2022年高一数学平面向量知识点及典型例题解析3.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - . 第一讲高一数学第八章平面对量向量的概念与线性运算一【要点精讲】1向量的概念uuur向量 ：既有大小又有方向的量；几何表示法 AB,a；坐标表示法 a ix y j x , y ；uuur向量的模（长度） ,记作 | AB |. 即向量的大小,记作a | ；向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小 .r零向量 ：长度为 0 的向量,记为0,其方向是任意的,规定 0 平行于任何向量； （与 0 的区别）单位向量a 1；平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量,记作a b相等向量记为x 1x2ab；大小相等,方向相同x 1,y 1x 2,y2y 1y22向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.Bb,就向量AC 叫做 a 与 b如图,已知向量a,b, 在平面内任取一点uuur A ,作 ABuuur a,BC的和,记作a+b,即a+buuur ABuuur BCuuur ACCCaba+bBDa+bBbaba特殊情形：A三角形法就1A平行四边形法就aabbababAB2CCA3向量加法的三角形法就可推广至多个向量相加：. 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - uuur ABuuur BCuuur CDLuuur PQuuur QRuuur AR. ,但这时必需“ 首尾相连”；向量减法：同一个图中画出r ar r b ar b要点 :向量加法的“ 三角形法就” 与“ 平行四边形法就”（1）用平行四边形法就时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量；（2） 三角形法就的特点是“ 首尾相接”,由第一个向量的起点指向最终一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 .（3）实数与向量的积3两个向量共线定理：向量b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数,使得b= a；二【典例解析】题型一：向量及与向量相关的基本概念概念例 1 判定以下各命题是否正确a b , 就 a b1零向量没有方向 2如3单位向量都相等 4 向量就是有向线段5两相等向量如共起点 ,就终点也相同 6如 a b,b c,就 a c；7如 a / b,b / c,就 a / c 8 a b 的充要条件是 | a | | b | 且 a / b；9 如四边形 ABCD是平行四边形 ,就 A B CD , BC DA练习 . 四川省成都市一诊 在四边形 ABCD中,“ AB2DC” 是“ 四边形 ABCD为梯形” 的A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件题型二 : 考查加法、减法运算及相关运算律例 2 化简ABCDACBD= Buuur ABuuur BA0uuur CDuuur AD练习 1.以下命题中正确选项uuur AOAuuur OBuuur ABr uuur C0 ABr 0得uuur DABuuur BCuuur 2.化简ACuuur BDuuur CDuuur AB. 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - . r D0 uuur AABBDACBC3如图, D、E、F 分别是 ABC的边 AB、 BC、CA的中点,就 A.ADBECF0 B.BD CFDF0 C.AD CECF 0 D.BD BEFC0 题型三 : 结合图型考查向量加、减法例3在ABC 所 在 的 平 面 上 有 一 点 P , 满 足uuur PA uuur PBuuur PCuuur AB, 就PBC 与ABC 的 面 积 之 比 是 A11233B2C3D4例 4 重心、垂心、外心性质练习 : 1如图,在ABC中, D、E 为边 AB 的两个三等分点,CA=3a,A =2b,求 CD , CE D 2 已知r ar b=r ar br 求证ar buuur OBE B C ABC 的内心,且满意uuur OC uuur OBuuur OCuuur 2 OA0,就ABC 的外形为3 如O 为（）C.直角三角形D.钝角三角形A.等腰三角形B.