2022年解三角形-知识点汇总和典型例题.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点解三角形的必备学问和典型例题一、学问必备：1直角三角形中各元素间的关系：在 ABC中, C90° , ABc,ACb,BCa；（1）三边之间的关系：a 2b 2c 2；（勾股定理）a ,cosAsin Bcb ,tan Aca ；b（2）锐角之间的关系：AB90° ；（3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义） ：sin AcosB2斜三角形中各元素间的关系：在 ABC中, A、B、C为其内角, a、b、c 分别表示 A、B、C的对边；（1）三角形内角和：ABC ；（ 2）正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等aAbBcC2R（R为外接圆半径）sinsinsin（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于另两边平方的和减去其与它们夹角的余弦的积的两倍a 2b 2c 22bccosA；b 2c 2a 22cacos B；c 2a 2b 22abcosC； 3三角形的面积公式：（1） S 1 aha1 bhb1 chc（ha、hb、hc分别表示 a、b、 c 上的高）；2 2 2（2） S 1 absin C1 bcsin A1 acsin B= abc=2R 2sinAsinBsinC 2 2 2 4 R 4 解三角形： 由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地,这里所说的元素仍可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（1）两类正弦定懂得三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. . 第 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角（2）两类余弦定懂得三角形的问题：第 1、已知三边求三角 . 第 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角 . 5 三角形中的三角变换三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,仍要留意三角形自身的特点；（1）角的变换由于在 ABC中, A+B+C= ,所以 sinA+B=sinCsinA2BcosC,cosA2BsinC；22；cosA+B= cosC； tanA+B= tanC；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（2）判定三角形外形时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式 . 6 求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意,弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义；二、典例解析题型 1：正、余弦定理例 1（1）在ABC 中,已知A0 32.0,B0 81.8,a42.9cm,解三角形；01 ,边长精确到1cm）；（2）在ABC 中,已知a28cm,A20cm,b400,解三角形（角度精确到解：（1）依据三角形内角和定理,C1800AB 18000 32.00 81.8 0 66.2 ；（2）对于解三角依据正弦定理,ba sinB42.9sin81.8080.1cm ；sinAsin32.00依据正弦定理,casinC42.9sin66.2 0 sin32.0074.1cm .sinA（2）依据正弦定理,sinBb sinA0 28sin400.8999.a20由于00 B 0 180 ,所以B0 64,或B0 116 .当B640时,C1800AB 18004000 64 760,ca sinC0 20sin7630 cm .sinAsin400当B1160时,C0 180A0 B 1804000 116 240,ca sin Csin A20sin24013 cm .0 sin40点评：应用正弦定理时（1）应留意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形；形中的复杂运算可使用运算器题型 2：三角形面积名师归纳总结 例 2在ABC 中, sinAcosA2, AC2 ,AB3,求tanA的值和ABC的面积；第 2 页,共 10 页2解法一：先解三角方程,求出角A 的值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点sin A cos A 2 cos A 45 2 ,21cos A 45 .2又 0 A 180 , A 45 60 , A 105.tan A tan45 60 1 32 3 , 1 3sinA sin 105 sin 45 60 sin 45 cos 60 cos 45 sin 60 2 6 .4S ABC 1 AC AB sin A 1 2 3 2 6 3 2 6 ；2 2 4 4解法二：由 sin A cos A 运算它的对偶关系式 sin A cos A 的值；sin A cos A 2 22 1sin A cos 22sin A cos A 120 A 180 , sin A 0,cos A 0.1另解 sin 2 A 2sin A cos A 21 2 sin A cos A 3, 2sin A cos A 6 2+得 sin A 2 6；4得 cos A 2 6；4从而 tan A sin A 2 6 42 3；cos A 4 2 6以下解法略去；点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本学问,着重数学考查运算才能,是一道三角的基础试题；两种解法比较起来,你认为哪一种解法比较简洁呢？