2022年苏教版-初二数学动点问题练习.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 动态问题所谓“ 动点型问题” 是指题设图形中存在一个或多个动点 , 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 . 解决这类问 题的关键是动中求静, 敏捷运用有关数学学问解决问题 . 关键: 动中求静. 数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想1、如图 1,梯形 ABCD 中,ADBC,B=90° ,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从 A 开头沿 AD 边以 1cm/秒的速度移动,点 Q 从 C 开头沿 CB向点 B 以 2 cm/秒的速度移动,假如 P,Q 分别从 A,C 同时动身,设移动时间为 t 秒；当 t= 时,四边形是平行四边形；6 当 t= 时,四边形是等腰梯形. 8 2、如图2,正方形 ABCD 的边长为 4,点 M 在边 DC 上,且 DM=1,N 为对角线 AC 上任意一点,就DN+MN 的最小值为5 l C B 3、如图,在RtABC中,ACB90°,B60° ,BC2点O是AC的中点,过点O的直线l从与AC重合的位置开头,绕点O作逆时针旋转,交AB边于点D过点C作CEAB交直线l于点 E ,设直线l的旋转角为1当度时,四边形EDBC 是等腰梯形,此时 AD 的长为；当度时,四边形EDBC 是直角梯形,此时 AD 的长为；2当90° 时,判定四边形 EDBC 是否为菱形,并说明理由E 解：130,1；60,1.5；O 2当 =900时,四边形 EDBC是菱形. A D =ACB=900,BC/ED. CE/AB, 四边形 EDBC 是平行四边形在 Rt ABC中,ACB=900,B=600,BC=2, A=30 0.AB=4,AC=23. AO=1AC=3 . 在 Rt AOD 中,A=30 0,AD=2. B O C B 2BD=2. BD=BC. 又四边形 EDBC是平行四边形,A 备用图四边形 EDBC是菱形4、在 ABC 中,ACB=90°,AC=BC,直线 MN 经过点 C,且 ADMN 于 D,BEMN 于 E. M D C M C M C E N D E A 图 1B A 图 2E N B A N D 图 31 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时,求证： ADC CEB；DE=ADBE；2当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时,求证：DE=AD-BE；3当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时,试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系,并加以证明 . 解：1ACD=ACB=90°CAD+ACD=90°BCE+ACD=90°CAD=BCE AC=BC ADC CEB ADC CEB CE=AD,CD=BE DE=CE+CD=AD+BE 2 ADC=CEB=ACB=90°ACD=CBE 又AC=BC ACD CBE CE=AD,CD=BE DE=CE-CD=AD-BE 3 当 MN 旋转到图 3 的位置时,DE=BE-AD或 AD=BE-DE,BE=AD+DE 等 ADC=CEB=ACB=90°ACD=CBE, 又AC=BC,AEF90,且 EF交正方形外角DCG ACD CBE,AD=CE,CD=BE,DE=CD-CE=BE-AD. 5、数学课上,张老师出示了问题：如图1,四边形 ABCD是正方形,点E是边 BC的中点的平行线 CF于点 F,求证：AE=EF经过摸索,小明展现了一种正确的解题思路：取 AB的中点 M,连接 ME,就 AM=EC,易证AMEECF,所以 AEEF 在此基础上,同学们作了进一步的争论：1小颖提出：如图 2,假如把“ 点 E是边 BC的中点” 改为“ 点 E是边 BC上除 B,C外的任意一点” ,其它条件不变,那么结论“ AE=EF” 仍旧成立,你认为小颖的观点正确吗？假如正确,写出证明过程；假如不正确,请说明理由；2小华提出：如图 3,点 E是 BC的延长线上除 C点外的任意一点,其他条件不变,结论“ AE=EF” 仍旧成立你认为小华的观点正确吗？