2022年自动控制理论课后习题详细解答答案 .pdf

第三章3-1 设系统的传递函数为2222)()(nnnsssRsC求此系统的单位斜坡响应和稳态误差。解：当输入为单位斜坡响应时，有ttr)(，21)(ssR所以有222212)(ssssCnnn分三种情况讨论（ 1）当1时，221221222,1111212122ttnnnnneettcs（ 2）当10时，22222,11arctan21sin1121tettcjsntnnnn（ 3）当1时，tettcsntnnnn2122)(2, 1设系统为单位反馈系统, 有2222nnnrssssRscsRsE系统对单位斜坡输入的稳态误差为nnnnssrssssssime222122203-2 试求下列单位反馈控制系统的位置、速度、加速度误差系数。系统的开环传递函数为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - （1）)21)(1.01 (50)(sssG（2）)5 .01)(1.01 ()(sssKsG（3）)102()41)(21 ()(22sssssKsG（4）)2004()(2sssKsG解： （1）0)(lim,0)(lim,50)(lim2000sGsKssGKsGKsasvsp；（2）0)(lim,)(lim,)(lim2000sGsKKssGKsGKsasvsp；（3）10)(lim,)(lim,)(lim2000KsGsKssGKsGKsasvsp；（4）0)(lim,200)(lim,)(lim2000sGsKKssGKsGKsasvsp3-3 设单位反馈系统的开环传递函数为)11.0(10)(sssG若输入信号如下，求系统的给定稳态误差级数。（1）0)(Rtr， （2）tRRtr10)(， （3）221021)(tRtRRtr解：首先求系统的给定误差传递函数101.0) 11.0()(11)()(2sssssGsRsEse误差系数可求得如下0)101. 0() 12 .0(20)101 .0(2limlim1 . 0)101.0() 12 .0(10limlim0101 .0)11 .0(limlim322202202220012000ssssssdsdCssssdsdCsssssCsessesses（ 1）0)(Rtr，此时有0)()(,)(0trtrRtrsss，于是稳态误差级数为0)(0trCtessr，0t（ 2）tRRtr10)(，此时有0)(,)(,)(110trRtrtRRtrsss，于是稳态误差级数为1101 .0)()(RtrCtrCtesssr，0t（ 3）221021)(tRtRRtr，此时有tRRtrtRtRRtrss212210)(,21)(，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2)(Rtrs，于是稳态误差级数为)(1.0)(! 2)()(21210tRRtrCtrCtrCtessssr，0t3-4 设单位反馈系统的开环传递函数为)11.0(10)(sssG若输入为ttr5sin)(，求此系统的给定稳态误差级数。解：首先求系统的给定误差传递函数5001 .0)11 .0()(11)()(2sssssGsRsEse误差系数可求得如下232220220222001200050098)5001 .0()12.0(1000)5001 .0(100limlim5001)5001 .0()12.0(500limlim05001.0)11.0(limlimssssssdsdCssssdsdCsssssCsessesses以及ttrttrttrsss5sin25)(5cos5)(5sin)(则稳态误差级数为tttCtCCtesr5cos1015sin109 .45cos55sin252241203-6 系统的框图如图3-T-1a 所示，试计算在单位斜坡输入下的稳态误差的终值。如在输入端加入一比例微分环节（参见图3-T-1b ） ，试证明当适当选取a 值后， 系统跟踪斜坡输入的稳态误差可以消除。)2(2nnssR(s)C(s)a)+ _ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 解：系统在单位斜坡输入下的稳态误差为：nsre2，加入比例微分环节后nnssrnnnnnnnassEessRsRsssassCsRsEsRssassRsGsGassCsGsCassRsC2lim1222111102222222可见取na2，可使0sre3-7 单位反馈二阶系统，已知其开环传递函数为)2()(2nnsssG从实验方法求得其零初始状态下的阶跃响应如图3-T-2所示。经测量知，096.0pM，stp2. 0。试确定传递函数中的参量及n。解：由图可以判断出10，因此有C(s)as1)2(2nnssb)R(s) 图 3-T-1 + _ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - npptM221%100)1exp(代入096.0pM，2 .0pt可求出588.19598.0n3-8 反馈控制系统的框图如图3-T-3 所示，要求（1）由单位阶跃函数输入引起的系统稳态误差为零。（2）整个系统的特征方程为046423sss求三阶开环传递函数)(sG，使得同时满足上述要求。解：设开环传递函数为32213)()(ksksksKsRsC根据条件（ 1）0)(11lim32213322130KkskskskskskssGessr可知：03k；根据条件（ 2）0464)(23ssssD可知：41k，62k，4K。所以有6442ssssG3-9 一单位反馈控制的三阶系统，其开环传递函数为)(sG，如要求（1）由单位斜坡函数输入引起的稳态误差等于2.0 。（2）三阶系统的一对主导极点为11,21jss。求同时满足上述条件的系统开环传递函数)(sG。解：按照条件（2）可写出系统的特征方程02)22()2()(22()(1)(1(232asasasasssasjsjs将上式与0)(1sG比较，可得系统的开环传递函数)22()2(2)(2asassasGG(sR(sC(s+ _ 图 3-T-3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 根据条件（ 1） ，可得aaeKsrv2225 .01解得1a，于是由系统的开环传递函数为432)(2ssssG3-10 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为) 1()(ssKsG试求在下列条件下系统单位阶跃响应之超调量和调整时间。