题型 3：三角形中的三角恒等变换问题名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点例 3在 ABC中, a、b、c 分别是 A、 B、 C的对边长,已知 a、b、c 成等比数列,且 a 2c 2=acbc,bsin B求 A 的大小及 的值；c分析：因给出的是 a、b、c 之间的等量关系,要求A,需找 A 与三边的关系,故可用余弦定理；由 b 2=acb 2bsin B可变形为 =a,再用正弦定理可求 的值；c c解法一： a、b、c 成等比数列,b 2=ac；又 a 2c 2=acbc, b 2+c 2a 2=bc；b 2 c 2 a 2 bc 1在 ABC中,由余弦定理得：cos A=2 bc = bc =2, A=60° ；在 ABC中,由正弦定理得sin B=bsinA, b2=ac,aA=60° ,2b sin B b sin 60 3=sin60 ° =；c ac 2解法二：在ABC中,由面积公式得 1 bcsin A= 1 acsin B；2 2b 2=ac, A=60° , bcsin A=b 2sin B；b sin B =sin A= 3 ；c 2评述：解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理；题型 4：正、余弦定理判定三角形外形例 4在 ABC中,如 2cosBsin AsinC ,就 ABC的外形肯定是（）D. 等边三角形A. 等腰直角三角形B. 直角三角形 C.等腰三角形答案： C 解析： 2sin AcosBsin C =sin （AB）=sinAcosB+cosAsinB sin （AB） 0, AB另解：角化边点评：此题考查了三角形的基本性质,要求通过观看、分析、判定明确解题思路和变形方向,通畅解题途径题型 5：三角形中求值问题例 5ABC 的三个内角为A、 、C,求当 A为何值时, cosA2cosB2C取得最大值,并求出这个最大值；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点通过三角函数的性质求得结果；解析：由 A+B+C= ,得B+C 2 = 2A 2,所以有 cosB+C 2 =sinA 2；cosA+2cosB+C 2 =cosA+2sinA 2 =1 2sin2A 2 + 2sinA 2=2sinA 21 22+ 3 2；当 sinA 2 = 2,即 A= 3时, cosA+2cosB+C 2取得最大值为3 2；点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式,题型 6：正余弦定理的实际应用例 6（2022 辽宁卷文,理）如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶；测量船于水面 A处测得 B点和 D点的仰角分别为 75 0,30 0,于水面 C处测得 B点和 D点的仰角均为 60 0,AC=0.1km；摸索究图中 B,D间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D的距离（运算结果精确到 0.01km,2 1.414 ,6 2.449 ）解: 在 ABC中, DAC=30° , ADC=60° DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又BCD=180° 60° 60° =60° ,故 CB是 CAD底边 AD的中垂线,所以 BD=BA,在 ABC中,sin ABBCA sin A CABC , 即 AB= ACsin60sin 15 3 220 6,因此, BD= 3 220 6 0 . 33 km；故 B,D的距离约为 0.33km；点评： 解三角形等内容提到高中来学习,又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低,对三角的综合考查将向三角形中问题舒展,但也不行太难, 只要把握基本学问、概念,深刻懂得其中基本的数量关系即可过关；三、思维总结1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 A、B、 C）,由 A+B+C = 求 C,由正弦定理求 a、b；（2）已知两边和夹角（如 a、b、 c）,应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C = ,求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、 b、A）,应用正弦定理求B,由 A+B+C = 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要留意解可能有多种情形；（4）已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = ,求角 C；2三角学中的射影定理：在ABC 中,b a cos C c cos A,3两内角与其正弦值：在ABC 中,A B sin A sin B,4解三角形问题可能显现一解、两解或无解的情形,这时应结合“ 三角形中大边对大角定理及几何作图来帮名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点助懂得” ；四、课后跟踪训练1. （2022 上海文数18. ）如ABC 的三个内角满意b2. 3 bc , sinC2 3 sinB ,sinA:sinB:sinC5:11:13,就ABC（）（A）肯定是锐角三角形. （B）肯定是直角三角形. （C）肯定是钝角三角形. D可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形解析：由 sinA:sinB:sinC5:11:13及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得cosc5222 111320,所以角 C为钝角5112. （2022 天津理数7）在 ABC中,内角 A,B,C 的对边分别是a,b,c ,如a2就 A= （A）300（B）600（C）1200（D）0 150【答案】 A 【解析】此题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题；由正弦定理得2c2 3 bc2 3 b,3 bc2 3 bc30 ,所以 A=302R2R所以 cosA=b2 +c -a23 bcc2=2 bc2bc2 bc2【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算；3. （2022 湖北理数） 3. 