正三角形4已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线AB上有一点 C,满意 2ACCB 0,就 OCA2OA OBB OA2OBC. 23OA 1 3OBD1 3OA 2 3OB. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 5已知平面上不共线的四点 O,A,B,C.如OA 3OB 2OC 0,就| AB|等于 _| BC|6已知平面内有一点 P 及一个 ABC,如 PAPBPCAB ,就 A点 P 在 ABC外部 B点 P 在线段 AB 上 C点 P 在线段 BC上 D点P 在线段 AC上7在 ABC中,已知 D 是 AB边上一点,如 AD 2DB,CD1 3CACB,就 等于 2 A. 31 B. 3C1D233题型四 : 三点共线问题例 4 设e 1, e 2是不共线的向量,已知向量AB2 e 1ke 2,CBe 13 e 2,CD2 e 1e 2,如A,B,D 三点共线 ,求 k 的值例 5 已知 A、B、C、P 为平面内四点,A、B、C 三点在一条直线上 =mPA +nPB ,求证：m+n=1练习： 1已知：AB3e 1e2,BCe 1e 2,CD2 e 1e2,就以下关系肯定成立的是（）A、 A,B,C三点共线 B、A,B,D 三点共线C、C,A,D 三点共线 D、B,C,D 三点共线2原创题 设 a,b 是两个不共线的向量,如AB 2akb,CB ab,CD2ab,且 A,B,D 三点共线,就实数 k 的值等于 _第 2 讲 平面对量的基本定理与坐标表示一【要点精讲】1平面对量的基本定理假如e 1, e 2是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 向量a,有且只有一对实数 1, 2 使：a 1 e 1 2 e 2 其中不共线的向量 e 1, e 2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底 . 2平面对量的坐标表示r r如图, 在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、y轴方向相同的 _单位向量 _ i、j 作为基底r r任作一个向量 a,有且只有一对实数 x 、y,使得a xi yj 1 ,把 x , y 叫做向r r r r量a 的（直角）坐标,记作 a , 2 其中x叫做a 在x轴上的坐标,y 叫做 a 在y 轴上的坐标, 2 式叫做 向量的坐标表示r r r r与a 相等的向量的坐标也为 x , y 特殊地,i 1,0,j 0,1,0 0,0特殊提示： 设 OA xi yj,就向量OA的坐标 x , y 就是点 A的坐标；反过来,点 A 的坐标 x , y 也就是向量OA的坐标 因此, 在平面直角坐标系内,每一个平面对量都是可以用一对实数唯独表示3平面对量的坐标运算r（1） 如 a x 1 , y 1 ,r bx 2,y 2r,就ar b=x 1x 2,y 1y2r,ar b=x 1x2,y 1y2（2） 如A x 1y 1,B x2y2uuur,就AB（3）如r a , 和实数,就r ax,yaA 4向量平行的充要条件的坐标表示：设a =x1, y1 , b =x2, y2 其中 ba bb0 的充要条件是x y2x y 10二【典例解析】题型一 . 利用一组基底表示平面内的任一向量例 1 在 OAB 中,OC1OA,OD1OB,AD与 BC交于点 M,C M B 42r 设OA=ar,OB=br,用ar ,b表示OM. O D 练习 :1如已知1e、2e是平面上的一组基底,就以下各组向量中不能作为基底的一组是 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - . Ae 与e 2 B 3 e 与 2 e 2 C1ee 与 1ee 2 D1e与 2 e 12在平行四边形 ABCD中, E和 F 分别是边 CD和 BC的中点,如 ACAEAF,其中 、R,就 _. 题型二 : 向量加、减、数乘的坐标运算例 3 已 知 A（ 2,4 ）、 B（ 3, 1 ）、 C（ 3, 4 ） 且CM 3 CA , CN 2 CB ,求点 M 、N 的坐标及向量 MN 的坐标 . 练习 :1. 2022 年高考辽宁卷 已知四边形 ABCD的三个顶点 A0,2,B 1,2,C3,1,且BC2AD ,就顶点 D 的坐标为 7 1A2,2 B2,2 C3,2 D1,3 uuur 1MP2如 M3, -2 N-5, -1 且 2 MN , 求 P 点的坐标；uuur 1 uuuurMP MN3如 M3, -2 N-5, -1,点 P 在 MN 的延长线上,且 2 , 求 P 点的坐标；4.2022 年广东卷文 已知平面对量a=（x ,1） ,b=（,x x2）, 就向量 ab A 平行于x 轴 C.