假如正确,写出证明过程；假如不正确,请说明理由解：1正确A D 证明：在 AB 上取一点 M ,使 AM EC ,连接 ME A D F CF 是外角平分线,BM BE BMEDCF 45° ,45° ,AMEECF 135° 135° M F B E C G AME ECF B E C G 图 1 AEB BAE 90° ,AEB CEF 90° ,A D BAE CEF AMEBCFASAAE EF F 2正确证明：在 BA 的延长线上取一点 N 使 AN CE ,连接 NE BN BE N PCE 45° N F B 图 2 E C G F 四边形 ABCD 是正方形,ADBEA D A D DAE BEA NAE CEF ANEECFASAAE EF B C E G B C E G 图 3 6、如图, 射线 MB 上,MB=9,A 是射线 MB 外一点,AB=5 且 A 到射线 MB 的距离为 3,动点 P 从 M 沿射线 MB 方向以 1 个单位/秒的速度移动,设 P的运动时间为 t. 求1PAB为等腰三角形的 t 值；2PAB 为直角三角形的 t 值；3 假设 AB=5 且ABM=45 ° ,其他条件不变,直接写出PAB为直角三角形的 t 值名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7、如图 1,在等腰梯形ABCD 中,ADBC,E是AB的中点,过点E作EFBC交CD于点FAB4,BC6,B 60 .求：1求点E 到 BC 的距离；2点P为线段EF上的一个动点,过 P 作 PM EF 交BC于点 M ,过 M 作MNAB 交折线ADC于点N,连结PN ,设 EP x . 当点N在线段AD上时如图 2,PMN 的外形是否发生转变？假设不变,求出PMN 的周长；假设转变,请说明理由；当点N在线段DC上时如图 3,是否存在点 P ,使PMN为等腰三角形？假设存在,恳求出全部满意要求的x的值；假设不存在,请说明理由A D A N D A D D C 3 E F E P F E P N F B 图 1 C B M 图 2 C B M 图 3 C A D 第 25 题A D 1AB2E F E F B C B C 图 4备用图 5备用解1如图 1,过点E作EGBC 于点GE 为 AB 的中点,BE2在RtEBG中,B60,BEG30BG1BE1,EG222 132即点E到BC的距离为3A 2当点 N 在线段 AD 上运动时,PMN的外形不发生转变E F PMEF,EGEF, PMEG EFBC, EPGM ,PMEG3 同理MNAB4B G D 如图 2,过点 P 作 PHMN 于 H , MNAB,A 图 1 N NMCB60,PMH30PH1PM322E P F C H B G M 名师归纳总结 图 2 第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - MHPMcos303就NHMNMH435222在 RtPNH中,PNNH2PH2523273D 22PMN的周长=PMPNMN374当点 N 在线段 DC 上运动时,PMN的外形发生转变,但MNC恒为等边三角形当 PMPN 时,如图 3,作 PRMN 于 R ,就 MRNR类似,MR3MN2MR3MNC是等边三角形,MCMN2此时,xEPGMBCBGMC6132A D A D A E P N E P F E FP3F R N N B G M C B G 图 4 M C B G 图 5 M C 图 3 35当 MPMN 时,如图 4,这时MCMNMP3 此时,xEPGM6 1当 NPNM 时,如图 5,NPMPMN30就PMN120,又MNC60,PNMMNC180因此点 P 与 F 重合,PMC为直角三角形MCPMtan301此时,xEPGM6 114综上所述,当x2或 4 或 53 时,PMN为等腰三角形8、如图,已知ABC中,ABAC10厘米,BC8厘米,点D为AB的中点1假如点 P在线段 BC上以 3cm/s的速度由 B 点向 C 点运动,同时,点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动假设点 Q 的运动速度与点 P的运动速度相等,经过 1 秒后,BPD 与CQP 是否全等,请说明理由；假设点 Q 的运动速度与点 P的运动速度不相等,当点 Q 的运动速度为多少时,能够使BPD 与CQP 全等？2假设点 Q 以中的运动速度从点 C 动身,点 P 以原先的运动速度从点 B 同时动身,都逆时针沿ABC 三边运动,求经过多长时间点 P与点 Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？解：1t 1 秒, BP CQ 3 1 3 厘米,A AB 10 厘米,点D为AB的中点, BD 5 厘米D Q B P C 4 名师归纳总结 第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又PCBCBP,BC8厘米, PC835厘米, PCBD 又ABAC , BC , BPDCQPBD5,v Pv , BPCQ , 又BPDCQP,BC ,就BPPC4,CQ点P,点Q运动的时间tBP4秒, v QCQ515厘米/秒；t443332设经过 x 秒后点 P 与点Q第一次相遇, 由题意,得15x3x2 10,解得x80秒43点P共运动了80380厘米 8022824 ,点 P 、点Q在 AB 边上相遇,380经过 3 秒点 P 与点Q第一次在边 AB 上相遇9、如以下图,在菱形 ABCD中,AB=4,BAD=120°, AEF为正三角形,点 E、F 分别在菱形的边 BCCD 上滑动,且 E、F 不与 BCD 重合1证明不管 E、F 在 BCCD 上如何滑动,总有 BE=CF；2当点 E、F 在 BCCD 上滑动时,分别探讨四边形 AECF和 CEF的面积是否发生变化？