在ABC 中, a=15,b=10,A=60 ° ,就 cosB = A 232 B 232 C 6 D 633【答案】 D 【解析】依据正弦定理abB可得1510解得sinB3 3,又由于ba ,就 BA,故 B 为锐sinAsinsin60sin B角,所以cosB1sin2B6 3,故 D正确 . A,B,C所对的边,如a=1,b=3 , A+C=2B,就4. （2022 广东理数）11. 已知a,b,c分别是ABC 的三个内角sinC= . A解：由 A+C=2B及 A+ B+ C=180° 知, B =60° 由正弦定理知,1A3,即sinA1由 ab 知,sinsin 602B60,就A30,第 6 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点C 180 A B 180 30 60 90, sin C sin90 15（2022 湖南卷文） 在锐角 ABC 中,BC 1, B 2 , A 就 AC 的值等于, AC 的取值范畴为 . cos A解析 ：设 A , B 2 . 由正弦定理得AC BC AC AC, 1 2.sin 2 sin 2cos cos由锐角 ABC 得 0 2 90 0 45 ,又 0 180 3 90 30 60 ,故 30 45 2cos 3,2 2AC 2cos 2, 3.6. （2022 全国卷理）在 ABC 中,内角 A、 B、C的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a 2c 22 b ,且sin A cos C 3cos A sin C , 求 b 分析： : 此题事实上比较简洁 , 但考生反应不知从何入手 . 对已知条件 1 a 2 c 2 2 b左侧是二次的右侧是一次的 , 同学总感觉用余弦定理不好处理 , 而对已知条件 2 sin A cos C 3cos A sin C , 过多的关注两角和与差的正弦公式 , 甚至有的同学仍想用现在已经不再考的积化和差 , 导致找不到突破口而失分 . 解法：在 ABC 中就 sin A cos C 3cos A sin C 由正弦定理及余弦定理2 2 2 2 2 2有 : a a b c 3 b c a c ,2 ab 2 bc（角化边）化简并整理得：2 a 2c 2 b . 又由已知 2a 2c 22 b 4b b . 2解得 b 4 或 b 0 舍）. 7在 ABC 中 ,已知 A、B、C成等差数列,求 tan Atan C3 tan Atan C 的值；2 2 2 2解析：由于 A、B、C成等差数列,又 ABC180° ,所以 AC 120° ,从而 A2 C60° ,故 tan A2 C 3 . 由两角和的正切公式,得 tan A2A tan C2C 3；1 tan tan2 2所以 tan A tan C 3 3 tan A tan C ,2 2 2 2tan Atan C3 tan Atan C3；2 2 2 2名师归纳总结 第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点点评：在三角函数求值问题中的解题思路,一般是运用基本公式,将未知角变换为已知角求解,同时结合三角变换公式的逆用；8. （2022 四川卷文）在ABC 中, A、B为锐角,角 A、 、C所对的边分别为a、 、c,且sinA5,sinB10510.（I ）求 AB的值；（II ）如ab21,求 a、 、c的值；解（ I ） A、B为锐角,sinA5,sinB10510 cosA1sin2A2 5,cosB1 sin2B3 10510cosABcosAcosBsinAsinB2 53 1051025105102 0AB, AB4（II ）由（ I ）知C3, sinC242由aAbBcC得sinsinsin5a10 b2c ,即a2 , b c5 b又ab212 bb21b1a2,c59. （2022 陕西文数17）（本小题满分12 分）在 ABC中,已知 B=45° ,D 是 BC边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB的长 . 解 在 ADC中, AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cosAD22DC2AC2=100 362 1019631 2, AD DC6ADC=120° , ADB=60°ADB=60° ,在 ABD中, AD=10, B=45° , 由正弦定理得sinABAD,ADBsinB5 6AB=ADsinADB10sin 60102sinBsin 452210. （2022 辽宁文数 17）（本小题满分12 分）C的对边,第 8 页,共 10 页在ABC 中, a、 、c分别为内角 A、 、名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点b c且 2 sinA2 bc sinB2cb sinC（）求 A 的大小；（）如 sinBsinC1,试判定ABC 的外形 . 解：（）由已知,依据正弦定理得2 a2 2 bc b 2c即a2b2c2bc由余弦定理得a2b2c22 bccosA故cosA1,A1202（）由（）得sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.又sinBsinC1,得sinBsinC12由于0B90,0C90,故 BC所以ABC是等腰的钝角三角形；11. （2022 辽宁理数）（17）（本小题满分12 分）在 ABC中, a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且2 sinA2acsinB2 cb sinC .（）求 A的大小；（）求 sinBsinC 的最大值 . bc b2cb c第 9 页,共 10 页解：（）由已知,依据正弦定理得22 a2即a2b2c2bccosA 6 分由余弦定理得a2b22 c2 bc故cosA1,A=120°2（）由（）得：sinBsinCsinBsin60B 3cos B1sinB22sin60B 故当 B=30° 时, sinB+sinC取得最大值1；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 名师总结优秀学问点第 10 页,共 10 页- - - - - - -