平行于y 轴B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于其次、四象限的角平分线5在三角形 ABC中,已知 A2,3,B8, 4,点 G2, 1在中线 AD 上,且 AG 2GD ,就点 C的坐标是 A 4,2 B 4, 2 C4, 2 D 4,2 6设向量 a1, 3,b2,4,c1, 2,如表示向量 4a、4b2c、2ac、d 的有向线段首尾相接能构成四边形,就向量d 为 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - . A 2,6 B2,6 C2, 6 D2, 6 7已知 A7,1、B1,4,直线 y1 2ax 与线段 AB交于 C,且 AC2CB,就实数 a 等于 A2 B1 4 C. 55 D. 3题型三 : 平行、共线问题例 4 已知向量a1sin,1,b1,1sin,如ab,就锐角d等于（）2A30B45C60D75ab ,例 5（2022 北京卷文）已知向量a1,0,b0,1,ckab kR,假如c/d 那么 Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向练习： 1如向量a=-1,x与b=-x, 2共线且方向相同,求x 2已知点 O0,0,A1,2,B4,5及OPOAtAB,求 1t 为何值时, P在 x 轴上？ P 在 y 轴上？ P 在其次象限；2四边形 OABP能否构成为平行四边形？如能,求出相应的 t 值；如不能, 请说明理由；3已知向量 a1,2,b0,1,设 u akb,v2a b,如 u v,就实数 k 的值为 A 1 B11 C. 2D1 24已知向量a2,3,b 1,2,如 ma nb 与 a2b 共线,就m n等于 A1 2B2 1 C. 2D 2 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 5已知向量 OA 1, 3,OB 2,1,OC m1,m2,如点 A、B、C能构成三角形,就实数 m 应满意的条件是 1Am2 Bm2 Cm 1 Dm1 6已知点 A 4 0, , B ,4 4 , C 6,2 ,试用向量方法求直线 AC 和 OB （ O 为坐标原点）交点 P 的坐标；题型四：平面对量综合问题a、b、c,设向量ur m , ,r nsinB,sinA,例 6已知 ABC的角 A、B、C所对的边分别是ur pb2,a2. （ 1）（ 2）练习已知点ur 如mr /n,求证： ABC为等腰三角形；ur 如murp,边长 c = 2,角 C = 3 ,求 ABC的面积. A1,2,B2,8以及 AC1 3AB ,DA1 3BA,求点 C、D 的坐标和 CD 的坐标第三讲 平面对量的数量积及应用一【要点精讲】（1）两个非零向量的夹角已知非零向量 a 与 a,作OAa,OBb,就 AA（ ）叫a与b的夹角；说明：两向量的夹角必需是同起点的,范畴 0 180；. 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - . C （2）数量积的概念；非零向量arr 与b,arr·b=arr·bcos叫做arr 与br 的数量积（或内积） ；规定0a r0r 向量的投影： bcosa b r rr=| a |rR,称为向量b在 ar方向上的投影； 投影的肯定值称为射影；（3）数量积的几何意义：arr·b等于arr 的长度与b在ar方向上的投影的乘积.留意：只要a b 就有 a · b =0,而不必 a =0 或 b =0 由a·b=a·c及a 0 却 不 能 推 出b=c 得 |a| ·|b|cos bc1=|a| ·|c|cos 2及|a| 0,只能得到 |b|cos 1=|c|cos 2,即b 、2 1ac 在 a 方向上投影相等,而不能得出b =c 见图 a·bcab·c,向量的数量积是不满意结合律的对于向量a、b,有 |a·b| |a| ·|b| ,等号当且仅当（4）向量数量积的性质向量的模与平方的关系：r ra ar a2|r a2 |；a b 时成立乘法公式成立r r r ra b a br a2r b2r a2,r b2r a=r b2r a22r ra br b222r a22r ra br b2；cosr ra by 2r b r bx 1x 1x 2y1y2y；r ar a. .2y12x22向量的夹角：cos=（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量 a r x y 1 , b r x 2,就arr·bx x2y y ；=. 