（1）sK1, 5.4（2）sK1, 1（3）sK1,16.0解：系统单位阶跃响应的象函数为)1()()()(2ssKsGsRsC（ 1）将5 .4K，1s 代入式中可求出sradn/12.2，24.0，为欠阻尼系统，因此得出%46pM，%)2(86.7sts，%)5(90.5s（ 2）将1K，1s 代入式中可求出sradn/1，5 .0， ，为欠阻尼系统，因此得出%3.16pM，%)2(8stss，%)5(6s（ 3）将16.0K，1s 代入式中可求出sradn/4. 0，25.1，过阻尼，无最大超调量。因此只有15sts。3-11 系统的框图如图3-T-4 所示，试求当a=0 时,系统的之值。如要求，是确定a 的值。（1） 当 a=0时， 则系统传传递函数为828)(2sssG， 其中228n，22n，所以有354.0。（ 2 ）n不 变 时 ， 系 统 传 函 数 为8)28(8)(2sassG， 要 求7.0， 则 有) 14(22an，所以可求得求得25.0a。3-12 已知两个系统的传递函数，如果两者的参量均相等，试分析z=1 的零点对系统单位名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 脉冲响应和单位阶跃响应的影响。1. 单位脉冲响应(a) 无零点时0,1sin122ttetcntnn（b）有零点1z时0,111sin1212222tarctgtetcnnntnnnn比较上述两种情况，可见有零点1z时，单位脉冲响应的振幅较无零点时小，而且产生相移，相移角为nnarctg112。2单位阶跃响应(a) 无零点时0,11sin111222tarctgtetcntn（b）有零点1z时0,11sin12112222tarctgtetcnntnnn加了1z的零点之后，超调量pM和超调时间pt都小于没有零点的情况。3-13 单位反馈控制系统的框图如图3-T-5 所示。假设未加入外作用信号时，系统处于零初始状态。如果不考虑扰动，当参考输入为阶跃函数形式的速度信号时，试解释其响应为何必然存在超调现象？单位反馈控制系统的框图如图3-T-5 所示。假设未加入外作用信号时，系统中存在比例-积分环节ssK111，当误差信号0te时，由于积分作用，该环节的输出保持不变，故系统输出继续增长，知道出现0te时，比例 -积分环节的输出才出现减小的趋势。因此，系统的响应必然存在超调现象。3-14 上述系统，如在tr为常量时，加于系统的扰动tn为阶跃函数形式，是从环节及物理作用上解释，为何系统的扰动稳态误差等于零？如扰动tn为斜坡函数形式，为何扰动稳态误差是与时间无关的常量？在tr为常量的情况下，考虑扰动tn对系统的影响，可将框图重画如下名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 图 A-3-2 题 3-14 系统框图等效变换sNsKKsssKsC11121222根据终值定理，可求得tn为单位阶跃函数时，系统的稳态误差为0，tn为单位斜坡函数时，系统的稳态误差为11K。从系统的物理作用上看，因为在反馈回路中有一个积分环节，所以系统对阶跃函数的扰动稳态误差为零。 在反馈回路中的积分环节，当输出为常量时，可以在反馈端产生一个与时间成正比的信号以和扰动信号平衡，就使斜坡函数的扰动输入时，系统扰动稳态误差与时间无关。3-15 已知系统的特征方程如下，试用劳斯判据检验其稳定性。（1）劳斯表有30303604238101234sssss则系统系统稳定。（2）劳斯表有282104221101234sssss劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。（3） 劳斯表有101210106610911631012345ssssss劳斯阵列第一列符号改变两次，根据劳斯判据，系统系统有两个极点具有正实部，系统不稳定。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - （ 4） 劳 斯 表 有4344312846269348510123456sssssss系 统 处 于 稳定 的 临 界 状 态， 由 辅 助 方 程46224sssA可求得系统的两对共轭虚数极点2;4,32, 1jsjs。3-16 根据下列单位反馈系统的开环传递函数，确定使系统稳定的K 值的范围。（1）K0 时,系统稳定。（2）K0 时，系统不稳定。（3）0K3 时，系统稳定。3-17 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为)12)(1()1()(ssssKsG请在以K 为横坐标，为纵坐标的平面上，确定系统为稳定的区域。系统的特征方程为0)1()2(2)(23KsKsssD列 写 劳 斯 表kskksksks012322) 1)(2(212， 得 出 系 统 稳 定 应 满 足 的 条 件022) 1)(2(KK由此得到和应满足的不等式和条件2,1,1)1(20KKK2 3 4 5 9 15 30 100 6 4 3.3 3 2.5 2.28 2.13 2.04 根据列表数据可绘制K为横坐标、为纵坐标的曲线，闭环系统稳定的参数区域为图A-3-3 中的阴影部分。图 A-3-3 闭环系统稳定的参数区域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3-18 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为)1000)(200()40)(5()(3sssssKsG试求系统的临界增益cK之值及无阻尼振荡频率值。根据单位反馈系统的开环传递函数得到特征方程02004520000012002345kkskssss列写劳斯表kskkkkkskkkkskkkskksks200107544.11096.04510787.7200104 .2107544.101200200104.51200104 .22001200452000001028163291828248345根据劳斯判据可得02000107544. 11096.04510787.70104 .2107544.101200104.228163298288kkkkkkkkkk系统稳定的K值范围为86101.75351022.1K当611022.1K、82107535. 1K时，系统有一对共轭虚数极点，此时产生等幅振荡，因此临界增益61022.1cK以及8107535. 1cK。根据劳斯表列写61022.1cK时的辅助方程01022.12001022.1104.2)1022.1(1022.1107544.162682668s解得系统的一对共轭虚数极点为162, 1js，系统的无阻尼振荡频率即为srad /16。8107535.1cK时的辅助方程0107535.1200107535.1104.2)107535.1(107535.1107544.182882888s解得系统的一对共轭虚数极点为3384,3js，系统的无阻尼振荡频率为srad /338。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -