()()(cos22ttt，则dd(coscos)dLLP xQ yPQs. （三） 格林公式1、格林公式：设区域D是由分段光滑正向曲线L 围成，函数),(, ),(yxQyxP在D 上具有连续一阶偏导数, 则有LDyQxPyxyPxQdddd2、G为一个单连通区域，函数),(, ),(yxQyxP在G上具有连续一阶偏导数，则yPxQ曲线积分ddLP xQ y在G内与路径无关曲线积分dd0LP xQ y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页名师精编优秀资料yyxQxyxPd),(d),(在G内为某一个函数),(yxu的全微分（四） 对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数),(zyxf是定义在上的一个有界函数，定义iiiiniSfSzyxf),(limd),(102、计算：“一单二投三代入”),(:yxzz，xyDyx),(，则yxyxzyxzyxzyxfSzyxfyxDyxdd),(),(1),(,d),(22（五） 对坐标的曲面积分1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：设为 有 向 光 滑 曲 面 ， 函 数),(),(),(zyxRzyxQzyxP是 定 义 在上 的 有 界 函 数 ， 定 义01( , )d dlim(,)()niiiixyiR x y zx yRS同理，01( , , )ddlim(,)()niiiiyziP x y zy zPS01( , , )d dlim(,)()niiiizxiQ x y zz xRS3、性质：1）21，则12d dd dd dd dd dd dd dd dd dP y zQ z xR x yP y zQ z xR x yP y zQ z xRx y2）表示与取相反侧的有向曲面 , 则d dd dR x yRx y4、计算：“ 一投二代三定号”),(:yxzz，xyDyx),(，),(yxzz在xyD上具有一阶连续偏导数，),(zyxR在上连续，则( , , )d d , , ( , )d dx yDR x y zx yR x y z x yx y,为上侧取“ + ” ，为下侧取“ - ”. 5、两类曲面积分之间的关系：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页名师精编优秀资料SRQPyxRxzQzyPdcoscoscosdddddd其中,为有向曲面在点),(zyx处的法向量的方向角。（六） 高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成 , 的方向取外侧 , 函数,P Q R在上有连续的一阶偏导数 ,则有yxRxzQzyPzyxzRyQxPddddddddd或SRQPzyxzRyQxPdcoscoscosddd2、通量与散度通量：向量场),(RQPA通过曲面指定侧的通量为：yxRxzQzyPdddddd散度：zRyQxPAdiv（七） 斯托克斯公式1、斯 托 克 斯 公 式 ： 设 光 滑 曲 面的 边 界是 分 段 光 滑 曲 线 , 的 侧 与的 正 向 符 合 右 手 法 则 , ),(),(),(zyxRzyxQzyxP在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有zRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddddd为便于记忆 , 斯托克斯公式还可写作: zRyQxPRQPzyxyxxzzyddddddddd2、环流量与旋度环流量：向量场),(RQPA沿着有向闭曲线的环流量为zRyQxPddd旋度：yPxQxRzPzQyRArot,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页名师精编优秀资料第十二章无穷级数（一） 常数项级数1、定义：1）无穷级数：nnnuuuuu3211部分和：nnkknuuuuuS3211，正项级数：1nnu，0nu交错级数：1)1(nnnu，0nu2）级数收敛：若SSnnlim存在，则称级数1nnu收敛，否则称级数1nnu发散3）条件收敛：1nnu收敛，而1nnu发散；绝对收敛：1nnu收敛。2、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数1nna，1nnb收敛，则1)(nnnba收敛；3）级数1nna收敛，则任意加括号后仍然收敛；4）必要条件：级数1nnu收敛0limnnu. （注意：不是充分条件！ ）3、审敛法正项级数：1nnu，0nu1）定义：SSnnlim存在；2）1nnu收敛nS有界；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页名师精编优秀资料3）比较审敛法：1nnu，1nnv为正项级数，且), 3,2, 1(nvunn若1nnv收敛，则1nnu收敛；若1nnu发散，则1nnv发散 . 4）比较法的推论：1nnu，1nnv为正项级数， 若存在正整数m，当mn时，nnkvu，而1nnv收敛，则1nnu收敛；若存在正整数m，当mn时，nnkvu，而1nnv发散，则1nnu发散 . 5）比较法的极限形式：1nnu，1nnv为正项级数， 若)0(limllvunnn， 而1nnv收敛，则1nnu收敛；若0limnnnvu或nnnvulim，而1nnv发散，则1nnu发散 . 6）比值法：1nnu为正项级数，设luunnn1lim，则当1l时，级数1nnu收敛； 则当1l时，级数1nnu发散；当1l时，级数1nnu可能收敛也可能发散. 7）根值法：1nnu为正项级数，设lunnnlim，则当1l时，级数1nnu收敛；则当1l时，级数1nnu发散；当1l时，级数1nnu可能收敛也可能发散. 8）极限审敛法：1nnu为正项级数，若0limnnun或nnunlim，则级数1nnu发散；若存在1p，使得)0(limllunnpn，则级数1nnu收敛 . 交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：1)1(nnnu，0nu满足：), 3,2, 1(1nuunn，且0limnnu，则级数1) 1(nnnu收敛。任意项级数：1nnu绝对收敛，则1nnu收敛。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页名师精编优秀资料常见典型级数：几何级数：110qqaqnn发散，收敛，p - 级数：1p111发散，收敛，pnnp（二） 函数项级数1、定义：函数项级数1)(nnxu，收敛域，收敛半径，和函数；2、幂级数：0nnnxa收敛半径的求法：nnnaa1lim，则收敛半径0,00,1R3、泰勒级数nnnxxnxfxf)(!)()(000)(0)(! )1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR展开步骤：（直接展开法）1）求出, 3,2, 1),()(nxfn；2）求出, 2, 1 ,0),(0)(nxfn；3）写出nnnxxnxf)(!)(000)(；4）验证0)(! ) 1()(lim)(lim10)1(nnnnnxxnfxR是否成立。间接展开法：（利用已知函数的展开式）1）),(,!10 xxnennx；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页名师精编优秀资料2）),(,! ) 12(1) 1(sin0121xxnxnnn；3）),(,)!2(1)1(cos021xxnxnnn；4）) 1, 1(,110 xxxnn；5）) 1, 1(,) 1(110 xxxnnn6） 1, 1(,1)1()1ln(01xxnxnnn7）) 1, 1(,) 1(11022xxxnnn8）) 1, 1(,!) 1() 1(1)1(1xxnnmmmxnnm4、傅里叶级数1）定义：正交系：nxnxxxxxcos,sin,2cos,2sin,cos,sin, 1函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间,上积分为零。傅里叶级数：)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn系数：), 3,2,1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann2）收敛定理： ( 展开定理 ) 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 ,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件 : 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页名师精编优秀资料为间断点为连续点xxfxfxxfnxbnxaannn,2)()(),(sincos2103）傅里叶展开：求出系数：), 3,2, 1(dsin)(1),2,1,0(dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann；写出傅里叶级数)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn；根据收敛定理判定收敛性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页