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - （6）垂直：假如arr 与b的夹角为 900就称ar. r 与b垂直,记作arrb；|0x2y2；两个非零向量垂直的充要条件：a ba ·b Ox 1x 2y 1y2（7）平面内两点间的距离公式设ax ,y ,就|a2|x2y2或|a|a|x 1x22y1y22平面内两点间的距离公式 . 二【典例解析】题型一：数量积的概念例 1判定以下各命题正确与否：r br r a cr,就br c；（1）0ar0r； （2）0r a0；（3）如r a0,r ra br r（4）如a br r a cr,就br c当且仅当r ar 0时成立；（5）r ra br cr ar rb c对任意r r ra b c向量都成立；题型二 . 求数量积、求模、求夹角的简洁应用r r r r已知 a 2,b 3,与 的夹角为 a b 120例 2 o,求r r r 2（）a b；（ ）ar b2 r；（ ）（2 ar rb）（ar r3 b）；4 a题型三：向量垂直、平行的判定例 3已知向量a2 3, ,bx ,6 ,且a/b,就xa r；的值；例 4已知ar4,3,r b1,2,r mr ar b,n r2r b,按以下条件求实数r（1）mr n；（2）r m/r nr；3 mn r；a =（1,2）例 5已知：a、b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中（1）如|c|25,且c/a,求c的坐标；. 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - . （2）如 |b|=5,且a2b与2ab垂直,求a与b的夹角ur. 2练习 1 如非零向量ur、ururururur,证明 :ur满意2 在 ABC中,AB=2, 3,AC=1, k,且 ABC的一个内角为直角,求 k 值3已知向量a 1 ,1 ,b 2,n,如|ab|ab,就n（）A3B1C1D3的对边,向量已知 4.r ar 1,b2,且r ar rb 与 垂直,求 ar ra 与 的夹角；b5知a, ,c为ABC的三个内角A, ,Cm3,1,ncosA,sinA 如mn ,且acosBbcosAcsinC ,就角 A,B的大小分别为（）A,3B2 ,6C,6D,36333题型四：向量的夹角例 6 已知向量a=cos,sin,b=cos,sin,且a2a rb ,求ab与ab的夹角的夹角；练习 1 已知两单位向量arr 与b的夹角为0 120 ,如c rr r b dr 3 ba r,试求crr 与d. 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 2| a|=1 ,| b|=2 ,c= a+ b ,且 c a ,就向量 a 与 b 的夹角为 （）A30°B 60°C120°D150°3设非零向量a、b、c 满意 | a| | b| | c| ,abc,就 a,b A150°B120°C60°D30°5 2,就 a 与 c 的夹角为 4已知向量a1,2,b 2, 4,| c| 5,如 ab ·cA30°或 150°B60°或 120°C 120°D150°uuur yAC,xy0,5.过 ABC的重心任作始终线分别交uuur AB,AC于点 D、E如ADuuur xABuuur,AE11就xy 的值为（）（A）4 （B）3 （C） 2 （D）111解析：取ABC为正三角形易得xy 3选 B4. 设向量a 与 b 的夹角为,a3,3,2ba1 1, ,就cos5在 ABC中, BC BA ·AC| AC | 2,就三角形ABC的外形肯定是 A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形. 6 已知向量asin,2 与b,1cos相互垂直,其中0,2（1）求sin和cos的值；2 ,求cos的值（2）如sin10 10,0. 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 题型五：求夹角范畴|0,且关于x 的方程x2|r a xr r a b0r 有实根 ,就ar 与b的夹角的取值范例 7 已知|r a| 2 |r b围是A.0,6B.3,x,b= C.3,2 D.6,x 的取值范畴3练习 1设非零向量a =x 23x,2,且a,b的夹角为钝角,求2已知a,2,b3,2,假如a 与 b 的夹角为锐角 ,就的取值范畴是7e 2与3设两个向量e 、e ,满意|1e|2,|e 2|1,1e、2e的夹角为 60° ,如向量2 te 1向量e 1te 2的夹角为钝角,求实数t 的取值范畴 . BC4如图,在Rt ABC中,已知 BC=a,如长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问PQ与的夹角取何值时BPCQ的值最大？