假如不变,求出这个定值；假如变化,求出最大或最小值【答案】解：1证明：如图,连接 AC四边形 ABCD为菱形,BAD=120°,BAE+EAC=60°,FAC+EAC=60°,BAE=FAC；BAD=120°,ABF=60°； ABC和 ACD 为等边三角形；ACF=60°,AC=AB；ABE=AFC；在 ABE和 ACF 中,BAE=FAC,AB=AC,ABE=AFC, ABE ACFASA；BE=CF；5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2四边形 AECF的面积不变, CEF的面积发生变化；理由如下：由1得 ABE ACF,就 S ABE=S ACF；S 四边形AECF=S AEC+S ACF=S AEC+S ABE=S ABC,是定值；作 AHBC于 H 点,就 BH=2,S 四边形AECFSABC1BC AH1BCAB2BH24 3；最22由“垂线段最短”可知：当正三角形 AEF的边 AE与 BC垂直时,边 AE短故 AEF的面积会随着 AE 的变化而变化,且当 AE最短时,正三角形 AEF 的面积会最小,又 S CEF=S四边形 AECF S AEF,就此时 CEF的面积就会最大S CEF=S 四边形AECF S AEF4 312 32 32323；2 CEF的面积的最大值是3 ；【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,垂直线段的性质；【分析】1先求证 AB=AC,进而求证 ABC、 ACD 为等边三角形,得ACF =60 °,AC=AB,从而求证 ABE ACF,即 可求得 BE=CF；2由 ABE ACF 可得 S ABE=S ACF,故依据 S 四边形 AECF=S AEC+S ACF=S AEC+S ABE=S ABC即可得四边形 AECF 的 面积是定值；当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时,边 AE 最短 AEF的面积会随着 AE的变化而变化,且当 AE最短时,正三角形 AEF的面积会最小,依据 S CEF=S 四边形 AECFS AEF,就 CEF 的面积就会最大；10、如图,在 AOB 中,AOB=90°,OA=OB=6,C 为 OB 上一点,射线 CDOB 交 AB 于点 D,OC=2点 P 从点 A 动身以 个单位长度的速度沿 AB 方向运动,点 Q 从点 C 动身以每秒 2 个单位长度的速度沿 CD 方向运动,P、Q 两点同时动身,每秒 当点 P 到到达点 B 时停止运动,点 Q 也随之停止过点 P作 PEOA 于点 E,PFOB 于点 F,得到矩形 PEOF以点Q 为直角 顶点向下作等腰直角三角形 QMN,斜边 MN OB,且 MN=QC设运动时间为 t单位：秒1求 t=1 时 FC 的长度2求 MN=PF时 t 的值3当 QMN 和矩形 PEOF有重叠部分时,求重叠阴影部分图形面积 S 与 t 的函数关系式4直接写出 QMN 的边与矩形 PEOF的边有三个公共点时 t 的值考点： 相像形综合题分析： 1依据等腰直角三角形,可得,OF=EP=t,再将 t=1代入求出 FC的长度；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2依据 MN=PF,可得关于 t 的方程 6 t=2t,解方程即可求解；3分三种情形：求出当 1t2 时；当 2t 时；当 t3 时；求出重叠阴影部分图形面积 S与 t 的函数关系式；4分 M 在 OE 上；N 在 PF上两种情形争论求得 QMN 的边与矩形 PEOF的边有三个公共点时 t 的值解答： 解：1依据题意, AOB、 AEP都是等腰直角三角形,OF=EP=t,当 t=1 时,FC=1；2AP= t,AE=t,PF=OE=6 t MN=QC=2t 6 t=2t 解得 t=2故当 t=2 时,MN=PF；3当 1t2 时,S=2t2 4t+2；当 2t 时,S=t2+30t 32；当t3 时,S= 2t2+6t；4 QMN 的边与矩形 PEOF的边有三个公共点时 t=2 或点评： 考查了相像形综合题,涉及的学问有等腰直角三角形的性质,图形的面积运算,函数思想,方程思想,分类 思想的运用,有肯定的难度7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页