并求出这个最大值. ）C a （以直角顶点A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立坐标系）A 题型六：向量的模r 与b的夹角为120o,r a3,r ar b13,r 就b等于（r 例 8已知向量aA5B4C3D1 练习 1 平面对量 a 与 b 的夹角为0 60 ,a 2,0, | b | 1,就| a 2b | 等于（）. 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - . A. 3 B.23 C.4 D.12 2已知平面上三个向量 a 、 b 、 c 的模均为 1,它们相互之间的夹角均为 120° ,（1）求证： a b c；（2）如 | k a b c | 1 k R ,求k的取值范畴 . r r r r r r r3平面对量 a b 中,已知 a 4, 3,| b | 1,且 a b 5,就向量b _. 4已知 |a|=|b|=2 ,a 与 b 的夹角为 600,就 a+b 在 a 上的投影为,NA；NC0,且5设向量r r a b满意|r a| |r br | 1,|3 ar 2 | 3r,就| 3 ar b|；6已知向量r r a b的方向相同,且|r a| 3,|r b|7,就| 2r ar b|_ _；7、已知O, N, P 在ABC 所在平面内,且OAOBOCNBPA PBPB.PCPC.PA,就点 O,N,P 依次是ABC的（ A.重心 外心 垂心B.重心 外心 内心C.外心 重心垂心D.外心重心 内心题型七：向量的综合应用例 9已知向量 OA 2,2,OB 4,1,在 x 轴上一点 P,使 AP·BP有最小值,就 P 点的坐标是_练习 1已知向量a 与向量 b 的夹角为 120°,如向量ca b,且 a c,就| a| | b|的值为 1 A. 22 B.33C2 D. 3 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 2已知圆 O 的半径为 a,A, B是其圆周上的两个三等分点,就 ·AB A. 32a 2 B32a 2 C. 2 a 3 2 D2 a 3 24原创题 三角形 ABC中 AP为 BC边上的中线, | AB| 3,AP·BC 2,就 | AC| _. 5在 ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 且满意 | mn| 3. 1求角 A 的大小；a,b,c.已知 mcos 2,sin3A 2 ,n cos 2,sinA 2,3A156 在 ABC 中 ,AB AC 0,ABC 的 面 积 是 4, 如 | AB | 3,| AC | 5, 就BAC 2 3 5 A 6 B 3 C 4 D 67已知O 为原点, 点 A B 的坐标分别为 A a 0, ,B 0 , a ,其中常数 a 0,点 P 在线段 AB上,且有 AP t AB 0 t 1 ,就 OA OP 的最大值为（） A a B 2 a C 3 a D a 2r 3 3 r x xa cos x ,sin x b cos , sin 8已知向量 2 2,2 2；（1）当 x 0 ,2 ,求 a b a r r rb r|；3（2）如 f x a b 2 m | a b |2 对一切实数x都成立,求实数 m 的取值范畴；. 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - . 9. 如正方形ABCD 边长为1,点 P 在线段AC 上运动,就APPBPD的取值范畴1是-2,4 , 且c a1,c b1, |c|2,就对任意的正实数10. 已知a b 是两个相互垂直的单位向量t ,|cta1b|的最小值是2 2. t各区期末试题10. 在矩形ABCD 中,AB3,BC1, E 是CD上一D E C A B 点,且uuur uuur AE AB1uuur uuur,就AE AC的值为（）19.如图,点P 是以 AB 为直径的圆 O 上动点, P 是点 P 关于P AB 的对称点,AB2 a a0. A O PB （）当点P是弧.AB上靠近B的三等分点时,求uuur uuur AP AB的值；uuur uuur（）求AP OP的最大值和最小值. （6）如下列图,点C在线段BD上,且BC=3 CDuuur,就AD =（）uuur（A）3 AC2uuur AB（B）4uuur ACuuur 3 ABDC. 名师归纳总结 AB第 16 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - . （C）4uuur AC1uuur AB（D）1uuur AC2uuur